Teoria Cinética dos Gases

Apresentação em tema: "Teoria Cinética dos Gases"— Transcrição da apresentação:

1 Teoria Cinética dos Gases
Capítulo 3 Teoria Cinética dos Gases Ludwing Boltzmann ( ) 3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal 3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás Ideal 3.3 Processos Adiabáticos para um Gás Ideal

2 3.1 Modelo Molecular de um Gás Ideal
Dum ponto de vista macroscópico, a representação matemática do modelo do gás ideal é a lei do gás ideal: As propriedades macroscópicas podem ser compreendidas com base no que está acontecendo na escala atómica Examinaremos também a lei do gás ideal em termos do comportamento das moléculas individuais que formam o gás Modelo estrutural de um gás mantido num recipiente O número de moléculas no gás é muito grande e a separação média entre as moléculas é grande quando comparada com suas dimensões As moléculas obedecem às leis do movimento de Newton, mas como um todo movem-se aleatoriamente As moléculas interagem somente por meio de forças de curto alcance durante colisões elásticas As moléculas colidem elasticamente com as paredes do recipiente O gás é puro, o que significa que todas as suas partículas são idênticas

3 Interpretação Molecular da Pressão de um Gás Ideal
Uma das moléculas de um gás ideal, de massa m move-se numa caixa cúbica de lado d, com uma velocidade vxi na direção do eixo x (i refere-se a partícula i) A componente pxi do momento linear da molécula antes da colisão é mvxi , e depois da colisão é – mvxi A variação no momento linear da molécula na direção x é O intervalo de tempo entre duas colisões com a mesma parede

4 Sabemos que o impulso é igual a variação do momento linear momento linear:
onde Fi é a força da parede sobre a molécula Pela terceira lei de Newton a componente da força que a molécula exerce sobre a parede é

5 Considerando as N moléculas do gás ideal no recipiente de volume V:
A força média total exercida pelo gás sobre a parede do recipiente A força constante, sobre a parede devido às colisões moleculares tem o valor Pelo teorema de Pitágoras: e

6 A força total sobre a parede é
Obtemos a pressão exercida sobre a parede, dividindo F pela área da parede (A=d2) . No denominador ficamos com d3=V A pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume e à energia cinética translacional média das moléculas 6

7 Interpretação Molecular da Temperatura de um Gás Ideal
onde Número de Avogadro Constante de Boltzmann Substituindo P obtemos A temperatura de um gás é uma medida direta da energia cinética translacional média das moléculas

8 Reescrevendo a equação anterior de outra forma. Assim:
obtemos  é a energia translacional média por molécula como

9 Teorema de equipartição de energia
A energia de um sistema em equilíbrio térmico está igualmente dividida entre todos os graus de liberdade “Graus de liberdade” refere-se ao número de maneiras independentes pelas quais uma molécula pode ter energia. No caso do gás ideal cada molécula têm 3 graus de liberdade uma vez que se movimentam na direção dos eixos x,y e z A energia cinética translacional total de N moléculas de gás é simplesmente N vezes a energia translacional média por molécula  interna de um gás monoatómico 9

10 Podemos encontrar a velocidade média quadrática de cada molécula pela equação
onde M é a massa molecular em kg por mol. Essa expressão mostra que, numa determinada temperatura, em média moléculas mais leves se deslocam mais rapidamente, do que moléculas mais pesadas. Exemplo. O hidrogénio, com uma massa molecular de kg/mol, move-se quatro vezes mais rapidamente que o oxigénio, cuja massa molecular é kg/mol. Se calcularmos a velocidade média quadrática do hidrogénio à temperatura ambiente (~300 K), encontraremos este valor representa aproximadamente 17% da velocidade de escape da Terra, que é de km/s. Como essa é uma velocidade média, um grande número de moléculas que têm velocidades mais altas podem escapar da atmosfera terrestre. É por isso que a atmosfera da Terra atualmente não contém hidrogénio – todo ele foi para o espaço.

