Progressão Geométrica Matrizes Questão nº01  Na P.G., a posição do termo é...

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3 Progressão Geométrica Matrizes

4 Questão nº01  Na P.G., a posição do termo é...

5 Solução nº01  a 1 = 10q =  a n = a 1. q n-1 n – 1 = 5 n = 6  Resposta: sexto termo.

6 Questão nº02  Inserir cinco meios geométricos entre 1 e 64.

7 Solução nº02  Devemos colocar cinco termos entre 1 e 64 de tal forma que a seqüência formada seja uma P.G. 1,__,__,__,__,__,64 a 1 k = 5 a n dados a n = a 1 q n-1  64 = 1. q 7-1 64 = q 6 2 6 = q 6 q = continua...

8 Solução nº02  Se q = 2  (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)  Se q =-2  (1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)  Resposta: Temos duas soluções: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) ou (1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)

9 Questão nº03  Ache a soma dos dez primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,...).

10 Solução nº03  Dados  S n =  Resposta: 3069

11 Questão nº04  Calcule o número de termos de uma P.G. finita em que a 1 = 2, q = 3 e S n = 6560.

12 Solução nº04  S n =  Resposta: 8.

13 Questão nº05  O trigésimo termo da seqüência é: A) B) C) 5 D) E)

14 Solução nº05  a n = a 1. q n-1  Assim, a alternativa correta é B

15 Questão nº06  Se a seqüência (4x, 2x + 1, x – 1) é uma P.G., então o valor de x é: A) B) -8 C) -1 D) 8 E)

16 Solução nº06   Assim, a alternativa correta é A

17 Questão nº07  Seja x o trigésimo termo da P.G. (2, 4, 8,...). O valor de log 4 x é: A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

18 Solução nº07  a n = a 1. q n-1 x = 2. 2 30-1 x= 2. 2 29 x = 2 30 log 4 x = log 4 2 30 = y  4 y = 2 30  (2 2 ) y = 2 30   2 2y = 2 30  2y = 30 y = 15  Assim, a alternativa correta é A

19 Questão nº08  O quarto termo da seqüência geométrica: é: A) B) C) D) E) 1

20 Solução nº08   Logo: a 4 = a 3. q  Assim, a alternativa correta é D

21 Questão nº09  Se o oitavo termo de um P.G. é e a razão é, o primeiro termo dessa progressão é: A) 2 -1 B) 2 C) 2 6 D) 2 8 E)

22 Solução nº09   Assim, a alternativa correta é C

23 Questão nº10  O número de termos da P.G. é: A) 8 B) 9 C) 10 D) 81 E) 4

24 Solução nº10   Assim, a alternativa correta é B

25 Questão nº11  A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512 é: A) 48 B) 84 C) 128 D) 64 E) 96

26 Solução nº11  4................ 512 a 1 6 a n n = 6 + 2 = 8 termos a n = a 1. q n-1 512 = 4. q 8-1  Logo, a P.G. é: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512  Média aritmética =

27 Questão nº12  Somando os n primeiros termos da seqüência (1, -1, 1, -1,...) encontramos: A) n B) -n C) 0 D) 1 E) 0 quando n é par; 1 quando n é ímpar.

28 Solução nº12  (1, -1, 1, -1,...) S n = 0 se n é par S n = 1 se n é ímpar  Assim, a alternativa correta é E

29 Questão nº13  Uma bactéria de determinada espécie divide-se em duas a cada 2 h. Depois de 24 h, qual será o número de bactérias originadas de uma bactéria? A) 1024 B) 24 C) 4096 D) 12 E) 16777216

30 Solução nº13  a n = a 1. q n-1 a n = 2. 2 12-1 a n = 2. 2 11 a n = 2 12 = 4096  Assim, a alternativa correta é C

31 Questão nº14  A soma dos seis primeiros termos da P.G. é: A) B) C) D) E)

32 Solução nº14   Assim, a alternativa correta é D

33 Questão nº15  Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 10% do ar de um tanque; se a capacidade inicial do tanque é de 1 m 3, após o quinto golpe, o valor mais próximo para o volume do ar que permanece no tanque é: A) 0,590 m 3 B) 0,500 m 3 C) 0,656 m 3 D) 0,600 m 3 E) 0,621 m 3

34 Solução nº15  Se cada golpe extrai 10% de ar, temos: 100% - 10% = 90% = 0,9 do total  Logo: a n = a 1. q n-1 a 5 = 0,9. (0,9) 5-1 a 5 = (0,9) 4. 0,9 a 5 = 0,590 m 3  Assim, a alternativa correta é A

35 Questão nº16  A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3. Sabendo-se que o primeiro termo é igual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é: A) B) C) D) E)

36 Solução nº16   Assim, a alternativa correta é A

37 Questão nº17  A soma da série infinita é: A) B) C) D) 2 E)

38 Solução nº17   Assim, a alternativa correta é C

39 Questão nº18  Numa P.G. decrescente e ilimitada, o primeiro termo é 8 e a soma dos termos, 16. O quinto termo vale: A) B) -2 C) D) 2 E)

