Formulação do Problema Direto

Formulação do Problema Direto

Estrutura Exemplos Movimento uniformemente acelerado Ajuste de rede
Perfilagem Sísmica Vertical Sísmica de Reflexão Refletor plano paralelo Refletor plano inclinado (Perpendicular ao strike) Determinação Epicentral Sinal Climático Perturbação Abrupta Perturbação Linear Gravimetria Bacia Triangular Bacia Trapezoidal Magnetometria Separação regional-residual Esfera

Movimento uniformemente acelerado
Problema Geofísico Cálculo da aceleração da gravidade

Sabe-se que uma massa atirada para cima sofre efeito da aceleração da gravidade A massa experimenta um movimento uniformemente acelerado As observações são medições da posição da massa em diferentes instantes no decorrer de sua trajetória

z t

Parametrização Desconsiderando a resistência do ar, o movimento de uma massa atirada para cima pode ser descrito em termos da: Posição inicial S0 da massa Velocidade inicial V0 com que a massa foi atirada Aceleração da Gravidade g

Relação funcional Nessas condições, a relação entre a posição da massa em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g pode ser escrita como:

Relação funcional Nessas condições, a relação entre a posição da massa em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g pode ser escrita como: = 0 = 0

Relação funcional Nessas condições, a relação entre a posição da massa em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g pode ser escrita como: = 0

Problema Direto Sendo assim, para posições em diferentes instantes: . . .

Problema Direto Sendo assim, para posições em diferentes instantes: . . . vetor de dados preditos

Problema Direto Sendo assim, para posições em diferentes instantes: . . . vetor de parâmetros

Problema Direto Sendo assim, para posições em diferentes instantes: . . . matriz de sensibilidade

Problema Direto Sendo assim, para posições em diferentes instantes: derivada (sensibilidade) do dado predito 1 em relação ao parâmetro 1 . . . matriz de sensibilidade

Problema Direto Sendo assim, para posições em diferentes instantes: derivada (sensibilidade) do dado predito 1 em relação ao parâmetro 2 . . . matriz de sensibilidade

Problema Direto Sendo assim, para posições em diferentes instantes: derivada (sensibilidade) do dado predito N em relação ao parâmetro 2 . . . matriz de sensibilidade

Norma Para quantificar a diferença entre os dados observados e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:

Norma Para quantificar a diferença entre os dados observados e os dados preditos é comum utilizar a norma L2: Função escalar e que depende dos parâmetros

Norma Para quantificar a diferença entre os dados observados e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:

Perfilagem Sísmica Vertical
Problema Geofísico Cálculo da velocidade sísmica (vertical) dos materiais ao redor do poço

Uma fonte localizada na superfície do poço gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores localizados dentro do poço As observações são medições do tempo de chegada da primeira onda em cada receptor

Fonte Receptor Poço

Uma fonte localizada na superfície do poço gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores localizados dentro do poço As observações são medições do tempo de chegada da primeira onda em cada receptor

z

Parametrização Considerando raios sísmicos sem curvatura e que a subsuperfície é formada por uma sucessão de camadas homogêneas, o tempo gasto para uma onda atingir um receptor pode ser descrito em termos dos parâmetros: Espessura s de cada camada Velocidade v em cada camada

Relação funcional Nessas condições, a relação entre o tempo gasto para uma onda atingir um receptor e os parâmetros s e v em cada camada pode ser escrita como:

Tempo até o sexto receptor

Relação funcional Como as espessuras s são conhecidas, uma vez que representam o espaçamento entre a fonte e o primeiro receptor e entre receptores adjacentes:

Problema Direto Sendo assim, para todos os receptores: . . .

Norma A norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

Sísmica de Reflexão (Refletor plano-paralelo)
Problema Geofísico Cálculo da profundidade do embasamento e da velocidade da camada sobrejacente

Uma fonte localizada na superfície gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores que também são localizados na superfície As observações são medições do tempo de chegada da onda refletida em cada receptor

Fonte Receptor R1 R2 R3 arenito embasamento R4 R5 R6

Fonte Receptor tempo R1 R2 R3 arenito embasamento R4 R5 R6

Parametrização Considerando raios sísmicos sem curvatura, que a camada sobre o embasamento é homogênea, isotrópica e plano-paralela, o tempo gasto para uma onda refletida atingir um receptor pode ser descrito em termos dos parâmetros: Espessura h da camada Velocidade v da camada Distância x entre a fonte e o receptor

Relação funcional Nessas condições, a relação entre o tempo de chegada de uma onda refletida e os parâmetros h, v e x em cada receptor:

Fonte Receptor tempo R4 R5 R6 R1 R2 R3 h v embasamento

Sísmica de Reflexão (Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Problema Geofísico Cálculo da profundidade e mergulho do embasamento e também da velocidade da camada sobrejacente

Fonte Receptor R4 R5 R6 R1 R2 R3 arenito embasamento

Fonte Receptor tempo R4 R5 R6 R1 R2 R3 arenito embasamento

Parametrização Considerando raios sísmicos sem curvatura e que a camada sobre o embasamento é homogênea e isotrópica, o tempo gasto para uma onda refletida atingir um receptor pode ser descrito em termos dos parâmetros: Espessura h ao longo do perfil sísmico Velocidade v da camada Distância x entre a fonte e o receptor Mergulho β do embasamento

Relação funcional Nessas condições, a relação entre o tempo de chegada de uma onda refletida e os parâmetros h, v, x e β em cada receptor:

Fonte Receptor tempo R4 R5 R6 R1 R2 R3 h1 h2 h3 h4 h5 h6 v β embasamento

Determinação Epicentral
Problema Geofísico Cálculo das coordenadas de um epicentro

Um terremoto gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de estações sismográficas localizadas na superfície As observações são medições da diferença entre o tempo de chegada das ondas P e S em cada estação

superfície

superfície fonte do terremoto

superfície fonte do terremoto estação sismográfica

Um terremoto gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de estações sismográficas localizadas na superfície As observações são medições da diferença entre o tempo de chegada das ondas P e S em cada estação

B superfície A C fonte do terremoto estação sismográfica

onda S estação sismográfica onda P ∆tA A ∆tB B ∆tC C tempo

estação sismográfica A B C ∆t

Parametrização Considerando raios sísmicos sem curvatura, que a profundidade do terremoto pode ser desprezada e que o meio é homogêneo e isotrópico, a diferença de tempo entre as ondas P e S em uma determinada estação pode ser descrito em termos dos parâmetros: Velocidades vP e vS Coordenadas x e y da estação Coordenadas x0 e y0 da estação

Relação funcional Nessas condições, a relação entre a diferença de tempo de chegada das ondas P e S e os parâmetros vP, vS, x, y, x0, e y0 em uma estação:

B superfície A (xB, yB) (xA, yA) C (x0, y0) (xC, yC) vP vS fonte do terremoto estação sismográfica

Problema Direto Sendo assim, para todas as estações: . . .

Sinal Climático (Perturbação Abrupta)
Problema Geofísico Cálculo da amplitude e do tempo em que ocorreu uma perturbação climática

Uma mudança abrupta no clima gera uma perturbação na temperatura da superfície, que se propaga em subsuperfície e é detectada por um sensor movido ao longo de um poço As observações são medições da diferença entre a temperatura ao longo do poço e a temperatura predita pelo campo térmico regional

subsuperfície

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática t0 t subsuperfície

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática o tempo é positivo em direção ao presente t0 t subsuperfície

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática mudança abrupta na temperatura t0 t subsuperfície

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática t0 t a mudança abrupta na temperatura, induzida por uma perturbação climática, propaga-se em subsuperfície subsuperfície

Uma mudança abrupta no clima gera uma perturbação na temperatura da superfície, que se propaga em subsuperfície e é detectada por um sensor movido ao longo de um poço As observações são medições da diferença entre a temperatura ao longo do poço e a temperatura do campo térmico regional

medidas da temperatura ao longo do poço

temperatura t0 t profundidade

temperatura campo térmico regional t0 t profundidade

t0 t profundidade

Parametrização Considerando que a subsuperfície é um semi-espaço infinito e homogêneo, o sinal climático em uma determinada profundidade pode ser descrito em termos dos parâmetros: Difusividade térmica λ Tempo t’ decorrido desde a perturbação climática Amplitude A da perturbação climática Profundidade z dentro do poço

Relação funcional Nessas condições, a relação entre o sinal climático em uma determinada profundidade e os parâmetros λ, t’ e A é dada por:

A t' t0 t z z profundidade λ

Problema Direto Sendo assim, para diferentes profundidades: . . .

