Eleições em Portugal.

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1 Eleições em Portugal

2 Método de Hondt Apura-se o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo; O número de votos respectivos são divididos, sucessivamente, por 1, 2, 3, etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente de grandeza numa série com tantos membros quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;

3 Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada lista tantos mandatos quantos os seus termos na série; No caso de restar um só mandato para distribuir, e dos termos seguintes da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à lista que tiver obtido menos votos.

4 Exemplo No distrito de Leiria existem dez mandatos a atribuir.
Nas últimas eleições legislativas registou-se a seguinte distribuição de votos: Lista Votos PSD 121350 PS 70384 CDS 23482 PCP 9810

5 Apliquemos o método de Hondt:
Divisores PSD PS CDS PCP 1 121350 70384 23482 9810 2 60675 35192 11741 4905 3 40450 23461,3 7827,3 3270 4 30337,5 17596 5870,5 2452,5 5 24270 14076,8 4696,4 1962 6 20225 11730,7 3913,7 1635 7 17335,7

6 Distribuição de mandatos:
Listas Mandatos PSD 6 PS 3 CDS 1 PCP

7 Sistemas de Votação Ponderada

8 Numa sociedade diversificada os eleitores, sejam eles indivíduos ou instituições, não são iguais e é por vezes recomendável reconhecer as suas diferenças, atribuindo diferentes pesos a cada um dos seus votos. A todo método no qual os eleitores não estejam em igualdade, em termos dos votos que controlam, dá-se o nome de sistema de votação ponderada.

9 Questão: Dado um eleitor com determinado número de votos, que poder detém sobre a eleição ? A resposta a esta pergunta baseia-se em ideias matemáticas que vamos abordar de seguida. Iremos abordar o caso em que a votação apenas incide sobre duas alternativas ou candidatos -moção.

10 Terminologia Todo o sistema de votação ponderada é caracterizado por três elementos: Jogadores ( P1 , P2 , … , PN ); Pesos dos jogadores ( w1 , w2 , … , wN ); Quota (q). N – número de participantes

11 Quota: Número mínimo de votos necessário para aprovar uma moção.
Qualquer número superior a metade da totalidade dos votos é um valor aceitável para o valor da quota. Formalmente:

12 Notação: Uma forma conveniente de descrever um sistema de votação ponderada é, [ q : w1, w2, …, wN ] a quota surge em primeiro lugar seguida dos pesos dos participantes.

13 Exemplos: Membros Votos P1 8 P2 6 P3 5 P4 1 [ 14 : 8, 6, 5, 1 ]
Consideremos uma corporação com quatro elementos, com a distribuição de votos da tabela. São necessários 14 votos para aprovar uma moção. [ 14 : 8, 6, 5, 1 ]

14 Seja [ 11: 12, 5, 4 ] um sistema de votação ponderada
Seja [ 11: 12, 5, 4 ] um sistema de votação ponderada. Neste caso o jogador P1 controla um número suficiente de votos para aprovar qualquer moção. A um jogador que detenha um número de votos igual ou superior ao valor da quota chamamos ditador.

15 1 No sistema de votação ponderada [ 12: 9, 5, 4, 2] o jogador P1 não é um ditador mas pode impedir uma moção de ser aprovada. Nestas condições dizemos que um jogador tem poder de veto.

16 Analisemos o sistema de votação ponderada
[ 101 : 99, 98, 3 ] . À primeira vista parece que os participantes P1 e P2 têm muito poder em relação ao P3. Contudo só é possível aprovar uma moção com dois participantes a favor. Mais, quaisquer dois participantes juntos têm uma coligação vencedora!! Vamos então introduzir a primeira interpretação matemática de poder nos sistemas de votação ponderada para estudar o poder de cada jogador do exemplo anterior.

17 Índice de Poder Banzhaf
Chama-se a todo o conjunto de jogadores, que unam forças para votar em conjunto, coligação. Ao número total de votos controlado por uma coligação chamamos peso da coligação . Às coligações que reúnam um número suficiente de votos para aprovar uma moção chamamos coligações vencedoras. A uma coligação formada por todos os elementos chama-se a grande coligação. A um jogador cuja deserção de uma coligação vencedora a transforme numa coligação perdedora chamamos jogador crítico.

18 Determinação do índice de Poder Banzhaf de um jogador:
Passo 1 – Fazer a lista de todas as coligações possíveis. Coligações {P1} {P2} {P3} {P1, P2} {P1, P3} {P2, P3} {P1, P2, P3}

19 Passo 2 – Determinar as coligações vencedoras
Coligação Peso da coligação Ganha ou perde {P1} 99 Perde {P2} 98 {P3} 3 {P1, P2} 197 Ganha {P1, P3} 102 {P2, P3} 101 {P1, P2, P3} 200

20 Passo 3 – Em cada coligação coligação identificar os participantes críticos.
Peso da coligação Ganha ou perde {P1} 99 Perde {P2} 98 {P3} 3 {P1, P2} 197 Ganha {P1, P3} 102 {P2, P3} 101 {P1, P2, P3} 200

21 Passo 4 – Contar o número de vezes que um jogador é crítico ( BN ).
P1 – é critico duas vezes B1=2 P2 – é crítico duas vezes B2=2 P3 – é crítico duas vezes B3=2

22 Passo 5 – Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos ( T ).
O índice de poder de PN é dado por BN/T . P1: 2/ ,(3)% Distribuição P2: 2/ ,(3)% de Poder P3: 2/ ,(3)% Banzhaf

23 Exemplo: No que toca à contratação de jogadores a equipa do Hoquei de Barcelos tem a seguinte distribuição de votos: Jogadores Peso dos Jogadores Treinador 4 Presidente 3 Treinador Adjunto 2 Equipa Médica 1

24 São necessários 6 votos para contratar um jogador (q = 6).
Estamos então na presença de um sistema de votação ponderada [ 6: 4, 3, 2, 1 ]. Vamos então encontrar a distribuição de poder Banzhaf deste sistema de votação ponderada.

