Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 1 Sistemas Periciais Tradicionais Funcionam assumindo que tudo é Verdadeiro ou Falso Qualquer regra cujas condições.

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1 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 1 Sistemas Periciais Tradicionais Funcionam assumindo que tudo é Verdadeiro ou Falso Qualquer regra cujas condições sejam satisfeitas é disparável as suas conclusões são Verdadeiras Estas assunções são simplistas e conduzem a Sistemas Periciais Frágeis

2 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 2 Fontes de Incerteza Informação incompleta Informação imprecisa Raciocínio com Incerteza exige: Quantificação de Incerteza Método de combinação dos valores de Incerteza

3 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 3 Principais Abordagens Métodos Quantitativos Qualitativos ValoresConjuntos UnárioBinário Conjuntos Vagos Lógica Não Monotónica ProbabilidadesFact. Certeza Dempster-Schafer

4 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 4 Comparação das Teorias Quantitativas Fácil DifícilModeradaFacilidade de Aplicação Baixa Moderada Complexidade da Teoria Baixa Moderada Dificuldade Execução do Modelo ModeradaBaixaModerada Dificuldade Construção Modelo ModeradaBaixaModeradaBaixaComplexidade Computacional ModeradaFracaForte Fundamentos Teóricos Conj. VagosFact. CertezaDemp.- Schafer BayesMétodo

5 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 5 Como escolher ? Conj. VagosFact. CertezaDemp.- Schafer BayesMétodo ModeradoPoucoGrandePoucoTreino na Aplicação Pouco Moderado Treino na Teoria Pequeno a Grande PequenoPequeno a Grande PequenoVolume de Computação Bem/Mal Definido Bem Definido Definição do Problema

6 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 6 Fontes de Incerteza Dada a regra Regra R1 : Se A & B então C Existem três potenciais áreas de Incerteza: –Incerteza nos dados (quão verdadeiros são A e B) –Incerteza na regra (com que frequência A & B implicam C) –Imprecisão em geral As duas primeiras podem ser tratadas usando Probabilidades A terceira usando Lógica Fuzzy

7 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 7 Teoria da Probabilidade É uma aproximação matemática para processar informação incerta As suas raízes remontam ao séc. XVII, foi criada por um grupo de jogadores franceses, com o intuito de tornar o jogo menos aleatório Mais tarde Pascal e Fermat desenvolveram a Teoria da Probabilidade Clássica – usada ainda hoje para extrair inferências numéricas de dados Propõe a existência de um valor P(E) – Probabilidade - que consiste na possibilidade de ocorrência de um evento E a partir de uma experiência de eventos aleatórios Ou seja, se realizarmos uma determinada experiência um número considerável de vezes, então podemos ter quase a certeza que a frequência relativa do evento E é aproximadamente igual a P(E) O conjunto de todos os possíveis resultados de uma experiência é denominado espaço da amostra S.

8 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 8 Probabilidade Discreta Experiências com resultados discretos P(E) = W(E)/N em que W(E) – nº de vezes que um particular evento OcorreuN – nº de experiências realizadas Exemplo Considere-se o seguinte espaço resultante da experiência de rodar uma moeda S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Cada evento neste espaço da amostra representa um possível resultado da experiência. N será o número de vezes que a moeda é rodada e W(E) o número de resultados de um particular evento. A probabilidade de cada evento neste espaço P(E) =W(E)/N = 1/6

9 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 9 Probabilidade Contínua Espaços contínuos Em vez de calcular a probabilidade de um evento a partir de um conjunto discreto eventos, existe necessidade de calcular valores intermédios a partir de um conjunto de valores contínuos. Daí que seja necessário uma função de calculo da probabilidade da distribuição do evento.

10 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 10 Probabilidade Contínua Probabilidade experimental Define a probabilidade de um evento P(E) como o limite de uma função de frequência de distribuição f(E) P(E) = lim f(E)/N N sendo f(E) – frequência de observação de um evento Este tipo de probabilidade é também conhecido por probabilidade à posteriori – o que significa – após o evento. 0 < = P(E) <= 1 P(E i ) = 1 i P(E) + P(~E) = 1 sendo ~E o complemento de E

11 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 11 Probabilidades Compostas Em muitos problemas é necessário considerar combinações de diferentes eventos, por exemplo, calcular a probabilidade de ocorrência de dois eventos diferentes, ou a probabilidade de nenhum deles ocorrer. Intersecção Para problemas relativos a múltiplos eventos, é necessário determinar a intersecção dos espaços das amostras de todos os eventos. A partir disto é possível determinar a probabilidade conjunta P(A B) = n(A B) / n(S) = P(A) * P(B) fórmula válida para eventos independentes sendo P(A) = n(A)/n(S) Exemplo Considere-se a probabilidade de retirar do conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um número ímpar e um número divisível por 3 – dois eventos independentes. A= {1,3,5} B={3,6} A B ={ 3} P(A) = 3/6 P(B) = 2/6 P(A B) = 1/6 Donde, a probabilidade de retirar do conjunto um número ímpar e divisível por 3 é de 1/6.

