UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS.

Apresentação em tema: "UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS."— Transcrição da apresentação:

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2 UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

3 volta ao primeiro slide volta ao slide anterior vai para o slide seguinte vai para o último slide ouve uma narração ou som Navegação Cada ponto marcado no plano... remete à novas informações H remete aos exercícios (Rapidinhas) ou respostas de exercícios (Respostas das Rapidinhas) remete à história da Matemática remete a um bloco de notas no qual você poderá imprimir ou salvar suas anotações aumenta ou diminui volume do som e RRR VOL Esta tela é uma demonstração. Clique em cada um dos botões. Para voltar clique em

4 Sistema de coordenadas Números reais são associados aos pontos de uma reta de tal modo que a cada número corresponda um ponto e a cada ponto corresponda um número real. Tal associação estabelece uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais ( R ) e os pontos da reta. VOL -2 -1 0 1 2 -1,7 -0,5 0,6 1,8

5 Eixo orientado é a reta, orientada, na qual se escolhe um ponto, arbitrário, como origem e a ele se associa o número real 0 (zero). 0 À esquerda de 0 escrevemos os números negativos e, à direita, os positivos: 0 ½ 1-¼ 2 VOL

6 Um sistema de coordenadas é denominado cartesiano ou retangular se associarmos duas retas orientadas, uma perpendicular à outra, interceptando-se na origem. eixo y ou eixo das ordenadas eixo x ou eixo das abscissas H VOL

7 Eixos coordenados são as duas retas. Origem é o ponto de intersecção entre elas. eixos coordenados origem dos eixos VOL

8 Cada ponto marcado no plano marcado tem um endereço que indica suaendereço posição em relação aos dois eixos. P(a; b) x y a b VOL

9 O símbolo P(a; b) denota o ponto P com abscissa igual a a e ordenada igual a b. P(a; b) abscissa ordenada P é o nome do ponto VOL

10 Todo ponto sobre o eixo x tem y = 0. Todo ponto sobre o eixo y tem x = 0. P(2; 0) x y 2 y x 3 P(0; 3) VOL

11 Marque, no papel, os pontos abaixo no plano cartesiano: a) A(-1; 0) b) B( 4; 0) c) C(0; 0) d) D(-8; -½) e) E(3; -¼) RR VOL

12 Responda, no papel, considerando o gráfico ao lado: a) quais as coordenadas do ponto B? b) qual a abcissa do ponto E? c) qual a ordenada do ponto E? d) quais os pontos cuja ordenada é nula? A B CD E p q r st u x y RR VOL

13 Função O conceito de função é um dos função mais úteis na Matemática. No dia-a-dia estamos rodeados por funções. VOL

14 ¶ o preço é função do produto em um Super-Mercado; ¸ o gasto de energia elétrica de uma residência é função do número de lâmpadas, da potência das lâmpadas, do tempo em que ficam ligadas, do preço do kilowat-hora, entre outros. · o valor pago no semestre pelo aluno da UNISINOS é função do número de disciplinas em que se matriculou; VOL

15 Produtos Preços R$43,00 R$1,58 R$18,50 R$3,50 R$97,50 R$1,20 ¶ o preço é função do produto em um Super-Mercado É função porque o conjunto Produtos (todos os produtos vendidos) e o conjunto Preços (todos os preços dos produtos vendidos) de um Super- Mercado: VOL

16 estão em uma relação muito especial, um com o outro. Produtos Preços R$43,00 R$1,58 R$18,50 R$3,50 R$97,50 R$1,20 Esta é uma representação, por meio de diagramas, da função F: Produtos  Preços. VOL

17 3 não podem sobrar produtos no conjunto Produtos e 3 todo elemento do conjunto Produtos deve se relacionar com um e apenas um preço do conjunto Preços. um e apenas um H Assim, para que seja uma função : função VOL

18 Está na sua hora. É agora! Clique sobre o Bloco de Notas e relacione, pelo menos, 5 exemplos de função. Faça o diagrama para analisar melhor. Imprima e discuta com um colega. Tente! Faça! Discuta! VOL

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20 A relação S de todos os Professores e todos os Alunos, na UNISINOS, representa uma função? A relação R de Alunos em Classes de uma sala de aula representa uma função? RR VOL

21 Clique no Bloco de Notas e escreva 5 relações entre dois conjuntos. Identifique aquelas que representam função, justificando através do diagrama. Discuta a solução com seu (ou sua) colega. Peça ajuda ao professor. Tente! VOL

