CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Coloração.

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1 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Coloração

2 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Número cromático (χ(G)) Um grafo que requere k cores diferentes para a sua coloração própria e nenhuma a menos possui número cromático χ(G) = k 3-cromático a b c d e f

3 CC/EC/PPGI/UFES Um exemplo de aplicação Problema dos exames: alocação de um grupo de alunos aos exames de recuperação que eles devem prestar em um colégio »Restrição: Duas disciplinas só podem ter exames realizados simultaneamente se não envolverem alunos em comum Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

4 CC/EC/PPGI/UFES Um exemplo de aplicação Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Alunos Disciplinas 12345678910111213141516 Mat.xxxx Port.xxxx Ingl.xxxx Geog.xxxx Hist.xxxx Físicaxxxx Químicaxxxx Biologiaxxxx Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

5 CC/EC/PPGI/UFES M P I G H F Q B Um exemplo de aplicação Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) São necessários apenas dois horários para realização dos exames: um para os exames de Matemática, Geografia, Biologia e História e outro, para os exames de Português, Inglês, Física e Química.

6 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Toda árvore com dois ou mais vértices é 2-cromática

7 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Um grafo com pelo menos uma aresta é 2-cromático sss não possui ciclos com comprimento ímpar

8 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Seja Δ o grau máximo dos vértices de G. Então χ(G) 1 + Δ Exercício!

9 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Partição Cromática Um grafo G k-cromático é p-partido sss k p. Em um grafo p-partido, vértices de uma mesma partição não são adjacentes. Um conjunto de vértices de um grafo é dito independente se não possui vértices adjacentes.

10 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conjunto Independente de vértices a d f gc e b Exemplos: {a, c, d, g}, {e}, {a,d}

11 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conjunto Independente de vértices maximal a d f gc e b Um conjunto independente maximal é um conjunto independente no qual não se pode adicionar mais nenhum vértice sem destruir a propriedade de independência. Exemplos: {a,c,d,g}, {b,f}

12 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Existem vários conjuntos independentes maximais em um grafo que podem ter diferentes tamanhos. Qual é o de maior tamanho? (G) = número de independência de G (cardinalidade do conjunto independente de vértices de maior tamanho de G) Conjunto Independente de vértices maximal

13 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) χ(G) X (G) Seja G um grafo com n vértices e χ(G) = k Número de vértices coloridos com a mesma cor (G) (G) n/ χ(G)

14 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Como achar um conjunto independente maximal? Comece com um vértice qualquer. Selecione os próximos vértices sempre testando se o conjunto ao qual eles estão sendo inseridos continua independente Atenção: encontra-se um conjunto maximal e não o maior de todos!

15 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) χ (G) X (G) Encontrar (G): consiste em encontrar todos os conjuntos independentes maximais e obter o maior; Encontrar χ(G): número mínimo de conjuntos independentes maximais cuja união resulta em V

16 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Partição cromática Dado um grafo simples e conexo G, os vértices de G são particionados no menor número possível de conjuntos independentes de vértices disjuntos.

17 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matchings

18 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo Sejam a1, a2, a3 e a4 candidatos a preencher 6 vagas p1, p2, p3, p4, p5 e p6 de uma empresa. A qualificação de cada candidato o possibilita a se candidatar para um certo subconjunto de vagas, conforme a figura a seguir:

19 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 p5p5 p6p6 É possível empregar todos os candidatos em posições nas quais eles são qualificados? Qual é o número máximo de posições que podem ser preenchidas pelo grupo de candidatos? Problema de Matching

20 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matching Um matching em um grafo é um subconjunto de arestas não adjacentes. Uma única aresta já é considerada um matching. Um matching maximal é um matching no qual nenhuma aresta a mais pode ser adicionada sem ferir a propriedade de matching

21 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplos d c b a d c b a d c b a

22 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Número de matching Um grafo pode ter muitos matchings maximais; n° de matching: o número de arestas do maior deles. qual é o número de matching do grafo do slide anterior?

23 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matching Perfeito Um matching perfeito é um matching no qual todo vértice do grafo é um extremo de algum elemento do matching Nem todo grafo contém um matching perfeito: c b d e a

24 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Observação Todo matching perfeito é maximal mas nem todo matching maximal é perfeito

25 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Matching completo Definição válida para grafos bipartidos Em um grafo bipartido com subconjuntos de vértices V 1 e V 2, um matching completo de V 1 em V 2 é um matching no qual existe uma aresta incidente a cada aresta de V 1.

26 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Observação um matching completo é o maior matching maximal mas um matching maximal pode não ser completo

27 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 p5p5 p6p6

28 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Condições para existência de um matching completo |V1| |V2|; todo subconjunto de r vértices em V1 deve ser adjacente a pelo menos r vértices em V2, para r = 1, 2,..., |V1|.

29 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Problema de representantes distintos Cinco senadores (s1, s2, s3, s4 e s5) são membros de três comitês (c1, c2 e c3) c1c1 c2c2 c3c3 s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 s5s5 Um membro diferente de cada comitê deve participar de uma comissão geral. É possível realizar esse matching?

30 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Em um grafo bipartido, um matching completo de V1 para V2 existe se existe um inteiro positivo m tal que o grau de todo vértice v1 de V1 m o grau de todo vértice v2 de V2

31 CC/EC/PPGI/UFES Prova Considere um subconjunto de r vértices em V1 Cada um dos r vértices tem pelo menos m vértices de V2 incidentes a ele. Assim esses r vértices tem pelo menos m.r arestas incidentes Cada uma das m.r arestas é incidente a algum vértices de V2 Por sup. d(vi) m, vi de V2 Então as m.r arestas são incidentes a pelo menos m.r/m = r vértices Assim, qualquer subconjunto de r vértices de V1 é adjacente a r ou mais vértices de V2. Logo, G possui um matching completo Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

32 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cobertura de vértices Um conjunto de vértices K de V é uma cobertura de G se toda aresta de G possui pelo menos um extremo em K Cobertura mínima: aquela que possui o menor número possível de vértices

33 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo

34 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Observações Se K é uma cobertura e M um matching de G então K contém pelo menos um extremo de cada aresta de M Para quaisquer K e M em G tem-se |M| |K|

35 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cobertura de arestas Em um grafo G, um conjunto g de arestas cobre G se todo vértice em G é incidente a pelo menos uma aresta em g. O conjunto g é chamado cobertura de G.

36 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Observações G consiste na sua própria cobertura Uma árvore geradora é uma cobertura Um ciclo hamiltoniano, se ele existe, é uma cobertura

37 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cobertura minimal Conjunto de arestas que cobre G de forma que a retirada de uma única aresta destrói essa propriedade d c b a

38 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Observações G possui uma cobertura se não possui vértices isolados Uma cobertura de um grafo com n vértices possui pelo menos n/2 arestas Toda aresta pendente de um grafo faz parte de toda cobertura de G Toda cobertura contém uma cobertura minimal Nenhuma cobertura minimal contém um ciclo. Assim, uma cobertura minimal contém no máximo n-1 arestas

39 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Nº de cobertura de G Número de arestas da cobertura minimal de menor tamanho de G

40 CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema Uma cobertura g de um grafo é minimal se e somente se g não contém caminhos de comprimento 3 ou mais