EPS7005 – Pesquisa Operacional Prof. Sérgio Mayerle

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1 EPS7005 – Pesquisa Operacional Prof. Sérgio Mayerle
Ementa: Introdução: histórico, objetivos, restrições e modelos. Condições de otimalidade. Programação linear: modelos de programação linear, método simplex, dualidade, análise de sensibilidade e pós-otimalidade. Problemas lineares especiais. Programação não linear; otimização multivariada; otimização sem restrições. Programação Inteira, binária e mista: algoritmos e modelos. Programação dinâmica determinística e estocástica.

2 Pesquisa Operacional Sumário
Parte I – Introdução à Pesquisa Operacional Parte II – Programação Linear Parte III – Problemas Lineares com estruturas especiais Parte IV – Programação Inteira Parte V – Programação Dinâmica Parte VI – Programação Não Linear

3 Parte I Introdução à Pesquisa Operacional
Histórico Definição Abordagem da PO Princípios de modelagem Validação de modelos

4 Introdução à Pesquisa Operacional Histórico
II Guerra Mundial Problemas complexos Envolvimento multidisciplinar de cientistas (UK) Desenvolvimento de técnicas matemáticas (USA) Eficiência e sucesso na área militar Transferência dos conhecimentos adquiridos para a área civil Retorno dos cientistas para as universidades Adaptação e aplicação das técnicas em atividades econômicas (empresas petrolíferas e grandes coorporações) PO Vantagem Competitiva Padronização dos problemas generalização do uso da PO Década de 50 Operations Research Society of America (ORSA) Institute of Management Sciences (TIMS) Operations Research e Management Sciences

5 Introdução à Pesquisa Operacional Histórico
Década de 60 computadores resolução de problemas grandes e complexos introdução da PO como disciplina nas universidades cursos de pós-graduação (M.Sc. e Ph.D.) Atualmente IFORS - International Federation of Operations Research Society ALAIO - Associación Latino Americana de Investigación Operativa SOBRAPO - Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional Existem congressos, simpósios: "Production planning", "OR in community health planning", "OR models of the criminal justice system", "Transportation and mass transit studies", "Travel and tourism", "Energy", "Education models", "OR applications in sports". Aplicações na indústrias, bancos, hospitais, instituições governamentais, universidades, comércio, agricultura, informática

6 Introdução à Pesquisa Operacional Definição
Definição histórica "É um conjunto de problemas, técnicas de resolução e soluções, com características bem definidas, acumuladas sob o termo PO desde a década de 40 do século passado". Definição filosófica "Pesquisa Operacional é o conjunto de conhecimentos relacionados com o processo científico de tomada de decisão, aplicados no projeto e operação de sistemas homem-máquina, em um ambiente com recursos restritos".

7 Introdução à Pesquisa Operacional Abordagem da PO
Formulação: liberdade, arbitrariedade e coerência Modelo é uma representação simplificada / idealizada, que visa obter informações sobre o sistema real com economia de tempo e recursos Dedução: uso de técnicas dependentes do modelo formulado, rigor matemático e precisão, uso de computadores Interpretação: julgamento humano, reavaliação do modelo

8 Introdução à Pesquisa Operacional Princípios de Modelagem
Não construir modelos complicados quando um modelo simples é suficiente. Evitar a construção de modelos de modo que estes se ajustem a uma técnica de solução previamente definida. Conduzir a fase de dedução com o máximo rigor possível. Os modelos devem ser validados a priori em relação a implementação. Não confiar cegamente no resultado do modelo, de modo a perder de vista a realidade do problema. Modelos não devem ser utilizados, nem tão pouco criticados por não resolver situações para as quais não foram desenvolvidos. Não sobrevalorizar o modelo diante do usuário. Sempre envolver o usuário no processo de desenvolvimento e validação do modelo. Os resultados de um modelo nunca podem ser melhores que os dados nele introduzidos. Modelos não podem substituir tomadores de decisão.

9 Introdução à Pesquisa Operacional Validação de Modelos
Aspectos a considerar não existe modelo perfeito não existe um critério absoluto de verificação de modelos não se pode "provar" ou "verificar" o modelo Validar o modelo adquirir a convicção de que o modelo é útil para aquilo a que foi proposto convencer o usuário de que os resultados são úteis dentro de um determinado contexto

10 Parte II Programação Linear
Formulação de modelos Solução gráfica Forma padrão e relações de equivalência Propriedades dos PPL’s Solução inicial viável Método Simplex – Forma tableau Método Simplex – Algoritmo Método Simplex – Forma matricial Dualidade em Programação Linear Análise de pós-otimalidade