40 Solução nº18   Assim, a alternativa correta é C

41 Questão nº19  O valor de x na equação é: A) -10 B) 10 C) -20 D) 20 E) 25

42 Solução nº19   Assim, a alternativa correta é D

43 Questão nº 20  Se 1 + r + r 2 +... + r n +... = 10, então r é igual a: A) 1 B) C) D) E)

44 Solução nº20   Assim, a alternativa correta é B

45 Questão nº 21  Se, então o valor de m é: A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) não sei

46 Solução nº21   assim, a alternativa correta é D

47 Questão nº01  Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde. A soma dos seus elementos é igual a: A) –1 B) 1 C) 6 D) 7 E) 8

48 Solução nº01  a 11 = 2 a 12 = 1 a 21 = 0 a 22 = 4  Soma = 2 + 1 + 0 + 4 = 7  Assim, a alternativa correta é D

49 Questão nº 02  Se M = (a ij ) 3x2 é uma matriz, tal que: Então, M é: A) B) C) D) E)

50 Solução nº02  Cálculo dos elementos de M: a 11 = 1 2 = 1a 21 = 1a 31 = 1 a 12 = 2a 22 = 2 3 = 8a 32 = 2  Portanto: ; letra A

51 Questão nº03 – (UFPA)  A matriz A = (a ij ) 3x3 é definida de tal modo que Então, A é igual a: A) B) C) D)E)

52 Solução nº03  Cálculo dos elementos de A: a 11 = 0 a 12 = (-1) 3 = -1a 13 = (-1) 4 = 1 a 21 = (-1) 3 = -1 a 22 = 0 a 23 = (-1) 5 = -1 a 31 = (-1) 4 = 1 a 32 = (-1) 5 = -1a 33 = 0  Portanto: ; letra A

53 Questão nº04 – (UFGO)  Sejam as matrizes Para que elas sejam iguais, deve-se ter: A) a = -3 e b = -c = 4 B) a = 3 e b = c = 4 C) a = 3 e b = -c = 4 D) a = -3 e b = c = -4 E) a = -3 e b = c 2 = 4

54 Solução nº04  Para que as matrizes sejam iguais, devemos ter:  Logo, a = -3; b = -4 e c = -4.  Assim, a alternativa correta é D

55 Questão nº05 – (UFRN)  A solução da equação matricial é um número: A) maior que -1 B) menor que -1 C) maior que 1 D) entre –1 e 1 E) entre 0 e 3

56 Solução nº05  Para que a igualdade seja verdadeira, devemos ter: -1 = x + 1  x = -2 x = 3x + 4  x = -2 2 = x + 4  x = -2 x 2 – 2 = 2  x =  Portanto: x = -2  Assim, a alternativa correta é B

57 Questão nº06 – (Cescem-SP)  A matriz transposta da matriz A = (a ij ), de tipo 3 x 2, onde a ij = 2i – 3j, é igual a: A) B) C) D) E)

58 Solução nº06  Cálculo dos elementos da matriz A: a 11 = 2 – 3 = -1 a 12 = 2 – 6 = -4 a 21 = 4 – 3 = 1 a 22 = 4 – 6 = -2 a 31 = 6 – 3 = 3 a 32 = 6 – 6 = 0  Portanto:  Cálculo de A t : ; letra B

59 Questão nº07 – (UFAL)  Considere a matriz A = (a ij ) 3x4, na qual O elemento que pertence à 3ª linha e à 2ª coluna da matriz A t, transposta de A, é A) 4 B) 2 C) 1 D) -1 E) -2

60 Solução nº07   Assim, a alternativa correta é D

61 Questão nº08 – (UEL-PR)  Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = A t. Assim, se a matriz é simétrica, então x + y + z é igual a: A) -2 B) -1 C) 1 D) 3 E) 5

62 Solução nº08  Se A = A t, temos:  Logo: -1 = x  x = -1 2y = 4  y = 2 x = -1  x = -1 z – 1 = 3  z = 4 2y = 4  y = 2 z – 1 = 3  z = 4  Portanto: x + y + z = -1 + 2 + 4  x + y + z = 5

63 Questão nº09 – (FGV-SP)  Dadas as matrizes e sendo 3A = B + C, então: A) x + y + z + w = 11 B) x + y + z + w = 10 C) x + y – z – w = 0 D) x + y – z – w = -1 E) x + y + z + w > 11

64 Solução nº09  Sendo 3A = B + C, temos:  Da igualdade, temos: 3x = x + 4  x = 2 3y = 6 + x + y  2y = 6 + 2  y = 4 3w = 2w + 3  w = 3 3z = z + w – 1  2z = 2  z = 1  Portanto: x + y + z + w = 2 + 4 + 1 + 3 = 10

