BCC101 Matemática Discreta I

Apresentação em tema: "BCC101 Matemática Discreta I"— Transcrição da apresentação:

1 BCC101 Matemática Discreta I
Lógica Proposicional

2 Lógica Proposicional Uma proposição é uma sentença declarativa
que é verdadeira ou é falsa Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais Brasilia é a capital da Argentina 1+1=2 2+2=3 True False True False 211 −1 = 2047 = 23×89 False 1+2 é impar e 1+3 > 5 ⊆𝐙 ou 2>5 Para todo inteiro n>1, 2n-1 é primo True False

3 Axiomas Princípio da não contradição:
Nenhuma proposição é simultaneamente verdadeira e falsa. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição é verdadeira ou é falsa. Sentenças que não são proposições: Esta sentença é falsa simultaneamente T e F Que horas são? não se pode atribuir T ou F x+1 = 2 depende do valor da variável x

4 Lógica Proposicional Proposições podem ser combinadas para formar novas proposições: Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais e o Cruzeiro é o melhor time do Brasil Duas proposições simples: Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais Cruzeiro é o melhor time do Brasil Combinadas usando-se o conectivo e

5 Lógica Proposicional Vamos usar variáveis para representar proposições: P, Q, R, … P: Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais Q: Cruzeiro é o melhor time do Brasil A sentença anterior seria representada como P e Q

6 Vamos usar símbolos especiais para representar os conectivos lógicos:
Simbolo Negação (não)  Conjunção (ê)  Disjunção (ou)  Ou exclusivo  Condicional (implicação) → Equivalência (bi-implicação) = ⟷ Vamos usar variáveis e conectivos lógicos para expressar proposições. Mas como podemos saber se uma sequência arbitrária desses símbolos representa uma proposição? Exemplo:

7 Lógica Proposicional – sintaxe
Consideramos um conjunto enumerável de variáveis de proposição: P1, P2, P3, …. Seja var uma variável de proposição. O conjunto prop das fórmulas da LP pode ser definido pela seguinte gramática: prop := var |true | false |(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop -> prop) |(prop <-> prop) fórmulas atômicas

8 Fórmula? Usando a gramática podemos determinar se uma sequência de símbolos é uma fórmula (sentença válida) Prop? ((P  Q)((P)Q)) Constituintes (devem ser props) (P  Q) ((P)Q) Constituintes (dos constituintes) P Q (P) Q Constituintes (dos constituintes dos constituintes) P Sim, é uma Prop – constituintes casam com as regras da gramática, até o nível de fórmulas atômicas

9 Fórmula? Prop? (( P  ((Q)))((P)Q)) Constituintes
(devem ser props) Constituintes (de constituintes) P ((Q)) (P) Q Constituintes (de constituintes de constituintes) (Q) P Ôpa! Q não é uma Prop Nenhuma Prop começa com 

10 Exercício Quais das seguintes sentenças são fórmulas da Lógica Proposicional? Caso a sentença seja uma fórmula, relacione todas as suas subfórmulas. ((P ∨ Q) → P) ((P ∧ ∨ P) → ¬)

11 Conectivos: precedência associatividade
11/28/06 Conectivos: precedência associatividade Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos: maior precedência ¬ ∧ ∨ ➝ = menor precedência ∧ e ∨ têm associatividade à esquerda ➝ tem associatividade à direita

12 Conectivos: precedência associatividade
11/28/06 Conectivos: precedência associatividade Exemplos: ¬P ∧ Q ➝ R = (((¬P) ∧ Q) ➝ R) P ∧ Q ∨ R = ((P ∧ Q) ∨ R) P ∧ Q ∧ R = ((P∧Q)∧R) = (P∧(Q∧R)) P → Q → R = (P → (Q→R)) ≠ ((P→Q) →R)

13 Elimine os parênteses desnecessários:
Exercício Elimine os parênteses desnecessários: ((P ∨ Q) ∨ (R ∨ S)) (P ➝ (Q ➝ (P ∧ Q))) ¬ (P ∨(Q ∧ R)) ¬ (P ∧(Q ∨R))

14 Lógica Proposicional - semântica
11/28/06 Lógica Proposicional - semântica O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F O significado da constante true é T O significado da constante false é F Existem 2 possíveis interpretações para uma variável de proposição P : T ou F Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((P˄Q)  R) ?