22 Uma função F: A  B (lê-se: função F de A com imagens em B) é o conjunto dos pares ordenados (x, y) de tal modo que para todo x pertencente ao conjunto A existe um e apenas um y pertencente ao conjunto B. Essa relação entre os elementos dos dois conjuntos pode ser expressa por uma (ou mais) lei matemática do tipo y = f(x). H H VOL

23 A função representada pelo diagrama tem os elementos de A relacionados aos elementos de B pela lei y = x + 1 2 4 1 3 0 5 A B VOL

24 É a expressão matemática y = x + 1 que nos dá a relação relação entre os elementos de A e B. 2 4 1 3 0 5 A B se x = 3, y = 3 + 1 = 4 ; 4 se x = 1, y = 1 + 1 = 2 ; 2 se x = -1, y = -1 + 1 = 0. 0 (3; 4), (1; 2), e (-1; 0) são pontos pontos da função F: A  B, y = x + 1. VOL

25 Chamamos de 3 domínio da função : aos elementos de A; 3 contradomínio da função : aos elementos de B; 3 imagem da função : aos valores de y dos pares ordenados da função. 2 4 1 3 0 5 A B dom f = A cdom f = B im f = {0; 2; 4} VOL

26 a) qual o domínio? b) o contradomínio? c) a imagem da função? d) o que diferencia imagem de contradomínio? e)qual a lei matemática que relaciona os elementos dos dois conjuntos? 0 2 1 3 0 5 A B RR Em relação ao diagrama, abra o Bloco de Notas e responda: VOL

27 Clique em cada figura.

28 Determine a lei matemática de F: {0; 1; 4}  Z, cujos elementos são os pares ordenados {(0; 0); (1; 1); (4; 2)}. Calcule domínio, contradomínio e imagem da função. Faça o gráfico. A relação R 2 : N  N, dada pela lei y = x - 1 é função? Justifique. O que é preciso alterar na definição da função para que ela represente uma função? RR Verifique se a relação R 1 : {-1; 0; 1}  {0; 1; 2; 3}, dada pela lei y = x + 1, é função. Justifique. Se afirmativo calcule domínio, contradomínio e imagem da função. RR VOL

29 Clique em cada figura. VOL

30 A relação R 3 : N  R, dada pela lei y = x 2 é função? Por que? Faça o gráfico. A relação R 4 : R  R, dada pela lei y = x é função? Faça o gráfico. RR VOL

31 Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. xyx y x y x y b c a d 2 b c d a RR R VOL

32 CRIAÇÃO E MONTAGEM: PROFª NARA SARAIVA

33 O endereço do ponto é dado pelo par ordenado (a; b). A idéia é semelhante ao endereço de uma residência: é ele que dá a posição do morador no mapa da cidade. Rua Mal. Floriano, 614, aptp 711, Centro, Porto Alegre,RS, Brasil. VOL

34 Marcar Marcar um ponto significa colocar no plano coordenado o ponto P de coordenadas a (abscissa) e b (ordenada), representando-o por um (ponto) na posição apropriada. x y a b VOL

35 Marque, no papel, os pontos abaixo no plano cartesiano: a) A(-1; 3) b) B( 4; 0) c) C(0; 0) d) D(-3; -½) e) E(3; -¼) x y 1 2 3 4 -3 -2 -1 321321 2 -3 A BC D E Não esqueça de orientar o eixo x e colocar seu nome Não esqueça de orientar o eixo y e colocar seu nome Respostas da Rapidinhas 1 VOL

36 Respostas da Rapidinhas 2 Responda, considerando o gráfico ao lado: a) quais as coordenadas do ponto B? (q; r) b) qual a abcissa do ponto E? x = t c) qual a ordenada do ponto E? y = u d) quais os pontos cuja ordenada é nula? A, C e D A B CD E p q r st u x y VOL

37 Sobrar significa dizer que o elemento não se relaciona com um elemento do outro conjunto. VOL

38 AB Não é função porque tem um elemento do conjunto A que se relaciona com mais do que um elemento do conjunto B. Respostas da Rapidinhas 3 VOL

39 B A É função porque cada elemento do conjunto A se relaciona com um único elemento do conjunto B. Respostas da Rapidinhas 3 VOL

40 BA É função porque cada elemento do conjunto A se relaciona com um único elemento do conjunto B. Respostas da Rapidinhas 3 VOL

41 BA Não é função porque tem um elemento do conjunto A que não se relaciona com um elemento do conjunto B. Respostas da Rapidinhas 3 VOL

