Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

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Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Example 5.1 The Battery Life Experiment Text reference pg. 167
A = Material type; B = Temperature (A quantitative variable) What effects do material type & temperature have on life? 2. Is there a choice of material that would give long life regardless of temperature (a robust product)? Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Statistical (effects) model: Other models (means model, regression models) can be useful Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Design-Expert Output – Example 5.1

Residual Analysis – Example 5.1

Interação significante é indicada pela falta de paralelismo entre as linhas. Em geral, maior vida é alcançada pela temperatura mais baixa, sem olhar o tipo de material. Na variação da temperatura mais baixa para a temperatura intermediária, o tempo de vida do material 3 parece crescer, enquanto ele decresce para os outros materiais. Da temperatura intermediária para a alta, o tempo de vida decresce para os materiais 2 e 3 e permanece inalterado para o material 1. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Comparações múltiplas
Quando a ANOVA indica que os efeitos de linha ou coluna ou de interação estão presentes, é de interesse fazer comparações entre as médias de linhas ou colunas ou de interações. Os métodos de comparações múltiplas foram apresentados no Capítulo 3. Ilustraremos aqui o uso do teste de Tukey sobre a vida da bateria. Observe que nesse experimento a interação é significante. Quando a interação é significante , comparações entre as médias de um fator A podem ser obscurecidas pela interação AB. Uma abordagem para essa situação é fixar o fator B em um nível específico e aplicar o teste de Tukey para as médias do fator A nesse nível. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Suponha que no exemplo trabalhado, estejamos interessados em detectar diferenças entre as médias dos três tipos de material. Como a interação entre material e temperatura é significante, fazemos essa comparação em um dos níveis de temperatura, por exemplo 70ºF. Suponha que a melhor estimativa da variância é dada por MSE da tabela ANOVA, usando a suposição de que a variância do erro experimental é a mesma sobre todas as combinações de tratamento. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Teste de Tukey para a comparação de pares de médias: revendo...
O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada Valores da distribuição da estatística q foram tabulados Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeita a hipótese nula se Chapter 3 Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 11

Se há interação significativa, o experimentador poderia comparar todas as ab médias das celas para determinar qual delas diferem significativamente. Nessa análise, diferenças entre as médias das celas incluem efeitos de interação bem como efeitos principais. No exemplo em análise isso daria 36 comparações entre todos os pares possíveis das 9 celas. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Estimação dos parâmetros

Valores ajustados: Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

A suposição de ausência de interação
Suponha que o experimentador “sinta” que o modelo a dois fatores sem interação é apropriado, É importante verificar com cuidado essa hipótese. Mas, se esse for o caso, a análise do modelo sem interação é imediata. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Exemplo da Bateria Como foi observado anteriormente, ambos os efeitos principais são significantes. Porém, fazendo a análise de resíduos desse modelo, torna-se claro que a hipótese de ausência de interação é inadequada. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Exemplo da bateria Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Uma observação por cela
Algumas vezes, deparamo-nos com um experimento a dois fatores com apenas uma observação por combinação dos níveis dos fatores. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Fonte de variação SQ gl QM QM Esperado Linhas a-1 MSA=SSA/(a-1) Colunas b-1 MSB=SSB/(b-1) Resíduo (ou AB) SST- SSA- SSB (a-1)(b-1) MSE Total ab-1 - Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Teste de Tukey para verificação da presença de interação
O procedimento de teste supõe que o termo de interação é de uma forma particular, a saber, com  uma constante desconhecida. Estatística de teste: Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Teste de Tukey para verificação da presença de interação
a hipótese de nenhuma interação deve ser rejeitada. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

5.4 O experimento fatorial geral
Os resultados para o experimento a 2 fatores podem ser estendidos para o caso a k>2 fatores. É necessário ter n2 replicações por cela para avaliar interações. Se todos os fatores do experimento são fixos, é fácil formular e testar hipóteses sobre os efeitos principais e de interação usando ANOVA. Para um modelo de efeitos fixos, testes estatísticos para cada efeito principal e de interação podem ser construídos dividindo-se os correspondentes quadrados médios para o efeito pelo quadrado médio do erro. Todos esses testes F (valendo a suposição de normalidade, independência e variância constante) são unilaterais. O número de graus de liberdade de qualquer efeito principal será o número de níveis do fator menos 1 e o número de graus de liberdade do efeito de interação será o produto dos números de gruas de liberdade dos fatores envolvidos na interação. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Modelo Fatorial a 3 fatores

Supondo que A, B e C são fixos, a tabela ANOVA é dada por FV SQ g.l. QM F A SSA a-1 QMA QMA/QME B SSB b-1 QMB QMB/QME C SSC c-1 QMC QMC/QME AB SSAB (a-1)(b-1) QMAB QMAB/QME AC SSAC (a-1)(c-1) QMAC QMAC/QME BC SSBC (b-1)(c-1) QMBC QMBC/QME ABC SSABC (a-1)(b-1)(c-1) QMABC QMABC/QME Erro SSE abc(n-1) QME - Total SST nabc-1 Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Factorials with More Than Two Factors
Basic procedure is similar to the two-factor case; all abc…kn treatment combinations are run in random order ANOVA identity is also similar: Complete three-factor example in text, Example 5.5 Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Exemplo: exercício 16 A porcentagem da concentração de madeira-de-lei na polpa bruta, a pressão do tonel, e o temo de cozimento foram investigados sobre seus efeitos na resistência do papel. Três níveis de concentração, três níveis de pressão e dois tempos de Cozimento foram selecionados. Um experimento com duas replicações foi conduzido e os dados obtidos estão no arquivo madeira.txt. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Comandos no R para ajustar o modelo completo y=read.table("e:\\dox\\madeira.txt",header=T) x1=as.factor(y$madeira) x2=as.factor(y$pressao) x3=as.factor(y$tempo) modeloC=y$resistencia~x1+x2+x3+x1:x2+x2:x3+x1:x3+x1:x2:x3 fitC=aov(modeloC) summary(fitC) Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

F.V. Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Madeira 2 7.7639 3.8819 0.0009 *** Pressão 9.6869 4.33E-06 Tempo 1 20.25 6.75E-07 MP 4 6.0911 1.5228 4.1657 * MT 2.195 1.0975 3.0023 . PT 2.0817 1.0408 2.8473 MPT 1.9733 0.4933 1.3495 Residuals 18 6.58 0.3656 Total 35 Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Conclusões Pela tabela ANOVA as hipóteses de ausência de efeitos principais (madeira, pressão e tempo) são rejeitadas e também a hipótese de ausência de efeito de interação entre madeira e pressão. Os demais efeitos de interação não são significativos a 5%. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Avaliação do Modelo Esse gráfico indica desvio da suposição de normalidade dos dados. Uma solução é trabalhar com transformações. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Prepare appropriate residual plots and comment on the model’s adequacy. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery There is nothing unusual about the residual plots.

Para uma maior resistência, realize o processo com porcentagem de concentração de madeira em 2, pressão em 650, e tempo em 4 h. A ANOVA padrão trata todos os fatores do experimento como se fossem qualitativos. Nesse caso, todos os três fatores são quantitativos, dessa forma análises adicionais podem ser feitas. Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery For the highest strength, run the process with the percentage of hardwood at 2, the pressure at 650, and the time at 4 hours. The standard analysis of variance treats all design factors as if they were qualitative. In this case, all three factors are quantitative, so some further analysis can be performed.

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