11 Programação Linear Formulação de Modelos
A WINDOR GLASS Inc. dispõe de capacidade extra para produzir dois novos produtos. A demanda é muito maior que a capacidade disponível (toda produção poderá ser vendida). Pergunta-se: (a) o que produzir? (b) quanto produzir? (c) qual será o lucro? (d) qual o valor, em $/hora, da capacidade disponível em cada setor produtivo? Os dados estão na tabela abaixo. Setor Produtivo Produto Capacidade Disponível Janelas Portas Montagem 1 hora/unid. - 4.000 horas/mês Laminação 2 hora/unid. horas/mês Corte 3 hora/unid. horas/mês Lucro Unitário $ 3,00 $ 5,00

12 Programação Linear Formulação de Modelos
Setor Produtivo Produto Capacidade Disponível Janelas Portas Montagem 1 hora/unid. - 4.000 horas/mês Laminação 2 hora/unid. horas/mês Corte 3 hora/unid. horas/mês Lucro Unitário $ 3,00 $ 5,00 Variáveis X1 = qtde. de janelas, em milhares de unidades; X2 = qtde. de portas, em milhares de unidades; Z = lucro total obtido com novos produtos. Restrições a) disponibilidade do setor de montagem; b) disponibilidade do setor de laminação; c) disponibilidade do setor de corte; d) quantidades não negativas. Objetivo Maximizar o lucro total da empresa

13 Programação Linear Formulação de Modelos
Produção Logística Mistura Finanças e investimentos Carregamento de navios Corte de chapas e barras Aquisição de máquinas Problemas dinâmicos Câmbio Estratégia militar Engenharia estrutural Operação de dutos Dimensionamento de linhas de produção Alocação de mão-de-obra Programação de operações Controle de emissão de poluentes Alguns do problemas acima apresentam variáveis discretas que somente podem assumir valores do conjunto de inteiros, e em casos mais particulares o conjunto de inteiros se limita a {0,1}.

14 Programação Linear Solução Gráfica
2 x 9 4 1 x 8 7 12 2 x 6 5 4 1 x 3 2 1 18 2 3 1 + x 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 x

15 Programação Linear Solução Gráfica
O que fazer se além de portas e janelas a WINDOR puder fabricar, também, mesas e armários? Resolver graficamente o problema torna-se inviável ... É necessário usar métodos numéricos mais eficazes e eficientes. Quantos produtos diferentes uma fábrica pode produzir? 5, 10, 100, 1000, ... Quantos setores de produção uma fábrica possui? E se existem restrições adicionais em relação ao uso de matéria-prima, energia, estoques, mão-de-obra, cadeia de suprimento e distribuição? Outros modelos, mais complexos, poderão ser formulados ... A solução gráfica não se aplica a estas outras situações !!!

16 Programação Linear Forma padrão e relações de equivalência

17 Programação Linear Forma padrão e relações de equivalência

18 Programação Linear Forma padrão e relações de equivalência

19 Programação Linear Forma padrão e relações de equivalência

20 Programação Linear Forma padrão e relações de equivalência
Qualquer que seja a estrutura do PPL, sempre é possível transformá-lo no formato padrão apresentado. Relação entre maximização e minimização

21 Programação Linear Forma padrão e relações de equivalência
Relação entre inequações e equações

22 Programação Linear Forma padrão e relações de equivalência
Tratamento de limites de variáveis

23 Programação Linear Propriedades dos PPL’s
Suposições da modelagem Proporcionalidade Custos e quantidades de recursos consumidos na produção são proporcionais às quantidades produzidas Aditividade Custos totais e quantidades totais de recursos são determinados pela soma de custos e recursos consumidos na produção de todos items Divisibilidade É possível produzir quantidades fracionárias de cada um dos produtos Certeza Todos os parâmetros do modelo são determinados e conhecidos Perspectiva das suposições da modelagem Existe a possibilidade de todas estas suposições não serem verdadeiras.

24 Programação Linear Propriedades dos PPL’s
Se existe exatamente uma solução ótima, então deve ser uma solução factível em um vértice Se existem soluções ótimas múltiplas, então ao menos duas delas devem ser soluções factíveis em vértices adjacentes Existe um número finito de soluções factíveis em vértices, não maior que... Se uma solução factível em um vértice é igual ou melhor (segundo o valor de Z) que todas as soluções factíveis nos vértices adjacentes a ela, então é igual ou melhor que todas as demais soluções factíveis existentes nos vértices, isto é, é uma solução ótima 2 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

25 Programação Linear Propriedades dos PPL’s
Estrutura do Método Simplex Passo inicial: iniciar com uma solução em um vértice (solução básica viável). Teste de otimalidade: se não existe um vértice adjacente, melhor que o vértice atual, então PARE. O vértice atual corresponde à solução ótima. Em caso contrário, vá ao passo 3. Passo iterativo: movimente em direção de uma solução factível melhor, em um vértice adjacente; volte ao passo 2. 2 x Solução Ótima 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

26 Programação Linear Solução Inicial Viável - Caso trivial
a) variáveis não negativas b) restrições com limite superior Solução  variáveis nulas  folgas iguais ao RHS

27 Programação Linear Solução Inicial Viável - Caso não trivial
Não tem solução trivial Sempre tem solução trivial Ambas formulações são equivalentes quando

28 Programação Linear Solução Inicial Viável - Método do M-grande

29 Programação Linear Solução Inicial Viável - Método das 2 fases
Resolver o problema da fase 1 usando as variáveis artificiais para formar uma base inicial viável. Se w = 0, então uma solução inicial viável foi obtida para o problema. Fase 1 Fase 2 Se w = 0, usar solução ótima da fase 1 como solução inicial viável para a fase 2.