42 Chamamos de função a uma F: Produtos  Preços se todo produto do conjunto Produtos se relaciona com um e apenas um elemento do conjunto Preços. VOL

43 Respostas da Rapidinhas 4 Sim porque cada aluno existente na sala de aula se acomoda em uma e apenas uma classe AlunosClasses Observe que podem sobrar classes porém não podem sobrar alunos sem classes! A relação R de Alunos em Classes de uma sala de aula representa uma função? VOL

44 Respostas da Rapidinhas 4 Não é função porque cada professor tem mais do que um aluno. ProfessoresAlunos Observe que cada professor tem mais do que um aluno em sua sala de aula! A relação S de todos os Professores e todos os Alunos, na UNISINOS, representa uma função? VOL

45 O termo cartesiano é usado em homenagem ao matemático e filósofo francês René Descartes (1596 - 1650) que foi um dos primeiros a utilizar tal sistema de coordenadas. VOL

46 Alguns autores usam plotar o ponto (do inglês to plot ) ao invés de marcar o ponto. VOL

47 A natureza e o conceito de função As primeiras idéias sobre o conceito de função idéias surgiram no início do século XVII, quando o estudo da natureza começou a se basear a observação dos fenômenos e nas leis que procuravam explicá-lo. VOL

48 Galileu Galilei (1564 - 1642) e Isaac Newton (1642 - 1727) utilizaram em seus trabalhos as noções de lei e dependência entre fenômenos,que estão diretamente ligadas ao conceito de função. VOL

49 Jean Bernonilli (1667 - 1748), no século XVIII, matemático suíço, usou o termo função para indicar valores obtidos de operações entre variáveis e constantes. VOL

50 A definição que mais se aproximou da atualmente aceita foi a de Peter Dirichlet (1805-1859), matemático alemão, na primeira metade do Peter Dirichlet século XIX. No século XVIII, o matemático Leonhard Euler também fez uso do conceito de função. VOL

51 A definição de função, dada pelo matemático alemão Peter Dirichlet (1805 - 1859) e apresentada na primeira metade do século XIX, se diferencia da atual pelo fato de, na época, ainda não ter sido desenvolvida a Teoria dos Conjuntos. VOL

52 O conceito de função, modernamente, baseia-se na idéia elementar de par ordenado e no estabelecimento de relações entre conjuntos. VOL

53 É a expressão matemática y = x + 1 que nos dá a relação entre os elementos de A e B. se x = 3, y = 3 + 1 = 4; se x = 1, y = 1 + 1 = 2; se x = -1, y = -1 + 1 = 0. (3; 4), (1; 2), e (-1; 0) são pontos da função F: A  B, y = x + 1. 2 4 1 3 0 5 A B Substituindo na expressão y = x + 1 o valor de x pelos elementos do conjunto A verificamos que o valor de y obtido é um elemento do conjunto B. VOL

54 a) qual o domínio? Dom f = A b) o contradomínio? C-dom f = B. c) a imagem da função? {-1; 0; 2}. d) o que diferencia imagem de contradomínio? Contradomínio são todos os elementos de B. Imagem são os valores de y que se relacionam com os valores de x. e)qual a lei matemática que relaciona os elementos dos dois conjuntos?A lei é y = x - 1. 0 2 1 3 0 5 A B Respostas da Rapidinhas 5 VOL

55 a) qual o domínio? Dom f = A b) o contradomínio? C-dom f = B. c) a imagem da função? {-1; 0; 2}. d) o que diferencia imagem de contradomínio? Contradomínio são todos os elementos de B. Imagem são os valores de y que se relacionam com os valores de x. e)qual a lei matemática que relaciona os elementos dos dois conjuntos?A lei é y = x - 1. 0 2 1 3 0 5 A B Respostas da Rapidinhas 5 1 2 3 1 2 3 4 5 x y Gráfico da função Elementos da função: {(0;-1),(1;0),(3;2)} VOL

56 A função representada pelo diagrama tem os elementos de A relacionados aos elementos de B pela lei y = x + 1. y = x + 1 Na lei y = x + 1 o x designa os elementos que pertencem a A e o y os elementos que pertencem a B. 2 4 1 3 0 5 A B VOL

