Revisão do conceito de matrizes

Apresentação em tema: "Revisão do conceito de matrizes"— Transcrição da apresentação:

1 Revisão do conceito de matrizes
Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

2 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.
Tema da aula 02 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.

3 Matrizes especiais Diagonal principal e diagonal secundária

4 Matrizes especiais Diagonal principal e diagonal secundária

5 Matrizes especiais Matriz linha Matriz coluna
Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1. 5

6 D = Matrizes especiais Matriz quadrada
Uma matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e de colunas. A ordem de uma matriz quadrada é o seu número de linhas (ou de colunas). D = Exemplos: matrizes 2 x 2 (2ª ordem), 3 x 3 (3ª ordem), n x n (n-ésima ordem). 6

7 A = B = Matrizes especiais Matriz nula
Uma matriz nula possui zeros em todos os seus elementos. A = B = 7

8 I = I = Matrizes especiais Matriz identidade
Uma matriz identidade, denotada por I, é uma matriz quadrada onde sua diagonal principal é composta de 1's e todos os outros elementos são zero. I = I = 8

9 Matrizes especiais Matriz transposta
A transposta de uma matriz é a matriz obtida pela troca das linhas pelas colunas da matriz original, de modo que a coluna j da matriz original passe a ser a linha j da matriz transposta e a linha i da matriz original passe a ser a coluna i da matriz transposta. A= m x n AT= n x m 9

10 Matrizes especiais Matriz simétrica
Uma matriz é dita simétrica se ela for igual à sua transposta. A = AT = Uma matriz A, simétrica, é necessariamente quadrada e aij = aji. 10

11 Matriz anti-simétrica
Matrizes especiais Matriz anti-simétrica Uma matriz é dita anti-simétrica se ela for simétrica à sua transposta. A = - AT A = AT = - AT = Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são necessariamente nulos. 11

12 Matrizes – cálculo de determinantes
Matriz de 1ª ordem Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna. det A = | 1 | = 1 det B = | -5 | = -5 O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz. 12

13 Matrizes – cálculo de determinantes
Matriz de 2ª ordem Multiplicar os elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária. det A = a11 . a22 – a21 . a12 13

14 Matrizes – cálculo de determinantes Exemplo para matriz de 2ª ordem:
det B = a11 . a22 – a21 . a12 det B = – = 0 – 2 = -2 14

15 Matrizes – cálculo de determinantes
Matriz de 3ª ordem - regra de Sarrus Dada a matriz A de ordem 3x3  , o seu determinante será calculado da seguinte forma: 15

16 Matrizes – cálculo de determinantes
Matriz de 3ª ordem - regra de Sarrus Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A: 16

17 Matrizes – cálculo de determinantes
Matriz de 3ª ordem - regra de Sarrus Multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo, sabendo-se que os produtos da direita conservam os sinais e os produtos da esquerda invertem os sinais. Inverte o sinal Conserva o sinal 17

18 Matrizes – cálculo de determinantes
Matriz de 3ª ordem - regra de Sarrus Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A: det A = (5.3.-1) + (0.4.0) + (1.-2.2) + [ - (1.3.0)] + [ - (5.4.2)] + [ - (0.-2.1)] det A = – 4 – 0 – det A = -59 18

19 Exercícios propostos Qual é a transposta para as matrizes A e B?

20 Det AB = 0 Regra de Sarrus Det BA = 0 Exercícios propostos
Calcule o determinante para as matrizes: Det AB = 0 Regra de Sarrus Det BA = 0 20

21 Matrizes – cálculo cofator
Dada uma matriz A = (aij), quadrada de ordem n, n є N* e n≥2, denominamos cofator de aij o produto de (-1) i+j pelo determinante Dij da matriz que se obtém quando se retira A a i-ésima linha e j-ésima coluna. O cofator aij será indicado por Cij. Cij = (-1)i+j . Dij 21

22 Matrizes – cálculo cofator
Cij = (-1)i+j . Dij C11 = (-1)1+1 . D11 Elimina-se 1ª linha e 1ª coluna e calcula-se o determinante da matriz para D11. 22

23 Matrizes – cálculo cofator
Cij = (-1)i+j . Dij C23 = (-1)2+3 . D23 Elimina-se 2ª linha e 3ª coluna e calcula-se o determinante da matriz para D23. 23

24 Matrizes – cálculo cofator
C11 = (-1)1+1 . D11 C22 = (-1)2+2 . D22 C32 = (-1)3+2 . D32 C11 = -1 C22 = 10 C32 = -4 24

25 Memória de aula O que é uma diagonal principal e secundária? Quando uma matriz é nula? O que é uma matriz identidade? Como é calculado a transposta para uma matriz? Conceitue e dê exemplo de uma matriz simétrica? Conceitue e dê exemplo de uma matriz anti-simétrica? Qual é o resultado do determinante para uma matriz de 1ª ordem? Como é calculado o determinante para matriz de 2ª ordem? Como é calculado o determinante para matriz de 3ª ordem?

26 Bibliografia indicada
LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (