(Juros Simples x Juros Compostos)

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1 (Juros Simples x Juros Compostos)
Matemática Financeira (Juros Simples x Juros Compostos) Prof.Ilydio Sá

2 Taxa de Juros FORMA PORCENTUAL FORMA UNITÁRIA
• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano. FORMA UNITÁRIA • Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do Ex.: 0,12 ao ano. Prof.Ilydio Sá

3 JUROS SIMPLES Prof.Ilydio Sá

4 CÁLCULO DO JURO JURO SIMPLES • A remuneração pelo capital inicial
(o principal) é diretamente proporcional: - Ao valor aplicado; - Ao tempo de aplicação. Prof.Ilydio Sá

5 CÁLCULO DO JURO J = C . i . n • FÓRMULA BÁSICA: onde: J = Juro
EXEMPLO • FÓRMULA BÁSICA: J = C . i . n onde: J = Juro C = Capital inicial (Principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa) Prof.Ilydio Sá

6 Exemplo Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00, a juros simples, pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos TOTAL DE JUROS = 20% VALOR DOS JUROS = 1000 X 0,2 = $200 Prof.Ilydio Sá

7 MONTANTE JURO SIMPLES • Montante é a soma do juro mais o capital
EXEMPLO JURO SIMPLES • Montante é a soma do juro mais o capital aplicado. M = C + J onde: C= principal n= prazo de aplicação i = taxa de juros M = C(1 + in) = C. FATOR Prof.Ilydio Sá

8 Exemplo Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa
de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos (n) = 2 anos E sendo: M = C(1+in) Substituindo-se os valores, tem-se: M = 1.000(1+0,10 x 2) M = x 1,20 M = $ 1.200,00 Ou então, como você sabe, a taxa de 10% ao ano, para juros simples, em dois anos, gera um ganho de 20%, o que corresponde ao FATOR 1,2. Logo, 1000 x 1,2 = $1200. Prof.Ilydio Sá

9 TAXA PROPORCIONAL JURO SIMPLES
EXEMPLO JURO SIMPLES A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se: Ou ainda: Ou, do mesmo modo, se: Prof.Ilydio Sá

10 Exemplo Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são
proporcionais. Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. i2 = 20% a.a. n1 = 3 meses n2 = 12 meses Vejamos: Logo, as taxas dadas são proporcionais. Prof.Ilydio Sá

11 Exemplo Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa
proporcional mensal. Resolução: Temos: i1 = 24% a.a n1 = 12 meses i2 = ? n2 = 1 mês E, como: tem-se: i = 24 : 12 = 2% a.m. Prof.Ilydio Sá

12 TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes. Prof.Ilydio Sá

13 JURO EXATO Juro Exato é aquele em que:
EXEMPLO Juro Exato é aquele em que: • o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano civil. Prof.Ilydio Sá

14 A TAXA SERÁ DE 36% : 365 = 0,09863 % AO DIA
Exemplo Qual é o juro exato de um capital de $ ,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ? Resolução: A TAXA SERÁ DE 36% : 365 = 0,09863 % AO DIA PARA 40 DIAS, TEREMOS 0,09863 % X 40 = 3,94521% J = X 0, = $ 394,52 Prof.Ilydio Sá

15 JURO COMERCIAL Juro comercial é aquele em que:
EXEMPLO Juro comercial é aquele em que: • o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano comercial (360 dias): Prof.Ilydio Sá

16 Exemplo Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an- terior. Resolução: Taxa = (36 %: 360) x 40 = 4% CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 0,04 X = $ 400,00 Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer- cial é maior que o juro exato. Prof.Ilydio Sá

17 JUROS COMPOSTOS Prof.Ilydio Sá

18 Juros Compostos Juros Simples: Juros Compostos:
• Apenas o capital inicial rende juros; • O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa. Juros Compostos: • O Juro gerado pela aplicação, em um período, será incorporado; • No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge- rar novos juros; • O regime de juros compostos é mais importante, por- que retrata melhor a nossa realidade. Prof.Ilydio Sá

19 Diferença entre os regimes de capitalização
Co= 1000,00 i= 20 % a.a. n= 5 anos Prof.Ilydio Sá

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21 Uma questão: Será que, pelo que vimos no gráfico anterior, podemos então concluir que os montantes gerados, sob as mesmas condições e sobre o mesmo capital, a juros simples e a juros compostos ou são iguais ou o montante dos juros compostos será maior? Para ajudar na resposta, vamos incluir na tabela e no gráfico anterior mais uma linha. Vamos calcular os dois montantes para um prazo de 15 dias após o início da aplicação, ou seja, após meio mês. Prof.Ilydio Sá

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24 Montante O cálculo do montante, em juros compostos é dado pela fórmula: M = montante ao fim de “n” períodos C = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período, efetiva F = fator de correção da taxa i Prof.Ilydio Sá

25 Exemplo Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado sob taxa efetiva 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido ? Resolução: C = 1.000 i = 2% a .m. n = 10 meses Temos: Prof.Ilydio Sá

26 Valor Atual e Valor Nominal
• O Valor Atual corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à do vencimento. • O Valor Nominal é o valor do título na data do seu vencimento. V = valor atual N = valor nominal i = taxa de juros n = número de períodos que antecedem o vencimento do título Prof.Ilydio Sá

27 Exemplo a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 me-
ses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros com- postos corrente for de 2,5% a.m. ? Resolução: n = 5 Meses N=1.131,40 V Prof.Ilydio Sá

28 Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta-
i = 2,5 % a.m. n = 5 meses Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta- rei fazendo mau negócio. Prof.Ilydio Sá

29 Exemplo b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a
1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a tro- ca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor de $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa. Resolução: N=1.344,89 N*=1.080,00 3 12 Prof.Ilydio Sá

30 Exemplo O valor atual na data focal zero da letra de câmbio que vence
em 12 meses é dado por: Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que vence em 3 meses: Prof.Ilydio Sá

31 Comparando os dois valores atuais constatamos que:
Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual um pouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a troca seria vantajosa. Prof.Ilydio Sá

32 Os diversos tipos de taxas para juros compostos.
TAXAS COMPOSTAS Os diversos tipos de taxas para juros compostos.

33 TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA
É uma taxa “simbólica” para juros compostos e usada apenas como referência para cálculos rápidos da taxa efetiva. É fácil determinar quando a taxa é nominal, pois ela estará sempre referida a uma unidade de tempo, distinta da unidade que define o período de capitalização. Ex: 24% ao ano, com capitalização mensal. TAXA EFETIVA É a taxa de juros compostos que já está referida à mesma unidade de tempo que o período de capitalização. Ex: 1% ao mês, com capitalização mensal; 24% ao ano, com capitalização anual; 0,5% quinzenal, com capitalização quinzenal. Importante: A passagem da taxa nominal para a taxa efetiva (que é a usada na fórmula dos juros compostos) é feita de modo proporcional, como nos juros simples, por convenção, para facilitar os cálculos. 24% ao ano, com capitalização mensal TAXA NOMINAL 24%:12 = 2% ao mês, com capitalização mensal TAXA EFETIVA Prof.Ilydio Sá

34 Exemplo: Um capital de R$ 5000,00 foi investido, capitalizado trimestralmente, sob taxa de 20% ao ano. Obtenha o montante final dessa aplicação, sabendo-se que ela foi feita por um prazo de 2 anos. 20% ao ano, com capitalização trimestral TAXA NOMINAL 20%:4 = 5% ao trimestre TAXA EFETIVA 2 anos = 8 trimestres Lembre-se: Você nunca poderá usar a TAXA NOMINAL nos cálculos com juros compostos. Prof.Ilydio Sá

35 TAXAS EQUIVALENTES São taxas efetivas, que geram montantes iguais, aplicadas ao mesmo capital e no mesmo prazo. Exemplo: 4% ao mês é equivalente a 8,16% ao bimestre. Veja, por exemplo, que se aplicarmos essas duas taxas sobre um capital de R$ 1000,0, para um investimento de um ano, vão gerar os seguintes montantes: 4% ao mês 8,16% ao bimestre Na prática, quando queremos determinar uma taxa que seja equivalente a outra, com capitalização distinta, usamos apenas os fatores de correção, já que ao igualar os montantes, os capitais (que são iguais) serão cancelados. Vejamos dois exemplos disso. Prof.Ilydio Sá

36 EX. 1: Qual a taxa bimestral equivalente a 15,9693% ao ano?
Como um ano tem 6 bimestres, é claro que o fator bimestral (procurado), elevado ao expoente 6, terá de ser igual ao fator anual, vejamos: EX. 2: Qual a taxa mensal equivalente a 0,05% ao dia? Prof.Ilydio Sá