Sinal Climático (Perturbação Linear)
Problema Geofísico Cálculo da amplitude e do tempo em que ocorreu uma perturbação climática

Uma mudança linear no clima gera uma perturbação na temperatura da superfície, que se propaga em subsuperfície e é detectada por um sensor movido ao longo de um poço As observações são medições da diferença entre a temperatura ao longo do poço e a temperatura predita pelo campo térmico regional

subsuperfície

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática o tempo é positivo em direção ao presente t0 t subsuperfície

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática mudança linear na temperatura t0 t subsuperfície

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática t0 t a mudança linear na temperatura, induzida por uma perturbação climática, propaga-se em subsuperfície subsuperfície

Uma mudança linear no clima gera uma perturbação na temperatura da superfície, que se propaga em subsuperfície e é detectada por um sensor movido ao longo de um poço As observações são medições da diferença entre a temperatura ao longo do poço e a temperatura do campo térmico regional

medidas da temperatura ao longo do poço

temperatura t0 t profundidade

temperatura campo térmico regional t0 t profundidade

t0 t profundidade

Parametrização Considerando que a subsuperfície é um semi-espaço infinito e homogêneo, o sinal climático em uma determinada profundidade pode ser descrito em termos dos parâmetros: Difusividade térmica λ Tempo t’ decorrido desde a perturbação climática Amplitude A da perturbação climática Profundidade z dentro do poço

Relação funcional Nessas condições, a relação entre o sinal climático em uma determinada profundidade e os parâmetros λ, t’ e A é dada por:

z λ

Problema Direto Sendo assim, para diferentes profundidades: . . .

Gravimetria (Bacia Triangular)
Problema Geofísico Cálculo da profundidade do embasamento

O relevo do embasamento sob uma bacia sedimentar produz uma anomalia na Aceleração da Gravidade As observações são medições da componente vertical da Anomalia de Gravidade

Modificado de Allen e Allen (2005)

Parametrização Considerando que o pacote sedimentar e o embasamento são homogêneos, a anomalia de gravidade pode ser descrita em termos dos parâmetros: Contraste ρ de densidade dos sedimentos Relevo do embasamento

A bacia sedimentar pode ser aproximada por um polígono triangular posição

posição Cujo formato é definido pelas coordenadas do vértice inferior (x, z)

Relação funcional Nessas condições, a relação entre a anomalia de gravidade em uma determinada posição e os parâmetros ρ, x e z é dada por uma função: Que pode ser baseada, por exemplo, no trabalho de Talwani (1959)

x ρ (x, z) z

Problema Direto Sendo assim, para diferentes posições: . . .

Gravimetria (Bacia Trapezoidal)
Problema Geofísico Cálculo da profundidade do embasamento

crosta

crosta estiramento

crosta falhamento normal

subsidência

sedimentar

posição

Parametrização Considerando que o pacote sedimentar e o embasamento são homogêneos, a anomalia de gravidade pode ser descrita em termos dos parâmetros: Contraste ρ de densidade dos sedimentos Relevo do embasamento

A bacia sedimentar pode ser aproximada por um polígono trapezoidal posição

posição Cujo formato é definido pela profundidade dos vértices inferiores

Relação funcional Nessas condições, a relação entre a anomalia de gravidade em uma determinada posição e os parâmetros ρ, z1 e z2 é dada por uma função: Que pode ser baseada, por exemplo, no trabalho de Talwani (1959)

posição z1 ρ z2

Magnetometria (Dipolo)
Problema Geofísico Determinação da localização de um dipolo em subsuperfície

Um corpo magnetizado em subsuperfície produz um campo magnético O campo magnético produzido é uma grandeza vetorial, que é somado ao campo Geomagnético e produz um campo resultante As observações são medições da intensidade do campo magnético resultante na superfície (Anomalia de Campo Total)

O corpo adquire magnetização

E produz um campo magnético

Um corpo magnetizado em subsuperfície produz um campo magnético O campo magnético produzido é uma grandeza vetorial, que é somado ao campo Geomagnético e gera um campo resultante As observações são medições da intensidade do campo magnético resultante na superfície (Anomalia de Campo Total)

Campo Geomagnético Campo do corpo

O campo resultante é uma soma vetorial

Um corpo magnetizado em subsuperfície produz um campo magnético O campo magnético produzido é uma grandeza vetorial, que é somado ao campo Geomagnético e gera um campo resultante As observações são medições da intensidade do campo magnético resultante na superfície (Anomalia de Campo Total)

B posição

Parametrização Considerando que a rocha encaixante é não-magnética, que o campo geomagnético é constante, que a magnetização é induzida e que o corpo pode ser aproximado por um dipolo, a anomalia de campo total pode ser descrita em termos dos parâmetros: Suscetibilidade magnética χ do corpo Componentes Bx, By e Bz do campo geomagnético Coordenadas x, y e z do dipolo

A bacia sedimentar pode ser aproximada por um polígono trapezoidal posição

posição Cujo formato é definido pela profundidade dos vértices inferiores

Relação funcional Nessas condições, a relação entre a anomalia de gravidade em uma determinada posição e os parâmetros ρ, z1 e z2 é dada por uma função:

posição z1 ρ z2

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