12 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 12 Probabilidades Compostas União Por vezes pode ser necessário determinar a probabilidade de nenhum ou vários eventos ocorrerem P(A B) = P(A) + P( B) - P(A B) Exemplo Considere-se a probabilidade de retirar do conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um número ímpar ou um número divisível por 3 – dois eventos independentes. A= {1,3,5} B={3,6} A B ={ 3 } P(A) = 3/6 P(B) = 2/6 P(A B) = 1/6 ouP(A B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 2/3 Donde, a probabilidade de retirar do conjunto um número ímpar ou divisível por 3 é de 2/3.

13 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 13 Probabilidade Condicional São usadas quando os eventos não são mutuamente exclusivos, ou seja, quando os eventos se podem influenciar. A probabilidade de ocorrência de um evento A sabendo que um evento B ocorreu é chamada Probabilidade Condicional e é dada por: P(A | B) = P(A B) / P(B) A probabilidade condicional permite obter a probabilidade de um evento A sabendo que o evento B ocorreu Exemplo Qual a probabilidade de se retirar do conjunto S o número 3 (evento A) sabendo que um número divisível por 3 ocorreu (evento B) P (A | B) = n (A B) / n (S) / n(B)/n(S) = n (A B) / n ( B ) = 1/6 / 2/6 = 1/2

14 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 14 Fórmulas Básicas de Probabilidade Regra do Produto: Probabilidade de conjunção de dois eventos A e B Regra da Soma: Probabilidade de disjunção de dois eventos A e B Teorema da Multiplicação de Probabilidades: permite calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de vários eventos a partir das probabilidades condicionais P(A 1... A n ) = P(A n /A 1... A n-1 )... P(A 2 /A 1 ) P(A 1 )

15 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 15 Teorema da Probabilidade Total A Se os eventos B 1,..,B n são mutuamente exclusivos e formam uma partição certa do evento A

16 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 16 Probabilidade à Posteriori A probabilidade condicional permite obter a probabilidade de um evento A sabendo que o evento B (anterior a A) ocorreu Muitas vezes estamos interessados na situação inversa: Qual é a probabilidade de um anterior evento ter ocorrido sabendo que um evento posterior ocorreu ? Probabilidade à Posteriori O problema em determinar a probabilidade à posteriori foi resolvido por Thomas Bayes sendo conhecido por Teorema de Bayes

17 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 17 Teorema de Bayes P(h | D): probabilidade à posteriori de h dado D (reflecte a confiança da hipótese h depois de se observar – D) P(D | h): probabilidade de D dado h P(h): probabilidade a priori da hipótese h (representa o conhecimento de domínio, se este conhecimento prévio não existir pode ser atribuída a mesma probabilidade a cada hipótese candidata) P(D): probabilidade a priori de D (sem conhecimento prévio)

18 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 18 Teorema de Bayes A aplicação do teorema de Bayes como classificador requer que se conheçam: duas probabilidades a priori - p (decisão i ) uma probabilidade condicional - p (x | decisão i ) Em recursos ricos estatisticamente, é possível determinar a probabilidade das hipóteses serem verdadeiras, através de algumas evidências acerca do problema

19 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 19 Teorema de Bayes O Teorema de Bayes é usado no desenvolvimento de Sistemas Periciais Dada a estrutura de uma regra típica If E then H (LS, LN) A fórmula de Bayes pode ser usada para calculo da probabilidade da hipótese H partindo da probabilidade apriori do facto E Exemplo: Diagnóstico de avaria de uma máquina. Podemos observar os sintomas apresentados pela máquina mas o diagnóstico está relacionado com os eventos anteriores que causaram os sintomas que a máquina apresenta

