Introdução à NP-completude Katia S. Guimarães

Apresentação em tema: "Introdução à NP-completude Katia S. Guimarães"— Transcrição da apresentação:

1 maio/2000katia@cin.ufpe.br1 Introdução à NP-completude Katia S. Guimarães katia@cin.ufpe.br

2 maio/2000katia@cin.ufpe.br2 Problemas NP-Completos Há muitos problemas com aplicações práticas importantes para os quais não se conhece algoritmos polinomiais. Esse problemas são chamados intratáveis. Dentre os problemas intratáveis podemos citar muitas aplicações inadiáveis.

3 maio/2000katia@cin.ufpe.br3 Problemas NP-Completos Problemas Intratáveis: - Gerenciamento de filas para uso de CPU (escalonamento) - Gerenciamento de memória (fragmentação) - Árvore geradora de grau limitado (Proj. redes) - Árvore geradora de diâmetro limitado (Redes) - Caminho Hamiltoniano - Caixeiro Viajante (TSP) - Localização de recursos em Sist. Distribuídos.

4 maio/2000katia@cin.ufpe.br4 Problemas NP-Completos Informalmente, problemas intratáveis são aqueles para os quais o melhor limite inferior conhecido é polinomial, enquanto que o melhor algoritmo conhecido é exponencial. exponencialpolinomial Problemas intratáveis

5 maio/2000katia@cin.ufpe.br5 ABSTRAINDO O GRAU DO POLINÔMIO E A BASE DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Antes, nós desejávamos nos abstrair das constantes aditivas e multiplicativas. Para expressarmos esta abstração formalmente, introduzimos os conceitos de  (f),  (f) e  (f). Como não sabemos se os problemas intratáveis estão na classe dos polinomiais (n^c) ou dos exponenciais (c^n), vamos querer nos abstrair de qual seja o grau do polinômio ou a base da função exponencial. Queremos saber somente a qual destas duas classes o problema pertence.

6 maio/2000katia@cin.ufpe.br6 Problemas de Decisão Para simplificar as definições, trataremos apenas de problemas de decisão, ou seja, problemas cuja solução é “SIM” ou “NÃO”. Ex: Entrada: G(V,E), x 1, x 2,..., x k  V, C   Saída: Existe em G um caminho passando por todos os vértices x i dados, cujo custo seja no máximo C?

7 maio/2000katia@cin.ufpe.br7 Problemas de Decisão Se um problema P não é de decisão (Ex: Qual o custo do menor caminho passando pelos vértices dados?), então existe um problema de decisão que ajudará a resolver o problema P em tempo igual ao tempo de resolver o problema de decisão correspondente, a menos de um fator polinomial.

8 maio/2000katia@cin.ufpe.br8 Problemas NP-completos Para podermos definir formalmente a classe NP-completo, vamos antes apresentar duas outras classes de problemas: - Classe NP - Classe NP-difícil NP-completo = NP  NP-difícil

9 maio/2000katia@cin.ufpe.br9 Problemas NP NP é uma classe de problemas para os quais existe um algoritmo polinomial, embora não determinístico (daí o NP). (Note que esta classe inclui os problemas polinomiais.) Algoritmo NPpolinomial

10 maio/2000katia@cin.ufpe.br10 Algoritmos Não-determinísticos Um algoritmo é não-determinístico se ele é escrito numa linguagem não-determinística: - Contém todos os comandos de uma linguagem regular, e - Contém um comando salto-nd Os problemas com algoritmos polinomiais também pertencem à classe NP, pois estes algoritmos usam uma linguagem não-determinística, embora sem lançar mão do comando salto-nd.

11 maio/2000katia@cin.ufpe.br11 Algoritmos Não-determinísticos Um algoritmo não-determinístico para um problema de decisão responde “SIM” se existe pelo menos uma maneira de fazer escolhas de execução nos salto-nd de forma que a resposta do algoritmo seja “SIM”, e “NÃO”, caso todas as combinações de escolhas de execução nos salto-nd levem a uma resposta “NÃO”.

