Linguagem Funcional 2 Linguagem Funcional 2 - LF2 Estende LF1 com funções de alta ordem Uma função passa a ser um valor O contexto inclui um único componente:

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2 Linguagem Funcional 2

3 Linguagem Funcional 2 - LF2 Estende LF1 com funções de alta ordem Uma função passa a ser um valor O contexto inclui um único componente: mapeamento de identificadores em valores

4 Linguagem Funcional 2 - LF2 Portanto, o resultado da avaliação de uma expressão pode ser uma função, uma função pode ser argumento de outra função,... Um programa é uma expressão

5 Explorando conceitos na LF2 O tipo função Apesar de LF2 não possuir tipos explícitos, adotamos a seguinte convenção quando for necessário explicitar o tipo de uma função: f: T1 ->T2 - indica que o argumento de f tem tipo T1 e o resultado tem tipo T2 f: (T1 x... x Tn) -> T - indica que f possui n argumentos de tipos T1,..., Tn, respectivamente, e resultado do tipo T Observe que uma declaração da forma f: ((T1 -> T2) x T3) -> T4 indica que f tem 2 argumentos: uma função (T1 -> T2) e um outro do tipo T3; O resultado de f é do tipo T4

6 Explorando conceitos na LF2 O tipo função Como um outro exemplo, considere a declaração f: T1 -> (T2 -> T3) que indica que f tem 1 argumento (T1) e produz como resultado uma função (T2 -> T3) Observe que esta flexibilidade é uma conseqüência de funções serem valores (cidadãs de primeira classe)!

7 Explorando conceitos na LF2 Funções como parâmetros de funções Vários exemplos apresentados em sala compara - compara dois elementos, fornecida uma ordem aplicação - aplica uma função dada a um argumento dado composição - aplica a composição de duas funções dadas a um argumento dado

8 Explorando conceitos na LF2 Funções como resultado A avaliação de uma função é o próprio texto da função: fn x. x + 1 é um programa (expressão) válido em LF2 cuja avaliação retorna o próprio Várias versões da função composição apresentadas em sala: com dois, um e até zero argumentos

9 LF2 permite currificação (Currying) Considere as seguintes definições para min fun min x y = if (x <= y) then x else y fun min’ x = fn y. min (x, y) Observe que min é sempre aplicada a dois argumentos e retorna o menor deles, enquanto min’ pode ser aplicada só a um argumento, retornando uma função que espera o outro argumento.

10 LF2 permite currificação (Currying) Portanto, a expressão: min’(x) é válida, mas min(x) não. Note que (min’(x))(y) = min(x,y) Tipos: min : (int x int) -> int min´ : int -> (int -> int)

11 LF2 permite currificação (Currying) Um outro exemplo: fun add x = fn y. (x + y) Qual o tipo de add O que as funções add 0 e add 1 computam? Mais exemplos: As diversas versões de composição apresentadas em sala

12 Polimorfismo Por não ter tipos explícitos, funções em LF2 podem apresentar comportamento polimórfico Por exemplo, a declaração Let fun Id x = x in... Permite que Id seja aplicada a qualquer argumento (de qualquer tipo) Mas cuidado! LF2 não é de fato polimórfica; como não há verificação de tipos, certas aplicações podem causar erro em tempo de execução

13 Prova e Transformação de Programas Computação em LF2 (e em programação funcional em geral) é baseada em reescrita de termos A computação (avaliação) de uma expressão e resultar em um valor v é também a prova da equação e = v Portanto, além de ser um mecanismo de computação, reescrita é um método de dedução (largamente difundido)

14 Reescrita e Lógica Equacional Teoria com igualdade que permite a substituição do lado esquerdo pelo lado direito de uma equação, e vice-versa. Igualdade é uma relação de ordem: reflexiva, simétrica e transitiva Uma propriedade fundamental: substitutividade:  f: T1  T2; x, y: T1  (x = y)  (f x = f y)

15 Mais sobre reescrita e lógica equacional Igualdade entre funções é definida por extensionalidade (f = g)  (  x  f(x) = g(x))

16 Provando equivalência entre funções Um exemplo simples usando apenas substituição Considere as funções: Suc x = x + 1 Pred x = x – 1 Id x = x Provar que a composição de Suc e Pred equivale a Id

17 Equivalência entre funções recursivas Considere a função exp(x, 0) = 1 (1) exp(x, n+1) = x * exp(x, n) (2) Provar: exp(x, m+n) = exp(x, m) * exp(x, n) Caso (0). Caso (n+1).