65 Questão nº10 – (Osec –SP)  Em x e y valem respectivamente: A) –4 e -1 B) –4 e 1 C) –4 e 0 D) 1 e -1 E) 1 e 0

66 Solução nº10  Resolvendo, temos: x 2 + 3x = 4  x = -4 ou x = 1 y 3 – y = 0  y = 0 ou y = x 2 + 4x = 5  x = -5 ou x = 1 y 2 + 2y = -1  y = -1  Portanto: x = 1 e y = -1  Assim, a alternativa correta é D

67 Questão nº11 – (Santa Casa–SP)  Dadas as matrizes se A t é a matriz transposta de A, então (A t – B) é: A) B) C) D) E)

68 Solução nº11  Cálculo de (A t – B):  Assim, a alternativa correta é C

69 Questão nº12 – (FACEAG-SP)  Dadas as matrizes então, 3A – 4B é igual a: A) B) C) D)E) Operação não definida.

70 Solução nº12  Cálculo de 3A – 4B:  assim, a alternativa correta é C

71 Questão nº13 – (PUC-SP)  Se, então a matriz X, de ordem 2, tal que é igual a: A) B) C) D) E)

72 Solução nº13  Cálculo de X sendo dada a equação  Reduzindo ao mesmo denominador e isolando X, temos: X = 2B + 3A + 6C  Resolvendo:

73 Questão nº14 – (PUC-SP)  Se então a matriz X, tal que A + B – C – X = 0, é: A) B) C) D) E)

74 Solução nº14  Cálculo de X dado: A + B – C – X = 0  Isolando X, temos: X = A + B - C  Resolvendo:

75 Questão nº15 – (FCC-SP)  Calculando-se 2AB + B 2, onde e teremos: A) B) C) D) E) n.r.a.

76 Solução nº15  Cálculo de 2AB + B 2 :

77 Questão nº16 – (FGV-SP)  Dadas as matrizes e sabendo-se que AB = C, podemos concluir que: A) m + n = 10 B) m – n = 8 C) m. n = -48 D) E) m n = 144

78 Solução nº16  Se AB = C, temos:  Resolvendo:  Então: 2n + m = 4 I n + 4 = 0  n = -4 II  Substituindo II em I, temos: 2 (-4) + m = 4  m = 12  Logo: m. n = -48

79 Questão nº17 – (Mack-SP)  Seja a matriz. Se, então vale: A) 4 B) 2 C) 0 D) -2 E) -4

80 Solução nº17    

81 Questão nº18 – (Cefet-PR)  Se A, B e C são matrizes do tipo 2 x 3, 3 x 1 e 1 x 4, respectivamente, então o produto A. B. C: A) é matriz do tipo 4 x 2; B) é matriz do tipo 2 x 4; C) é matriz do tipo 3 x 4; D) é matriz do tipo 4 x 3; E) não é definido.

82 Solução nº18  Dados A. B. C, temos: (A) 2 x 3. (B) 3 x 1. (C) 1 x 4 (A. B) 2 x 1. (C) 1 x 4 (A. B. C) 2 x 4  Assim, a alternativa correta é B

83 Questão nº19 – (Osec-SP)  Dadas as matrizes então, calculando-se (A+B) 2, obtém-se: A) B) C) D) E)

84 Solução nº19  Cálculo de (A + B) 2 :  Assim, a alternativa correta é A

85 Questão nº20 – (FGV-SP)  Considere as matrizes A soma dos elementos da primeira linha de A. B é: A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

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88 Solução nº21  Cálculo de A. 2B:  Assim, a alternativa correta é B

89 Questão nº22 – (PUC-SP)  Se, então a matriz X, de ordem 2, tal que A. X = B, é: A) B) C) D) E)

90 Solução nº22  Cálculo da matriz X sendo A. X = B:  Sendo verdadeira a igualdade, temos:  Resolvendo os sistemas, temos: a = 1; b = 0; c = 0 e  Logo, a matriz X vale:

91 Questão nº23 – (PUC-SP)  Sendo as matrizes então, o valor de x tal que AB = BA é: A) -1 B) 0 C) 1 D) o problema é impossível; E) nenhuma das respostas anteriores.

92 Solução nº23  Cálculo do valor de x tal que AB = BA:  Para a igualdade ser verdadeira, devemos ter: 3x = x  x = 0

93 Questão nº24 – (ITA-SP)  Considere P a matriz inversa da matriz M, onde: A soma dos elementos da diagonal principal da matriz P é: A) B) C) 4 D) E)

94 Solução nº24  Cálculo da matriz inversa P:  Sendo verdadeira a igualdade, temos:  Portanto: ; logo a + d = 4

95 Questão nº25 – (UECE)  O produto da inversa da matriz pela matriz é igual a: A)B)C)D)

96 Solução nº25  Cálculo da matriz inversa da matriz A:  Resolvendo os sistemas, temos: a = 2; b = -1; c = -1 e d = 1  Logo:

97 Questão nº26 – (ITA-SP)  Seja A a matriz 3 x 3 dada por Sabendo-se que B é a inversa de A, então a soma dos elementos de B vale: A) 1 B) 2 C) 5 D) 0 E) -2

98 Solução nº26  A. B = I