30 Programação Linear Método Simplex - Forma Tableau
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 RHS 1 4 2 12 3 18 -3 -5 +inf +6 +9 O que fazer para melhorar a solução? Quanto aumentar X2 ? Base Z X1 X2 S1 S2 S3 RHS 1 4 1/2 6 3 -1 -3 5/2 30 +4 +inf +2

31 Programação Linear Método Simplex - Forma Tableau
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 RHS 1 1/3 -1/3 2 1/2 6 3/2 36 Var. Decisões Valor Marg. X1 Janelas 2 X2 Portas 6 S1 Montagem S2 Laminação 1,5 S3 Corte 1 Z Lucro 36 Pergunta-se: o que produzir? quanto produzir? qual será o lucro? qual o valor da capacidade disponível em cada setor?

32 Programação Linear Método Simplex – Algoritmo
Custo marginal mais negativo Início Escolher variável para entrar na base Menor razão não negativa Montar tableau com solução básica inicial viável Calcular razão RHS / coluna (entra) Escolher variável para sair da base 1 Existe custo marginal < 0 ? Existe razão  0 finita ? Sim Sim Não Fazer troca de base e recalcular o tableau Não Solução ótima Solução ilimitada 1 Fim

33 Programação Linear Método Simplex – Algoritmo
Supondo que a troca de base será realizada com o pivo localizado na r-ésima linha e k-ésima coluna, o novo tableau poderá ser obtido pré-multiplicando o tableu da iteração corrente pela inversa da matriz elementar formada pela k-ésima coluna do tableau corrente, posicionada na r-ésima coluna desta matriz elementar, isto é:

34 Programação Linear Método Simplex – Algoritmo

35 Programação Linear Método Simplex - Forma Matricial
Particionando...

36 Programação Linear Método Simplex - Forma Matricial
Como resolver o sistema de equações lineares ? No caso particular em que as variáveis não básicas são nulas ... Solução Particular

37 Programação Linear Método Simplex - Forma Matricial
E o valor da função objetivo ? No caso particular em que as variáveis não básicas são nulas ... Solução Particular

38 Programação Linear Método Simplex - Forma Matricial
Resumindo, até aqui tem-se ... É possível melhorar o valor da função objetivo ? ...

39 Programação Linear Método Simplex - Forma Matricial
Como melhorar ... Escolher para aumentar (entrar na base) uma variável não básica associada a uma componente positiva do vetor

40 Programação Linear Método Simplex - Forma Matricial
Aumentar a k-ésima variável não básica (escolhida) ... até quanto ? Escolher para sair da base uma variável básica associada ao menor valor calculado.

41 Programação Linear Método Simplex - Forma Matricial
Resumo... Solução Teste de entrada Teste de saída

42 Programação Linear Exemplo (1)

43 Programação Linear Exemplo (1.a)
1a. Iteração

44 Programação Linear Exemplo (1.b)
Entra na base

45 Programação Linear Exemplo (1.c)
Coluna de Sai da base

46 Programação Linear Exemplo (2.a)
2a. Iteração

47 Programação Linear Exemplo (2.b)
Entra na base

48 Programação Linear Exemplo (2.c)
Coluna de Sai da base

49 Programação Linear Exemplo (3.a)
3a. Iteração

50 Programação Linear Exemplo (3.b)
Solução ótima

51 Programação Linear Exemplo (4)
Var. Decisões Valor Marg. X1 Janelas 2 X2 Portas 6 S1 Montagem S2 Laminação -1,5 S3 Corte -1 Z Lucro 36 1

52 Parte III Problemas Lineares Especiais
Problema de Atribuição Problema de Transportes Problemas de Fluxo em Redes

53 Parte IV Programação Inteira
Modelagem Algoritmo de branch and bound Algoritmo de Balas

54 Parte V Programação Dinâmica
Formulação de modelos Programação Dinâmica Determinística Programação Dinâmica Estocástica Programação Dinâmica com horizonte ilimitado

55 Parte VI Programação Não Linear
Formulação de modelos Condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Problemas não lineares monovariados Problemas mutivariados não lineares Problemas multivariados não lineares com restrições