20 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 20 LS versus LN As regras são da forma IF E THEN H (LS, LN) E – denota alguma Evidência H – representa alguma Hipótese LS – Likelihood of Sufficiency representa a medida de Suporte da Hipótese H dada a Evidência E LS = P(E | H) / P(E |~H) LN– Likelihood of Necessity representa a medida de descredito da Hipótese H se a Evidência E estiver em falta LN = P(~E | H) / P(~E | ~H)

21 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 21 LS versus LN IF E THEN H (LS, LN) Ambos os factores LS e LN são fornecidos pelo perito e são usados para calcular a Probabilidade à Posterior da Hipótese O ( H | E ) Ambos os factores variam : 0 < LS < 0 < LN < LS Efeito na Hipótese 0 H é Falso quando E é Verd ou ~E é necessário para concluir H Pequeno E não é favorável para concluir H 1 E não tem efeito para concluir H Grande E é favorável para concluir H E é logicamente suficiente para concluir H

22 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 22 LS versus LN LN Efeito na Hipótese 0 H é Falso quando E ausente ou E é necessário para concluir H Pequeno Ausência de E não é favorável para concluir H 1 Ausência de E não tem efeito para concluir H Grande Ausência de E é favorável para concluir H Ausência de E é logicamente suficiente para concluir H

23 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 23 Aplicação do Teorema de Bayes: Diagnóstico Médico Seja M = doença meningite S = dor no pescoço Um Doutor sabe: P(S|M) = 0.5 P(M) = 1/50000 P(S) = 1/20 P(M|S) = P(S|M)P(M) P(S) = 0,5*(1/50000) = 0,0002 1/20 A probabilidade de uma pessoa ter meningite dado que ela está com dor no pescoço é 0,02% ou ainda 1 em 5000. 1 Probabilidade condicional 2 Probabilidades a priori

24 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 24 Exercício Pacientes com problemas cardíacos são sujeitos a um electrocardiograma (ECG) Os resultados são classificados: positivos (+ECG) sugerindo doença cardíaca (+DC) negativos (-ECG) no caso de não haver doença cardíaca (-DC) Assumindo que um dado paciente realizou um electrocardiograma positivo pretende-se saber qual a probabilidade deste ter doença cardíaca ? P(+DC | + ECD) Sabendo que –10 pessoas em 100 têm um ataque cardíaco –90 pessoas em 100 que tiveram doença cardíaca produziram um electrocardiograma positivo –95 pessoas em 100 que não tiveram doença cardíaca produziram um electrocardiograma negativo

25 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 25 Exercício 10 pessoas em 100 têm um ataque cardíaco P(+DC) = 0.1 P(-DC) = 1- P(+DC) = 1 - 0.1 = 0.9 90 pessoas em 100 que tiveram doença cardíaca produziram um electrocardiograma positivo (+ECD) P(+ECD | +DC) = 0.9 95 pessoas em 100 que não tiveram doença cardíaca produziram um electrocardiograma negativo (-ECD) P ( -ECD | -DC) = 0.95 P (+ECD | -DC) = 1 - P(-ECD | -DC) = 1 - 0.95 = 0.05 P(+ECD) = P(+ECD | +DC) * P(+DC) + P(+ECD | -DC) * P(-DC) = 0.9 * 0.1 + 0.05 * 0.9 = 0,135 P(+DC | + ECD) = P(+ECD | +DC) * P(+DC) / P(+ECD ) P(+DC | + ECD) = 0.1 * 0.9 / 0,135 = 0.67 67%

26 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 26 Teorema de Bayes A aplicação do teorema de Bayes requer que se conheçam: duas probabilidades a priori - p (decisão i ) uma probabilidade condicional - p (x | decisão i ) Na prática estas probabilidades são desconhecidas Estimativas fiáveis destas probabilidades requer um número infinito de exemplos Como ultrapassar o problema ? –Assumindo simplificações no calculo de p (x | decisão) O termo P(D) também pode ser escrito sob a forma: P(D) = P(D | h) * P(h) + P(D | ~h) * P(~h)

27 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 27 Teorema de Bayes Generalizado Conjunto de evidências E i Conjunto de Hipóteses plausíveis H j Assumindo que as hipóteses são –mutuamente exclusivas e –colectivamente exaustivas Suposição Bayesiana Naive P (a 1, a 2,..., a n / v j ) = P (a i / v j ) i P (H j | E 1.... E m ) = P (H i | E 1,..., E m ) * P(H j ) P (H i | E 1,..., E m ) * P(H j )