12 maio/2000katia@cin.ufpe.br12 Problema CLIQUE ENTRADA: - G(V, E), um grafo não-direcionado e sem peso nas arestas, e - k, um número natural, k  |V| SAÍDA: - Existe em G um subgrafo completo com k vértices?

13 maio/2000katia@cin.ufpe.br13 Algoritmo NP para CLIQUE Algoritmo CLIQUE (G(V, E), k) Para cada v  V faça /* Decidir se escolhido */ salto-nd { escolhido [v]  true; escolhido [v]  false } /* Vértices escolhidos formam um clique? */ forma-clique  true; Para cada v  V faça se escolhido [v] então /* v tem k-1 vizinhos marcados? */ cont  0; para todo w  Adj(v) faça se escolhido [w] então cont  cont + 1; se cont  k -1 então forma-clique  false; Output (forma-clique).

14 maio/2000katia@cin.ufpe.br14 Algoritmo NP para CLIQUE Custo do Algoritmo CLIQUE T(n) = [n] + [n + |E|] Note que - Se existir um clique no grafo G, então existe uma seqüência de escolhas nos comandos salto-nd que levam a uma resposta “SIM”. - Se não existir um clique em G, a verificação irá forçar o “NÃO”.

15 maio/2000katia@cin.ufpe.br15 Problemas NP-difíceis A classe dos problemas NP-difíceis contém os problemas de complexidade maior ou igual à do problema SATisfatibilidade. Algoritmo NPpolinomial SATSAT

16 maio/2000katia@cin.ufpe.br16 Redução Polinomial A maneira de mostrar que a complexidade de SAT é um limite inferior para a com- plexidade de um problema P é fazer uma redução polinomial de SAT a este problema P, ou seja, definir uma solução para SAT usando uma solução para P como “caixa preta”.

17 maio/2000katia@cin.ufpe.br17 Redução Polinomial Formalmente, redução polinomial de um problema P* a um outro problema P, é um algoritmo polinomial que transforma uma instância x de P* em um instância y de P, de forma que: P*(x) = “SIM” se e somente se P(y) =“SIM”.

18 maio/2000katia@cin.ufpe.br18 Redução Polinomial A complexidade de SAT é um limite inferior para a complexidade do problema P porque se o problema P for resolvido em tempo polinomial, o problema SAT também poderá ser resolvido em tempo polinomial. Redução Polinomial Algoritmo Polinomial para P Algoritmo polinomial para SAT y inst. de P x inst. de SAT x  SAT y  P (sse)

19 maio/2000katia@cin.ufpe.br19 Problema SAT Entrada: Expressão booleana , na Forma Normal Conjuntiva (FNC), ou seja, uma conjunção de disjunções. Saída: Existe uma valoração das variáveis de  de forma que  seja verdadeira? Ex:  = (x  y   z)  (  x  y  z)  (  x   y   z) A resposta para  é “SIM” ( x=1, y=1, z=0 )

20 maio/2000katia@cin.ufpe.br20 Redução de SAT a Clique Algoritmo polinomial para, dada uma expressão booleana na FNC, , (instância de SAT), gerar um grafo G(V,E) e um natural k  |V| tal que:  é satisfatível sse existe um k-clique em G. Algoritmo para gerar G(V,E) e k: Seja  = c 1  c 2 ...  c m V  {v i j, onde i é a cláusula e j é a variável } E  { (v i j, v k l ), onde i  k e v i j   v k l }.

21 maio/2000katia@cin.ufpe.br21 Redução de SAT a Clique Exemplo:  = ( x  y   z)  (  x   y  z)  ( y   z) x y y zz zz z yy xx

22 maio/2000katia@cin.ufpe.br22 Redução de SAT a Clique 1. O algoritmo de redução é polinomial. O número de vértices gerados é menor que o tamanho da entrada (número de símbolos na expressão booleana). O número de arestas geradas é limitado superiormente por |V| x |V|.

23 maio/2000katia@cin.ufpe.br23 Redução de SAT a Clique 2.  é satisfatível sse existe um k-clique em G.  Se  é satisfatível, então existe uma valora ção das variáveis em  que faz  verdadeira. Como  está na FNC, há pelo menos um literal em cada cláusula com valor verdadeiro. Considere os vértices V de G que correspondem a estes literais. O subgrafo gerado G[V] é um m-clique.