11 O gás é submetido a diversos processos
3.2 Capacidade Calorífica Molar de um Gás Ideal A quantidade de gás ideal é medida pelo número de moles n, em vez da massa m O gás é submetido a diversos processos com a mesma variação de temperatura mesmo Pelo primeiro princípio da termodinâmica  W para cada trajetória é diferente Q diferente para cada trajetória (área sob a curva diferente)  a energia necessária para produzir cada variação de temperatura não tem um valor único

12 Essa dificuldade é resolvida definindo-se as capacidades caloríficas para dois processos que ocorrem com mais frequência: o processo isocórico e o processo isobárico e escrevemos em moles: Modificamos a equação Volume constante Processo isocórico CV é a capacidade calorífica molar (ou calor específico molar) a volume constante

13 Pressão constante Processo isobárico CP é a capacidade calorífica molar (ou calor específico molar) a pressão constante

14 No processo isocórico V = constante:
Do primeiro princípio da termodinâmica  para todos os gases monoatómicos

15 Além disso é verdade também para gases monoatómicos e poliatómicos
Como a energia interna é uma função de estado, a variação de energia interna não depende da trajetória seguida entre os estados inicial e final. Logo a equação (1): fornece a variação na energia interna de um gás ideal para qualquer processo no qual há variação de temperatura (T) e não apenas para um processo isocórico Além disso é verdade também para gases monoatómicos e poliatómicos Para variações infinitesimais 15

16 No processo isobárico P = constante:
 esta expressão se aplica a qualquer gás ideal  grandeza sem dimensão para um gás monoatómico

17 3.3 Processos Adiabáticos para um Gás Ideal
Em três processos, uma variável de estado é mantida constante P = constante para um processo isobárico V = constante para um processo isocórico T = constante para um processo isotérmico Um quarto processo especial é o processo adiabático Há algo constante nesse processo? Veremos que a combinação de algumas variáveis permanece constante !

18 uma variação infinitesimal do volume  dV
Imagine um gás se expandindo adiabaticamente num cilindro isolado termicamente, de modo que Q=0 Supomos uma variação infinitesimal do volume  dV uma variação infinitesimal da temperatura  dT O trabalho realizado pelo gás é PdV A variação da energia interna é dada pela equação a primeira lei da termodinâmica será ou Assim: Derivando obtemos Substituindo o valor de obtemos 

19 Dividimos a equação acima por PV e substituímos
Integrando, obtemos que podemos escrever como utilizando a lei do gás ideal 

20  o gás arrefece durante uma expansão adiabática
A figura ao lado mostra o diagrama PV para uma expansão adiabática Como  > 1, a curva PV é mais íngreme do que a inclinação de uma expansão isotérmica, em que PV = constante Da equação vemos que: durante uma expansão adiabática, é negativo  também é negativo  o gás arrefece durante uma expansão adiabática Inversamente, a temperatura aumenta se o gás for comprimido adiabaticamente Para os estados inicial (i) e final (f): e utilizando a lei do gás ideal 

21 Resumo dos quatro processos termodinâmicos para o gás ideal

22 para um gás poliatómico
Movimentos em moléculas mais complexas Translacional Rotacional Vibratórios (a) A energia interna tem contribuições dos movimentos rotacional e vibratórios Estes movimentos são ativados pelas colisões, e estão acoplados ao movimento translacional das moléculas Caso de uma molécula diatómica: (a) movimento translacional do centro de massa (b) movimento rotacional (c) movimento vibratório ao longo do eixo da molécula

23 Capacidade calorífica
Supomos duas situações: 1ª - a molécula tem 5 graus de liberdade: três associados ao movimento translacional (a) e dois associados ao movimento rotacional (b) Energia interna ou Capacidade calorífica e

24 2ª - a molécula tem 7 graus de liberdade: três associados ao movimento translacional (a), dois associados ao movimento rotacional (b) e dois associados ao movimento vibratório (c) Energia interna ou Capacidade calorífica e

25 (A escala horizontal é logarítmica)
Capacidade calorífica molar do hidrogénio como função da temperatura (A escala horizontal é logarítmica)

26 Para moléculas com mais de dois átomos, o número de graus de liberdade é ainda maior e as vibrações são mais complexas do que para moléculas diatómicas Isso resulta numa capacidade calorífica molar prevista ainda maior, o que está qualitativamente de acordo com o experimento

27 Uma alusão à quantização de energia
O modelo de capacidade calorífica molar tratado até agora foi baseado em noções puramente clássicas, que não é suficiente para explicar o resultado de várias capacidades caloríficas molares  é preciso a mecânica quântica. A física quântica nos diz que para uma molécula todas as energias de vibração e rotação são quantizadas A Figura mostra um diagrama do nível de energia para os estados quânticos vibratório e rotatório de uma molécula diatómica. Observe que os estados vibratórios estão separados por intervalos de energia maiores do que os estados rotatórios. Para baixas temperaturas a única contribuição para a energia média da molécula vem da translação.