57 Identifique os diagramas que representam uma função de A  B. Rapidinhas 6 AB 4 8 0 2 -5 4 0 RR VOL

58 Identifique os diagramas que representam uma função de A  B. Rapidinhas 6 AB 5 4 -2 25 16 4 8 RR VOL

59 Identifique os diagramas que representam uma função de A  B. Rapidinhas 6 0 1 4 0 -2 2 B RR VOL

60 Identifique os diagramas que representam uma função de A  B. Rapidinhas 6 A 4 2 -2 B RR VOL

61 Sim, é função porque cada elemento do conjunto A se corresponde com apenas um elemento do conjunto B. dom f = A; cdom f = B; im f = {0; 1; 2} Verifique se a relação R 1 : {-1; 0; 1}  {0; 1; 2; 3}, dada pela lei y = x + 1, é função. Justifique. Se afirmativo calcule domínio, contradomínio e imagem da função. Resposta da Rapidinhas 7 0 1 01230123 VOL

62 Determine a lei matemática de F: {0; 1; 4}  Z, cujos elementos são os pares ordenados {(0; 0); (1; 1); (4; 2)}. Calcule domínio, contradomínio e imagem da função. Faça o gráfico. Resposta da Rapidinhas 7 Lei: dom f = (0; 1; 4} cdom f = Z im f = {0; 1; 2} y x 1 2 3 4 2121 VOL

63 A relação R 2 : N  N, dada pela lei y = x - 1 é função? Justifique. O que é preciso alterar na definição da função para que ela represente uma função? Resposta da Rapidinhas 7 Não, porque se x = 1, y = 1 - 1 =0 e 0 não pertence ao conjunto N, contradomínio da função. Para representar uma função poder-se- ia, por exemplo, alterar o domínio para N - {1} ou o contradomínio para N  {0} ou a lei para, por exemplo, y = x VOL

64 Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função. AB 1 2 3 1212 3 RR VOL

65 Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função. AB 1 2 3 1212 3 Dom f = {1; 2} VOL Resposta da Rapidinhas 8

66 AB 3 2 6 7 4 Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função. RR VOL

67 AB 3 2 6 7 4 Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função. Resposta da Rapidinhas 8 Dom f = {2} VOL

68 AB 1 2 5 3 8 1 Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função. RR VOL

69 AB 1 2 5 3 8 1 Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função. Resposta da Rapidinhas 8 Dom f = {1; 2} VOL

70 AB 1 2 4 +1 3 2 -2 Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função. RR VOL

71 AB 1 2 4 +1 3 2 -2 Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função. Rapidinhas 8Resposta da Rapidinhas 8 Dom f = {2} VOL

72 A relação R 3 : N  R, dada pela lei y = x 2 é função? Por que? Faça o gráfico. Resposta da Rapidinhas 9 Sim, é função porque todo elemento do conjunto N se relaciona com apenas um elemento do conjunto R. 1 2 3 x y4321y4321 VOL

73 Resposta da Rapidinhas 9 Sim, é função. x y A relação R 4 : R  R, dada pela lei y = x é função? Faça o gráfico. VOL

74 Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. xy b c a d Resposta da Rapidinhas 10 Sim, é função. Dom f = [b; c] im f = [d; a] VOL

75 Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. x y 2 Sim, é função. Dom f = R im f = {2} Resposta da Rapidinhas 10 VOL

76 Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. x y Rapidinhas 10 Não é função. Resposta da Rapidinhas 10 VOL

77 Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. x y b c d a Sim, é função. Dom f = [b; c] im f = [d; a] Resposta da Rapidinhas 10 VOL

78 x y x y x y 3 a b c d RR Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. R VOL

79 x y 3 Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. Rapidinhas 10 Não é função. Resposta da Rapidinhas 10 VOL

80 x y Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. Sim, é função. Dom f = R im f = (0;  ) Resposta da Rapidinhas 10 VOL

81 x y a b c d g) Identifique nos gráficos abaixo os que representam função. Se afirmativo, calcule domínio e imagem. Sim, é função. Dom f = [a; b] im f = [d; c] Resposta da Rapidinhas 10 VOL

82 Se nem todo elemento do conjunto à esquerda se relaciona com um e apenas um elemento do conjunto da direita temos apenas uma relação e não uma função. VOL

83 Marque, no papel, os pontos abaixo no plano cartesiano: a) A(-1; 0) b) B( 4; 0) c) C(0; 0) d) D(-8; -½) e) E(3; -¼) Rapidinhas 1 RR VOL