24 maio/2000katia@cin.ufpe.br24 Redução de SAT a Clique 2.  é satisfatível sse existe um k-clique em G.  Se existe um m-clique no grafo criado na redução, então, por construção de G, temos que: 1. Cada um dos vértices deve corresponder a um literal de uma cláusula diferente, e 2. As valorações destes literais não podem se contradizer. É possível valorar as variáveis corrresps a estes literais de forma a tornar  verdadeira (as demais variáveis podem tomar qualquer valor). Logo,  é satisfatível.

25 maio/2000katia@cin.ufpe.br25 A Classe NP-Completo Como dissemos inicialmente, NP-completo = NP  NP-difícil Algoritmo NPpolinomial SATSAT

26 maio/2000katia@cin.ufpe.br26 Classe NP-Completo - Abordagens Há uma série de técnicas para lidar com problemas NP-completos. Dependendo da situação, algumas são mais adequadas do que outras. Ex. - Algoritmos de Aproximação - Programação Dinâmica (Pseudo-polin.) - Algoritmos Randômicos

27 maio/2000katia@cin.ufpe.br27 Algoritmos de Aproximação Ex. Problema Bin-Packing Entrada: Números 0 < x < 1 Saída: Quantos bins de capacidade 1 são necessários para conter estes números? Uma entrada poderia ser:.4.3.4.5.7.6.5.6 Abordagem 1: FIRST FIT

28 maio/2000katia@cin.ufpe.br28 Bin-Packing Entrada:.4.3.4.5.7.6.5.6 Abordagem 1: FIRST FIT Saída: {.4,.3}, {.4,.5}, {.7}, {.6}, {.5}, {.6} Garantia do FIRST FIT:  de bins  2   ótimo. Abordagem 2: DECREASING FIRST FIT

29 maio/2000katia@cin.ufpe.br29 Bin-Packing Entrada:.4.3.4.5.7.6.5.6 Abordagem 2: DECREASING FIRST FIT Saída: {.7,.3}, {.6,.4}, {.6,.4}, {.5,.5} Garantia do DECREASING FIRST FIT:  de bins  1.25   ótimo.

30 maio/2000katia@cin.ufpe.br30 Problema Soma dos Subconjuntos Entrada: n números naturais Saída: Existe uma bipartição dos números na entrada tal que as somas dos elementos em cada conjunto seja igual? Uma entrada poderia ser: 5 3 2 4 Abordagem: Programação Dinâmica

31 maio/2000katia@cin.ufpe.br31 Problema Soma dos Subconjuntos Entrada: 5 3 2 4 Abordagem: Programação Dinâmica 5 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 x 0 x 0 0 x 0 0 0 0 0 0 2 0 x x 0 x 0 x x 0 x 0 0 0 0 4 0 x x x x x x x x x x x 0 x Saída: Matriz [n,  x i / 2] Custo: Tamanho da matriz = n   x i (Pseudo-Polinomial)

32 maio/2000katia@cin.ufpe.br32 Problema Soma dos Subconjuntos Entrada: 7 3 2 4 Abordagem: Programação Dinâmica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 0 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 x 0 0 0 x 0 0 x 0 0 0 0 0 0 2 0 x x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 0 0 0 4 0 x x x x x x 0 x x x x x x 0 x Saída: Matriz [4, 8]

33 maio/2000katia@cin.ufpe.br33 Algoritmo de Programação Dinâmica para Soma dos Subconjuntos soma  0 para i = 1.. n faça soma  soma + A [i] para j = 0.. soma faça Matriz [1, j]  0 Matriz [1, A[1] ]  1 para i = 2.. n faça para j = 1.. soma faça Matriz [i, j]  Matriz [i-1, j] /* Copia linha anterior */ se A[i] < j então Matriz [i-1, j-A[i] ]  1 Matriz [i, A[i] ]  1 devolva ( Matriz [n, soma/2] )