Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita II

Apresentação em tema: "Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita II"— Transcrição da apresentação:

1 Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita II
Curso de Física Geral F-428

2 As transformações de Lorentz
Se, no referencial S, dois eventos estão separados por uma diferença de coordenada ; e ocorrem em dois instantes de tempo separados por , no referencial S’ teremos: Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente único: o espaço-tempo. Podemos também inverter as transformações acima:

3 Prob.1: Dois eventos ocorrem no mesmo ponto em um certo referencial inercial e são separados por um intervalo de tempo de 4 s. Qual é a separação espacial entre estes dois eventos em um referencial inercial no qual os eventos são separados por um intervalo de tempo de 6 s ?

4 Prob.2: Uma nave espacial de comprimento l0 viaja a uma velocidade constante v, relativa ao sistema S, ver figura. O nariz da nave (A’) passa pelo ponto A em S no instante t0 = t0’= 0 e neste instante envia um sinal de luz de A’ para B’. Quando, no referencial S’ do foguete, o sinal chega à cauda B’ da nave? Em que instante tB, medido em S, o sinal chega à cauda (B’ ) da nave? Em que instante t, medido em S, a cauda da nave (B’ ) passa através do ponto A?

5 A relatividade das velocidades
Vimos que: Portanto: Logo: Na transformação clássica de Galileu teríamos : (v << c)

6 A relatividade das velocidades
Podemos ainda deduzir expressões para as velocidades nos outros eixos: As transformações podem ser invertidas, trocando-se os índices linha e v por –v. Então, se teremos: A transformação estará coerente com o fato da velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e que nenhuma velocidade pode excedê-la.

7 Prob. 3: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito, também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ? y L0 L0 = 350 m v = 0,82 c v Velocidade do meteorito em relação à nave: v S x

8 O efeito Doppler da luz No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do observador. Isto, porque o som propaga-se no ar, e ambos podem ter velocidades relativas a este. Já para a luz, que propaga-se no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e observador.

9 O efeito Doppler da luz Se o observador O em S descreve uma onda eletromagnética pela expressão o observador O’ em S’ deverá observar e, pelo princípio da relatividade, devemos ter Então, usando que e podemos mostrar que: e

10 O efeito Doppler da luz Mas, como: e
Esta expressão é válida no caso do observador e a fonte estarem se afastando. Se estiverem se aproximando devemos trocar por

11 O efeito Doppler da luz Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação Se , “Doppler transverso”. Note que aqui o objeto em movimento emite radiação com freqüência conhecida

12 O efeito Doppler na astronomia
Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma velocidade relativamente pequena, Neste caso temos: Em termos dos comprimentos de onda, temos: Deslocamento da luz para o vermelho Logo, sendo v > 0 temos Se a estrela estiver se aproximando (v < 0) teremos  < 0 Deslocamento da luz para o azul

13 Efeito Doppler da luz (se afastando):
Prob. 4: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde, amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre. v = 0,20c Efeito Doppler da luz (se afastando): a) b) Luz "verde-amarelada":

14 Dinâmica relativística
Na mecânica Newtoniana temos , onde o momento linear é definido por: Procuramos um análogo relativístico desta expressão que tenha as seguintes propriedades: a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas isolados, assim como na mecânica Newtoniana. b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite .

15 Dinâmica relativística
Colisão das partículas a e b, de mesma massa, no referencial S’. Por exemplo, o referencial do C.M. das partículas S’ + =

16 Momento linear relativístico
Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades: ... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao longo do eixo x ...

17 Momento linear relativístico
transformação de Lorentz das velocidades

18 Momento linear relativístico
não nos fornece uma expressão para o momento linear que seja invariante pelas transformações de Lorentz.

19 Momento linear relativístico
Entretanto, pode-se mostrar que teremos uma quantidade conservada definindo: onde m0 é a massa do corpo no referencial em que ele se encontra em repouso. A força é, então, dada por

20 Energia relativística
(Supondo Epotencial = 0 ) A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula continua sendo dada por: Energia Total então:

21 Energia relativística
Relação energia-momento linear Usando que temos Como obtemos: Se m0 = 0 Lembrando que a radiação eletromagnética transporta momento linear , podemos imaginá-la como composta por corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.

22 Energia relativística
Limite clássico da energia Expandindo E para v/c << 1 temos: Energia de repouso: Energia cinética para v/c << 1 :

23 Energia relativística
A energia de um sistema isolado se mantém constante Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia ∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa: Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares, embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível. Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua velocidade), sua massa também aumenta:

24 Colisões relativísticas
Efeito Compton (será estudado no Cap. 38)

25 Prob. 5: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que a sua energia de repouso ? mas:

26 Prob. 6: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ; (b) de ; (c) da razão sua energia cinética e energia de repouso. a) b) c)

27 Prob. 7: Uma partícula com massa de repouso de 2 MeV/c2 e energia cinética de 3 MeV colide com uma partícula estacionária com massa de repouso de 4 MeV/c2. Depois da colisão, as duas partículas ficam unidas. Determine o momento inicial do sistema. A velocidade final do sistema de duas partículas. A massa em repouso do sistema de duas partículas.

28 Relatividade Geral O elevador de Einstein
Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece acelerado, se visto de um referencial não-inercial. Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia: É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante daquela num referencial uniformemente acelerado! O elevador de Einstein

29 Relatividade Geral Princípio da equivalência de Einstein
Num recinto suficientemente pequeno (para que o campo gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme), em queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo gravitacional. (a)

30 Relatividade Geral Só precisamos de geometria para descrever trajetórias retilíneas, vistas de referenciais não-inerciais. Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia curvatura do espaço-tempo! “A massa diz ao espaço-tempo como se curvar; e o espaço-tempo diz à massa como se mover”!