Campus de Caraguatatuba Aula 2: Somatório e Produtório

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1 Campus de Caraguatatuba Aula 2: Somatório e Produtório
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 2: Somatório e Produtório

2 Somatório (1) Seja a seguinte soma de inteiros de 1 a 5:
Usa-se o Somatório para encurtar a escrita de dessa somas de parcelas. Pode-se pensar nessa soma do seguinte modo: Suponha que se tenha alguma quantidade i, que inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5. A expressão resultante representa a soma de todos os valores de i. A notação para somatório é dada da seguinte forma:

3 Somatório (2) Onde: A letra grega ∑ (sigma) representa o somatório; O número 1 é o limite inferior do somatório; O número 5 é o limite superior do somatório; e A variável i é chamada de índice do somatório. Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior. Todos os valores do índice do somatório são somados, de forma que:

4 Somatório (3) Exemplo 1: Exercício 1: Qual o valor de

5 Somatório (4) Nos exemplos apresentados, a expressão após o símbolo de somatório é o símbolo i, denominado de índice do somatório. Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão. Exemplo 2: Exercício 2: Qual o valor de

6 Somatório (5) Para se simbolizar somatórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação a seguir: Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e nem a expressão após o símbolo do somatório; e A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, variando do limite inferior até o superior, como se segue, Há alguns casos especiais a serem considerados com relação ao valor de :

7 Somatório (6) Caso 1: Exemplo 3:
Aqui a expressão após o sinal de somatório é a constante 0, que tem o valor 0 independente do valor do índice do somatório. A soma de qualquer quantidade de números iguais a 0 é 0. Exemplo 3:

8 Somatório (7) Caso 2: Exemplo 4:
Aqui a expressão após o símbolo de somatório é uma constante, e o somatório diz que tem que se somar n cópias de uma constante, o que é igual ao valor cn. Exemplo 4:

9 Somatório (8) Caso 3: Exemplo 5:
Aqui, nesse somatório, o limite superior é menor que o limite inferior; e a interpretação usual de somatório não se aplica; mas se convenciona que esse somatório é igual a 0. Exemplo 5:

10 Somatório (9) O índice de somatório é uma variável muda, isto é, ela simplesmente marca o lugar do número que está sendo alterado e pode-se usar qualquer outra variável sem mudar o valor do somatório. Exemplo 6:

11 Somatório (10) Pode-se mudar os limites em um somatório, o que é permitido desde que o valor do somatório permaneça o mesmo. Exemplo 7: Já que ambos os somatórios tem o valor = 6.

12 Somatório (11) Há algumas propriedades para somatórios. Propriedade 1:

13 Somatório (12) Propriedade 3: Onde c é uma constante.

14 Somatório (13) Prova da Propriedade 1: Notar que,
ap + bp + ap+1 + bp aq + bq = ap + ap aq + bp + bp bq termos em ai termos em bi

15 Somatório (14) Exercício 3: Provar a Propriedade 2.

16 Somatório (15) Exercício 4: Provar a Propriedade 3.
Onde c é uma constante.

17 Somatório (16) Exercício 5: Seja a soma dos valores de transações de cartões de credito apresentadas a seguir, Colocar essa soma em formato de somatório.

18 Somatório (17) Pode-se ter somatórios duplos (ou triplos, etc.).
Exemplo 8: Exercício 6: Expandir o somatório acima.

19 Somatório (18) Exercício 6: Expandir o somatório abaixo. Solução:

20 Produtório (1) Seja a seguinte multiplicação de inteiros de 1 a 5:
Usa-se o Produtório para encurtar a escrita de dessa multiplicação de parcelas. Pode-se pensar nessa multiplicação do seguinte modo: Suponha que se tenha alguma quantidade i, que inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5. A expressão acima é o resultado da multiplicação de todos os valores de i. A notação para produtório é dada da seguinte forma:

21 Produtório (2) Onde: A letra grega ∏ (pi) representa o produtório; O número 1 é o limite inferior do produtório; O número 5 é o limite superior do produtório; e A variável i é chamada de índice do produtório. Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior. Todos os valores do índice do produtório são multiplicados, de forma que:

22 Produtório (3) Exemplo 8: Exercício 7: Qual o valor de

23 Produtório (4) Nos exemplos e exercícios apresentados, a expressão após o símbolo de produtório é o símbolo i, o denominado índice do produtório. Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão. Exemplo 9: Exercício 8: Qual o valor de

24 Produtório (5) Para se simbolizar produtórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação: Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e a expressão após o símbolo do produtório; e A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, do limite inferior até o superior, como se segue, Há algumas propriedades de produtórios para serem consideradas a seguir.

25 Produtório (11) Propriedade 1: Exemplo 10:

26 Produtório (12) Propriedade 2: Exemplo 11:

27 Produtório (13) Propriedade 3: Exemplo 12: Para usando-se a soma

28 Produtório (14) Propriedade 4: Exemplo 13: Para

29 Produtório (15) Propriedade 5: Exemplo 14: Para

30 Produtório (16) Exercício 9: Verificar se é verdadeira a equação abaixo.