Laudo Barbosa (07 de Novembro, 2006)

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1 Laudo Barbosa (07 de Novembro, 2006)
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) Minicurso – Cristalografia e Difração de Raios-X Segunda aula: Interações de Raios-x com a Matéria Laudo Barbosa (07 de Novembro, 2006)

2 Plano de apresentação Espalhamento Thomson, Efeito Compton, Efeito Fotoelétrico Espalhamento de raios-x por uma, duas e n partículas Difração de raios-x por um arranjo linear de partículas (Condições de Laue, Lei de Bragg) Difração por um cristal

3 Espalhamento Uma possibilidade Outra possibilidade p1 p2 p1 p2 Há diversas possibilidades de interação entre partículas (colisão elástica, colisão inelástica, fusão, fissão, desintegração... ) Cada interação tem uma probabilidade de ocorrência A probabilidade depende, em geral, da energia e das características de cada partícula envolvida na interação A probabilidade específica para uma interação é chamada Seção de Choque O resultado efetivo das interações é naturalmente relacionado com a Seção de Choque NOTA: na descrição física mais rigorosa, não se fala mais em campos, pois o próprio campo é composto por partículas. Também não se calculam valores exatos, somente probabilidades

4 Raios-X (interação de fóton com elétron)
Espalhamento Thomson ( = “clássico”) Ef  E Processo análogo Ef E O campo elétromagnético (fóton) leva o elétron a oscilar em sua órbita A oscilação implica aceleração/desaceleração Elétrons acelerados emitem radiação A radiação emitida tem a mesma frequência da incidente (coerente)

5 Raios-X (interação de fóton com elétron)
Espalhamento Compton Ef >> E λ2 > λ1 Ef E λ1 A energia do fóton é muito maior que a energia de ligação do elétron Portanto, é como se o elétron estivesse “livre” Ocorre colisão inelástica O elétron adquire energia, o fóton perde energia

6 Raios-X (interação de fóton com elétron)
Efeito fotoelétrico Ef > E Ef E A energia do fóton é apenas maior que a energia de ligação do elétron O elétron adquire (absorve) a energia do fóton Com o excesso de energia, o elétron se desprende do átomo O fóton desaparece

7 Produção de Par elétron-pósitron
Produção de pares Produção de Par elétron-pósitron Ef > mec2 (512keV) Ef A energia do fóton é suficiente para “materializar” um elétron e um pósitron O núcleo do átomo adquire momento de recuo O fóton desaparece (aniquilação)

8 Interação de fótons com a matéria
Resumo Compartivo das seções de choque Para a difração de raios-x, o efeito relevante é o espalhamento coerente (Thomson)

9 Espalhamento (coerente) por uma partícula
Conforme já foi mostrado, o campo elétrico se exprime como uma soma infinita (integral) de termos: Cada um dos termos se refere a um comprimento de onda específico, e contribui com amplitude F = F(k,) Consideremos o caso de uma onda monocromática, de amplitude constante Podemos calcular o espalhamento da onda Yo por uma partícula carregada (elétron)

10 Espalhamento (coerente) por uma partícula
Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre um elétron ? 2 So ^ S D O P Encontra-se: A amplitude da onda espalhada depende do ângulo e cai com 1/D A intensidade [  |Y|2 ] da onda espalhada cai com 1/D2 A onda espalhada chega ao ponto P depois de um intervalo de tempo D/c A onda espalhada é defasada por um fator αs relativamente à onda incidente

11 Diferença de caminho óptico:
Espalhamento (coerente) por duas partículas Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre dois elétrons ? 2 So ^ S D O2 P O1 O2 O1 So ^ r S So ^ S O2 O1 Diferença de caminho óptico: Encontra-se: Como r << D  O ângulo de espalhamento é o mesmo para as duas partículas

12 Espalhamento (coerente) por n partículas
Por extensão deste raciocínio, podemos calcular o espalhamento devido a várias partículas, não necessariamente idênticas. O único que muda é o termo referente à amplitude de espalhamento para cada partícula, . As contribuições individuais de cada partícula se somam: A intensidade do espalhamento é o que efetivamente se mede. Nesta medida estão “embutidas” as informações sobre estrutura rj. Idealmente, uma medida complementar deveria prover a informação sobre a fase, para se chegar à disposição espacial das partículas (“problema da fase”)

13 Difração por um arranjo linear de partículas
Porquê “Difração” ? Como o espalhamento é coerente, cada centro espalhador (elétron, partícula) atua como re-emissor da onda incidente. Num dado ponto de observação, as contribuições de cada centro re-emissor se somam (interferem) A interferência pode ser construtiva ou destrutiva O fenômeno é chamado de difração, em alusão ao que ocorre com as ondas.

14 n partículas regularmente espaçadas
1 n 2  So S n.a << D Tomamos a expressão genérica, para o espalhamento de n partículas, com rj = j.a Os termos do somatório estão em progressão geométrica, de razão e2ias

15 n partículas regularmente espaçadas
A intensidade do espalhamento numa dada direção é dada por: Para um número muito grande de partículas, fn(x) só é significativa quando x é um número inteiro

16 Condição de Laue A condição para que a intensidade difratada seja significativa é: Intensidade x (*) Lembra a Lei de Bragg

17 Difração por um cristal
Um cristal é, por definição, uma rede de centros espalhadores, distribuídos regularmente num arranjo periódico sobre as três direções espaciais Portanto, a posição de cada um dos centros espalhadores de um cristal pode ser especificada por: A mesma análise usada no caso unidimensional se aplica, estendida a três dimensões. Chegamos a uma expressão que envolve o produto de três somatórios:

18 Difração por um cristal
Em vez de apenas uma, temos, para o cristal, três “Condições de Laue”: Existe um vetor que, substituindo s, satisfaz simultaneamente as três condições Portanto, as condições de Laue se reduzem a:

19 Difração por um cristal
Verifica-se que o vetor de rede recíproca é normal ao plano hu+kv+lw=1 Verifica-se que o módulo deste vetor é 1/dhkl, onde dhkl é a distância entre o plano e a origem dhkl é também a distância entre planos paralelos a este e adjacentes: hu+kv+lw=n, n inteiro u w v 1/w 1/u 1/v dhkl Tomando o valor absoluto dos dois vetores, obtemos: 2 S/λ So /λ s Lei de Bragg

20 Outra maneira de se deduzir a Lei de Bragg
Família de planos d  A diferença de caminho óptico para o feixe refletido é: 2dsen Nas direções em que a diferença de caminho óptico é múltiplo de λ tem-se interferência construtiva