15 Negação Verdadeiro se e somente se o operando é Falso p ¬ p T F
11/28/06 Negação p ¬ p T F Verdadeiro se e somente se o operando é Falso

16 Conjunção Verdadeiro se e somente se ambos os operandos verdadeiros p
11/28/06 Conjunção p q p ∧ q T F Verdadeiro se e somente se ambos os operandos verdadeiros

17 11/28/06 Disjunção p q p ∨ q T F Verdadeiro se e somente se qualquer dos operandos é verdadeiro

18 11/28/06 Ou Exclusivo p q p ⊕ q T F Verdadeiro se e somente se os operandos tem valores diferentes

19 11/28/06 Implicação p q p ➝ q T F Falso se e somente se o 1o operando é verdadeiro e 2o operando é falso Note que com p e q tal como definidos acima, a noção de que podemos inferir q se sabemos p e (p ->q) casa com a nossa intuição sobre o significado de inferência. Of course each possible value of x produces a different proposition P (and a different Q, too), but P->Q is true for all possible values of x, as we expect intuitively. On the other hand, Q->P does not match our intuition. That is, we don’t expect to be able to infer P, knowing Q, for all values of x. And sure enough, the third line in the table does apply, for some values of x, to the implication Q->P. That is Q->P is false sometimes, depending on x.

20 Equivalência ou Bi-implicação
11/28/06 Equivalência ou Bi-implicação p q p ⟷ q T F Verdadeiro sse ambos operandos têm o mesmo valor p ⟷ q tem o mesmo valor que (p→q)(q→p) p ⟷ q tem o mesmo valor que (p ⊕ q) OBS: Também escrito como p=q

21 Implicação – algumas observações
Existem várias maneiras de expressar uma implicação p ➝ q: se p então q p implica q q segue de p q somente se p p é suficiente para q q é necessário para p Exemplos: É suficiente que x>10 para que x>5 É necessário que x>5 para que x>10

22 Implicação – algumas observações
equivalentes (mesma tab-verdade) Implicação: Contrapositivo: Inverso: equivalentes Converso:

23 Bi-implicação – algumas observações
ou Bi-implicação: ou Relação Equivalência: ou Exemplos: relação de equivalência notação abreviada para ?

24 Proposição: (P  Q)  ( P Q)
11/28/06 Tabela-verdade Proposição: (P  Q)  ( P Q) P Q F F F T T F T T (P  Q)  P (PQ) (PQ)  (PQ) Verdadeiro p/ alguma: Satisfazível F T F F T T T T Falso p/ todas : Contradição (não satisfazível) T F T T T F Verdadeiro p/ todas: Tautologia T T

25 Proposição: ( PQ)  (P Q)
11/28/06 Outra Tabela-verdade Proposição: ( PQ)  (P Q) (PQ) P Q F F F T T F T T  P (P  Q) (PQ)  (P Q) T F F F T T T T F F T F F F T F (PQ) Equivalência Lógica: = (PQ)  (P Q)

26 Sherlock Holms L  C L   M
11/28/06 Sherlock Holms O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentes Ou o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocente Então ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo (M  C) L  C L   M

27 Sherlock Holms M C L (M  C) L  C L  M (M  C)
11/28/06 Sherlock Holms (M  C) L  C L   M Consequência Lógica (M  C), L  C ⇒ L   M M C L (M  C) L  C L  M False False False True False True False False True True True True False True False True True True False True True True True True True False False True False False True False True True True True True True False False True False True True True False True True

28 O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática?
11/28/06 O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática? É bom quando existem apenas 2 variáveis {T,F}  {T,F} = possíveis valores de variáveis 2  2 linhas na tabela-verdade Três variáveis — começa a ficar tedioso {T,F}  {T,F}  {T,F} = possíveis valores 2  2  2 linhas na tabela-verdade Vinte variáveis — impraticável! 2  2  …  2 linhas (220) Você gostaria de preencher um milhão de linhas? Nesse caso, como faria para evitar erros? Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!

29 1001 (9) + 1 1 (3) ------ 1100 (12) Adição Binária Circuitos Digitais
(9) (3) ------ (12) Portas Lógicas AND NOT XOR OR

30 Circuito Meio Somador Entradas Saídas A B C S S=A  B Cout=(AB)

31 Entradas Saídas A B Cin Cout S Somador Completo S=A  B  Cin Cout=(AB)  (Cin  (AB)