18 Explorando Conceitos Adicionais de Programação Funcional

19 Tipos estruturados de dados: Listas Coleção de elementos onde A ordem dos elementos é relevante A repetição “ “ “ “ Notação [] [1,2,3] [[1,2],[3]] [suc, pred] 1..5 Qual o tipo das listas acima : [T] : [int] : [[int]] : [int  int] : [int]

20 Construtor de listas - cons (:) A notação [x1,...,xn] é uma abreviação para x1 : x2 :... : xn : [] Exemplos 1 : [] = [1] 1 : 2 : [3, 4] = [1, 2, 3, 4] Qual o tipo de cons cons pode ser usado em casamento de padrão

21 Exemplos de funções sobre listas head e tail head(x : xs) = x tail(x : xs) = xs Concatenação [] ^^ ys = ys (x : xs) ^^ ys = x : (xs ^^ ys) Qual o tipo de ^^ Que propriedades ^^ satisfaz

22 Linguagem Funcional 3 – LF3 Implementa listas, mas não casamento de padrão head e tail em LF3 são operadores pré- definidos e não requerem parênteses head xs tail xs Concatenação em LF3 também é um operador pré-definido xs ^^ ys

23 Padrão recursivo: fold fold op a [x1,...,xn] = x1 op...(xn-1 op (xn op a)) fold op a [] = a fold op a (x : xs) = x op (fold op a xs) Defina operações soma e produto de uma lista de elementos usando fold

24 Fold em LF3 let fun fold op a xxs = if (xxs==[]) then a else (let var x = head xxs, var xs = tail xxs in op(x, fold(op,a, xs))) in …

25 Outros padrões recursivos map f [] =[] map f (x : xs) = (f(x)) : map(f,xs) filter p [] = [] filter p (x : xs) = x : filter(p,xs), if p(x) = filter(p,xs), otherwise Alguns exemplos map lengh [“PLP”, “ES”, “Redes”] filter positivo [-5, 3, -2, 0, 4] onde positivo(x) = (x > 0)

26 Filter e Map em LF3 let fun filter p xxs = if xxs == [] then [] else let var x = head xxs, var xs = tail xxs in (if p(x) then x : filter(p, xs) else filter(p,xs)) in... fun map op xxs = if (xxs==[])then [] else ( let var x = head xxs, var xs = tail xxs in op(x) : map(op, xs))

27 Compreensão de Listas em LF3 Notação [exp qualificador,...,qualificador] Onde exp é uma expressão qualificador é um gerador da forma for x in lista O ultimo qualificador pode ser uma condição da forma if exp

28 Compreensão de Listas em LF3 [x+1 for x in 3..1 ] = [4, 3, 2] [x+1 for x in 3..1 if x==1] = [2] [[x, y] for x in 0..2, for y in 3..5 if x + y == 5] = [[0, 5], [1, 4], [2, 3]] let fun id x = x in [ f(x) for x in 1..3, for f in [id]] = [1, 2, 3]

29 Compreensão de Listas Redefina as funções map e filter usando compreensão Defina quicksort usando compreensão; primeiro para uma lista de números e depois para listas de um tipo arbitrário, com uma relação de ordem

30 Compreensão de Listas quicksort em LF3 let fun quicksort op xs = if (xs ==[]) then [] else (quicksort(op, [k for k in tail(xs) if op(k, head(xs))])) ^^ ([head(xs)] ^^ (quicksort(op, [y for y in tail(xs) if (not op(y, head(xs)))]))) in let fun maiorQue x y = x > y in quicksort(maiorQue, [2,1,4,3])

31 Mais sobre Programação Funcional Indução em Listas Uma prova indutiva de  xs  P(xs) é estabelecida provando-se: Caso []. P([]) Caso (x:xs) P(xs)  P(x:xs) Exercício: provar associatividade de concatenação de listas (xs ^^ ys) ^^ zs = xs ^^ (ys ^^ zs)

32 Leitura Programming Language Concepts and Paradigms Capítulo 2 (Seção 2.4) Capítulo 13 Introduction to Functional Programming Capítulos 3 e 5