84 Marque, no papel, os pontos abaixo no plano cartesiano: a) A(-1; 3) b) B( 4; 0) c) C(0; 0) d) D(-3; -½) e) E(3; -¼) x y 1 2 3 4 -3 -2 -1 321321 2 -3 A BC D E Não esqueça de orientar o eixo x e colocar seu nome Não esqueça de orientar o eixo y e colocar seu nome Respostas da Rapidinhas 1 VOL

85 O termo cartesiano é usado em homenagem ao matemático e filósofo francês René Descartes (1596 - 1650) que foi um dos primeiros a utilizar tal sistema de coordenadas. VOL

86 Marcar um ponto significa colocar no plano coordenado o ponto P de coordenadas a (abscissa) e b (ordenada), representando-o por um ponto na posição apropriada. x y a b VOL

87 volta ao primeiro slide volta ao slide anterior vai para o slide seguinte vai para o último slide ouve uma narração ou som Navegação Cada ponto marcado no plano... remete à novas informações H remete aos exercícios (Rapidinhas) ou respostas de exercícios (Respostas das Rapidinhas) remete à história da Matemática remete a um bloco de notas no qual você poderá imprimir ou salvar suas anotações aumenta ou diminui volume do som e RRR Esta tela é uma demonstração. Clique em cada um dos botões. Para voltar clique em VOL

88 volta ao primeiro slide volta ao slide anterior vai para o slide seguinte vai para o último slide ouve uma narração ou som Navegação Cada ponto marcado no plano... remete à novas informações H remete aos exercícios (Rapidinhas) ou respostas de exercícios (Respostas das Rapidinhas) remete à história da Matemática remete a um bloco de notas no qual você poderá imprimir ou salvar suas anotações aumenta ou diminui volume do som Esta tela é uma demonstração. Clique em cada um dos botões. Para voltar clique em e RRR VOL

89 AB Identifique se o diagrama representa uma função F: A  B. Responda, no Bloco de Notas, justificando. RR VOL

90 B A RR Identifique se o diagrama representa uma função F: A  B. Responda, no Bloco de Notas, justificando. VOL

91 BA RR Identifique se o diagrama representa uma função F: A  B. Responda, no Bloco de Notas, justificando. VOL

92 BA RR Identifique se o diagrama representa uma função F: A  B. Responda, no Bloco de Notas, justificando. VOL

93 Valor numérico de uma função Se você realiza um trabalho, por hora, para alguém e cobra R$1,50 a hora ao término de 2 horas, qual é o valor cobrado? R$3,00 é o valor numérico da função valor(horas) = horas. 1,50 quando substituímos a variável horas por 2. O valor numérico de uma função y = f(x) é o valor de y quando substituímos o x por um número. VOL

94  4 é o valor numérico da função quando x é igual a 3 f(3) = 4 valor numérico  2 é o valor numérico da função quando x é igual a 1 f(1) = 2 valor numérico  0 é o valor numérico da função quando x é igual a -1 f(-1)= 0 valor numérico 2 4 1 3 0 5 A B É a expressão matemática y = x + 1 que nos dá a relação entre os elementos de A e B. VOL

95  4 é o valor numérico da função quando x é igual a 3 f(3) = 4  2 é o valor numérico da função quando x é igual a 1 f(1) = 2  0 é o valor numérico da função quando x é igual a -1 f(-1)= 0 2 4 1 3 0 5 A B É a expressão matemática y = x + 1 que nos dá a relação entre os elementos de A e B. O valor numérico de uma função valor numérico y = f(x) é o valor de y quando substituímos o x por um número. VOL

96 Identifique os diagramas que representam uma função de A  B. Resposta da Rapidinhas 6 AB 4 8 0 2 -5 4 0 Sim, é função porque cada elemento do conjunto A se corresponde com um e apenas um elemento do conjunto B. VOL

97 Identifique os diagramas que representam uma função de A  B. AB 5 4 -2 25 16 4 8 Sim, é função porque cada elemento do conjunto A se corresponde com um e apenas um elemento do conjunto B. Resposta da Rapidinhas 6 VOL

98 Identifique os diagramas que representam uma função de A  B. 0 1 4 0 -2 2 B RR Sim, é função porque cada elemento do conjunto A se corresponde com um e apenas um elemento do conjunto B. Resposta da Rapidinhas 6 VOL

99 Identifique os diagramas que representam uma função de A  B. A 4 2 -2 B Não é função porque o elemento do conjunto A não se corresponde com um e apenas um elemento do conjunto B. Resposta da Rapidinhas 6 VOL

100 CRIAÇÃO E MONTAGEM: PROFª NARA SARAIVA