PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA MÉTODO SIMPLEX

Apresentação em tema: "PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA MÉTODO SIMPLEX"— Transcrição da apresentação:

1 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA MÉTODO SIMPLEX
Professor: D.Sc. Dalessandro Soares Vianna

2 Agradecimentos O material apresentado durante este curso é baseado nas notas de aula dos professores: Edwin Benito Mitacc Meza e Fermín Alfredo Tang Montané, professores do programa de Mestrado em Pesquisa Operacional e Inteligência Computacional da Universidade Candido Mendes - Campos.

3 Solução de Modelos de PL
Método Gráfico Método Simplex Método Simplex Dual

4 Método Simplex

5 Método Simplex É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível seguir melhorando uma determinada solução.

6 Método Simplex É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível seguir melhorando uma determinada solução. Caminha pelos vértices até encontrar uma solução que não possua soluções vizinhas melhores que ela Parte do valor da F.O. de um vértice qualquer que pertença a o espaço de soluções viáveis.

7 Método Simplex A solução ótima pode não existir:
Quando não há uma solução viável (restrições incompatíveis); Quando não há um valor máximo (ou mínimo) da F.O. (1 ou mais variáveis tendem ao infinito e as restrições continuarem sendo satisfeitas).

8 Transformação de um PPL em um sistema de equações equivalentes
Fundamentos O modelo de um PPL pode ser resolvido pela solução de um sistema de equações lineares Transformação de um PPL em um sistema de equações equivalentes FORMA CANÔNICA FORMA PADRÃO

9 Procedimentos (forma canônicaforma padrão)
8 14 Para restrições de desigualdade “”: A conversão é feita adicionando à equação uma variável artificial fj 0. Para restrições de desigualdade “”: A conversão é feita subtraindo à equação uma variável artificial fj 0.

10 n > m Procedimentos (forma canônicaforma padrão) Variáveis: n=5
O problema se transformou em encontrar uma solução de um sistema de equações lineares que maximize a F.O. Restrições: m=3 n > m

11 O número de soluções básicas possíveis
Método de Enumeração das Soluções Básicas Analisando, podemos dizer que atribuir zero a uma variável significa não produzir um dos produtos ou utilizar toda a disponibilidade de recursos. (n-m) variáveis iguais a zero  solução básica O número de soluções básicas possíveis soluções básicas possíveis

12 Variáveis Não Básicas:
Método de Enumeração das Soluções Básicas Variáveis não básicas: São as variáveis zeradas, igual a (n-m) variáveis. Variáveis básicas: São as variáveis cujos valores são calculados pelo sistema de equações. 1ª Combinação: Variáveis Não Básicas: Variáveis Básicas: Solução Básica: Solução Viável !!!

13 Não existe Base Associada !!!!
Método de Enumeração das Soluções Básicas 2ª Combinação: Variáveis Não Básicas: Variáveis Básicas: Não existe Base Associada !!!! Solução Básica: Não existe !!! 3ª Combinação: Variáveis Não Básicas: Variáveis Básicas: Solução Básica: Solução Viável !!! 4ª Combinação: Variáveis Não Básicas: Variáveis Básicas: Solução Básica: Solução Inviável !!! Continuar

14 Método de Enumeração das Soluções Básicas
Solução Básica (x1, x2, f1, f2, f3) F.O. Observação 1 (0,0,4,12,8) Viável 2 ---- Não existe 3 (0,6,4,0,6) 30 4 (0,9,4,-6,0) Inviável 5 (4,0,0,12,6) 12 6 7 (6,0,-2,12,0) 8 (4,6,0,0,-6) 9 (4,3,0,6,0) 27 10 (2,6,2,0,0) 36

15 Método de Enumeração das Soluções Básicas
Solução Básica (x1, x2, f1, f2, f3) F.O. Observação 1 (0,0,4,12,8) Viável 2 ---- Não existe 3 (0,6,4,0,6) 30 4 (0,9,4,-6,0) Inviável 5 (4,0,0,12,6) 12 6 7 (6,0,-2,12,0) 8 (4,6,0,0,-6) 9 (4,3,0,6,0) 27 10 (2,6,2,0,0) 36

16 Método de Enumeração das Soluções Básicas
No problema vimos que n=5 (número de variáveis) e m=3 (número de restrições) tem soluções básicas possíveis No caso de n=10 e m=5 teremos: No caso de n=20 e m=10 teremos: Problemas de grande porte

17 Método gráfico e enumeração
Desenvolvimento do Método Simplex Método gráfico e enumeração Problemas Reais Inviável Simplex!!! Sistemática? Qual o sistema de equações que deve ser resolvido; Qual é o próximo sistema a ser resolvido que fornecerá uma solução melhor que os anteriores; Como identificar uma solução ótima, uma vez que tenhamos encontrado.

18 Transformar o PPL da sua forma Canônica para sua forma Padrão.
Método Simplex - Passo 1 Transformar o PPL da sua forma Canônica para sua forma Padrão. FORMA CANÔNICA FORMA PADRÃO

19 Método Simplex - Passo 2 Montar um quadro para ordenarmos as operações, colocando neles apenas os coeficientes das variáveis. A solução inicial será sempre obtida fazendo as variáveis originais do modelo iguais a zero e achando o valor das demais. Quadro Inicial Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5

20 Método Simplex - Passo 3 Quadro Inicial 4/0= 12/2=6 18/2=9
Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5 4/0= 12/2=6 18/2=9 Das variáveis não básicas na primeira solução, qual deve-se tornar positiva ? Das 3 variáveis básicas na primeira solução, qual deverá ser anulado? Deve ser a variável que MAIS CONTRIBUI para o lucro Entra: x2 Sai: f2 Será aquela associada à linha que tiver o menor quociente entre o elemento da última coluna e o correspondente elemento da coluna de entrada.

21 Gera uma nova solução básica
Método Simplex - Passo 3 Quadro Inicial Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5 EquaçãoPivô Pivô Para a mudança da base (na busca por outra solução) emprega-se 2 operações de cálculo: Na equação do Pivô: Nas demais equações incluindo Z: Gera uma nova solução básica

22 Método Simplex - Passo 3 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão
Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 1/2 6 Z

23 Método Simplex - Passo 3 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão
Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 1/2 6 Z

24 Método Simplex - Passo 3 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão
Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 1/2 6 3 -1 Z

25 Método Simplex - Passo 3 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão
Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5 Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 1/2 6 3 -1 Z -3 5/2 30

26 Método Simplex - Passo 3 Quadro I
Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 1/2 6 3 -1 Z -3 5/2 30 Como nos elementos da ÚLTIMA LINHA (Equação do Z) existe ainda um NÚMERO NEGATIVO, significa que NÃO CHEGAMOS AINDA À SOLUÇÃO ÓTIMA do PPL. Temos que REPETIR o processo.

27 Método Simplex - Passo 3 Quadro I 4/1=4 6/0= 6/3=2 Quadro II
Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 4 1/2 6 3 -1 Z -3 5/2 30 4/1=4 6/0= 6/3=2 Quadro II Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 1/3 -1/3 2 1/2 6 Z 3/2 36

28 Método Simplex - Passo 3 Quadro II
Variáveis na Solução Variáveis de Decisão Valores da Solução x1 x2 f1 f2 f3 1 1/3 -1/3 2 1/2 6 Z 3/2 36 Como todas as VARIÁVEIS NA ÚLTIMA LINHA tem COEFICIENTES POSITIVOS foi encontrado a SOLUÇÃO ÓTIMA. SOLUÇÃO ÓTIMA