28 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 28 PROSPECTOR PROSPECTOR - Sistema Pericial no domínio da Geologia desenvolvido para auxiliar os geólogos na procura de depósitos minerais [Duda-79] Um dos Sistemas Periciais mais populares de Aplicação da Teoria Bayesiana para Apoio à Decisão Dado o sucesso deste Sistema Pericial surgiu a Linguagem KAS que permite o desenvolvimento de Sistemas Periciais usando a Teoria Bayesiana de Probabilidades

29 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 29 PROSPECTOR - Medida de Certeza Em vez de se usar P( E | E) introduziram o conceito Medida de Certeza C ( E | E) variável - 5 < C ( E | E) < 5 Se C ( E | E) = -5 então P ( E | E) = 0 C ( E | E) = 0 então P ( E | E) = P(E) C ( E | E) = 5 então P ( E | E) = 1 Para P(E | E total ) > P(E) C(H|E) = 5 * P(E | E total ) – P(E) / 1-P(E) Para P(E | E total ) <= P(E) C(H|E) = 5 * P(E | E total ) – P(E) / P(E) A razão principal para introduzir este conceito prendeu-se meramente com questões psicológicas. É mais fácil para um perito dizer: Penso que estou a apanhar uma constipação Do que dizer: A probabilidade de estar a apanhar uma constipação é de 90%

30 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 30 Exemplo usando a Linguagem KAS Problema: Decidir se compra ou não um carro Com base na seguinte rede de inferência: H1 Não compra E1 Mau Estado E2 Preço Elevado E3 Kilometragem > 100 000 km E4 Carro de cidade E5 Carroçaria degradada E7 Amolgada E6 Com ferrugem OR AND

31 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 31 Exemplo Regras que formam a rede de inferência Regra R1Se Carro em Mau Estado Ou Preço do carro Elev Então Não compra carro Regra R2Se Kilometragem do carro > 100 000 Km E Carro de cidade E carroçaria degradada Então carro em mau estado Regra R3Se carro tem amolgadelas Então carroçaria degradada [LS = 1000, LN = 0.001] Regra R4Se carro tem ferrugem Então carroçaria degradada [LS = 100, LN = 1]

32 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 32 Exemplo Regra R3Se carro tem amolgadelas Então carroçaria degradada [LS = 1000, LN = 0.001] Regra R4Se carro tem ferrugem Então carroçaria degradada [LS = 100, LN = 1] A presença de amolgadelas no carro é muito favorável à conclusão Carroçaria degradada, enquanto que a não observação de amolgadelas é bastante desfavorável no suporte da conclusão No caso da regra R4 a ferrugem é de algum modo favorável ao suporte da conclusão, enquanto que a ausência de ferrugem não tem qualquer efeito na conclusão

33 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 33 Exemplo Assumindo que todas as Probabilidades à priori das Evidências P( E i ) = 0,1 Sistema KAS com que Grau de Confiança se pode assumir que: 1.a Kilometragem do carro é superior 100 000 Km ? Utilizador: 5 2.o carro é de cidade ? Utilizador: 5 3.o carro tem amolgadelas ? Utilizador: 4 4.o carro tem ferrugem ? Utilizador: -1 5.o preço do carro é elevado ? Utilizador: 1 Conclusão: A minha certeza em não comprar o Carro é de 3.97 O valor da Confiança C(H1) = 3.97 com base no intervalo [-5, 5] Sendo o valor mais próximo de 5 conclui-se Recomenda-se vivamente a não comprar o carro

34 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 34 Operações Internas C(E3 | E3) = C(E4 | E4) = 5 o utilizador observando E3 e E4 está totalmente certo de E3 e E4 C(E5 | E6, E7) ? É calculado através do Teorema Bayes por manipulação das diversas fórmulas de Probabilidades C(E5 | E6, E7) = 3,97 A confiança em E1 é dada pela conjunção das condições E3, E4, E5, pelo que C(E1) = min {5, 5, 3,97} = 3,97 A confiança em H1 é dada pela disjunção das condições E1 e E2 C(H1) = max {3,97, 1} = 3,97

35 Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 35 Inconvenientes da Abordagem Bayesiana Só é matematicamente correcta se os eventos respeitarem a independência estatística Requer a existência de valores difíceis de obter – Probabilidades à Priori Não admite incerteza associada às evidências Alguns problemas em que os dados ou a informação está continuamente a ser alterada é necessário recalcular as probabilidades Em bases de conhecimento de dimensão apreciável, torna-se difícil efectuar alterações dado que se tem de verificar P(H 1 ) + P(H 2 ) +... + P(H n ) = 1