25 Coligações:

26 Distribuição de Poder Banzhaf:
Treinador : 5/ ,(6)% Presidente : 3/ % T. Adjunto : 3/ % Eq. Médica : 1/ ,(3)%

27 O ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK

28 Coligação Sequencial:
começa com um jogador, que se pode aliar a um segundo, seguidamente a um terceiro e assim sucessivamente. Será que a ordem interessa? Vejamos que sim. {P1, P2, P3}  P1, P2 e P3 juntaram-se e vão votar juntos P1, P2, P3  P1 iniciou a coligação à qual se juntou P2 e por ultimo P3 P1, P3, P2 P2, P1, P3 P2, P3, P1 P3, P1, P2 P3, P2, P1 Notação:   indica que a coligação é sequencial Coligações Sequenciais com 3 jogadores

29 Com 3 jogadores temos 3! Coligações Sequenciais
O que acontecerá se tivermos 4 jogadores? Teremos 4! Coligações Sequenciais. . Com N jogadores teremos N! Coligações Sequenciais. Jogador Pivotal

30 O Jogador Pivotal Coligação Sequencial 1º 2º … Pivotal Restantes GANHA
PERDE … 1º 2º … Pivotal Restantes

31 Cálculo do Índice de Poder de Shapley-Shubik para o Jogador P
Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N jogadores. Há N! destas coligações. Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar o jogador pivotal. Há um em cada coligação sequencial.

32 O Índice de Poder de Shapley-Shubik do Jogador P é dado pela fracção
Passo 3: Contar o número total de vezes em que P é jogador pivotal e denominar esse número por S. O Índice de Poder de Shapley-Shubik do Jogador P é dado pela fracção

33 Exemplo “ Dias & Filhos ” é uma empresa familiar. Três gerações de Dias (Afonso I, Afonso II, Afonso III) estão envolvidas na sua gerência. No que toca a decisões, o Afonso I tem três votos, o Afonso II tem dois votos e o Afonso III um voto. Uma maioria de quatro votos é necessária para aprovar uma moção. Como está distribuído o poder pelas três gerações?

34 Cálculo do Índice de Poder de Shapley – Shubik
Passo1: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N jogadores. Há N! destas coligações. Passo1: Há 3! =6 coligações sequenciais.

35 Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar o Jogador Pivotal. Passo 2: Coligação Sequencial Jogador Pivotal A1, A2, A3 A2 A1, A3, A2 A3 A2, A1, A3 A1 A2, A3, A1 A3, A1, A2 A3, A2, A1

36 Passo 3: Contar o número de vezes em que o jogador P é pivotal e denominar esse número por S. Passo 3: A1 é pivotal 4 vezes A2 é pivotal 1 vez A3 é pivotal 1 vez A distribuição de Poder de Shapley-Shubik é: A1: 4/6  66,(6)% A2: 1/6  16(6)% A3: 1/6  16(6)%

37 Retomar o exemplo do Hoquei de Barcelos
Temos 4 jogadores, logo 4! Coligações sequenciais

38 Distribuição de poder de Shapley-Shubik
Jogador Nº de vezes que é Pivotal T 10 P 6 TA EM 2 A distribuição de poder é: Treinador : 10/24 ( 41,(6)%) Presidente : 6/24 (25%) T. Adjunto : 6/ (25%) Eq. Médica : 2/24 (8,(3)%)

39 Legislativas 2002

40 Legislativas 2002 Quem saiu vencedor foi a coligação PSD/CDS.
Qual o índice de poder de cada partido segundo Banzhaf e Shapley-Shubik?

41 QUADRO DE RESULTADOS partidos votos % mandatos PPD/PSD 2181672 40,15
102 PS 37,84 95 CDS-PP 475515 8,75 14 PCP-PEV 378640 6,97 12 B.E. 149543 2,75 3 Total 226

42 Analise do poder de cada partido segundo
Banzhaf [114: 102, 95, 14, 12, 3] Shapley - Shubik Há 5!= 120 coligações sequenciais

43 Contagem Partidos Nº de vezes que é crítico PSD 11 PS 4 CDS PCP BE
Banzhaf Shapley-Shubik Partidos Nº de vezes que é crítico PSD 11 PS 4 CDS PCP BE Partidos Nº de vezes que é pivotal PSD 60 PS 20 CDS PCP BE

44 Distribuição de Poder BANZHAF SHAPLEY-SHUBIK PSD: 11/23  47, 8 %
PP: /23  17, 4 % PCP: 4/23 17, 4 % BE: 0 % SHAPLEY-SHUBIK PSD: 60/120  50 % PS: 20/120  16, (6) % PP: 20/120  16, (6) % PCP: 20/120  16, (6) % BE: 0 %

45 Comparação Partidos Banzhaf Shapley-Shubik PSD 47,8% 50% PS 17,4%
16, (6)% CDS PCP BE 0%

46 Conclusão Índice de Poder de Qual estará mais perto da realidade?
Banzhaf Shapley-Shubik Qual estará mais perto da realidade? Segundo Banzhaf um jogador entra e sai quando quer. Segundo Shapley-Shubik um jogador entra na coligação para assumir um compromisso de permanência.

47 Na prática a escolha do método é baseada na análise da informação que melhor se adequa às características da situação. No último exemplo torna-se muito mais fácil a aplicação do índice de poder de Banzhaf do que o de Shapley-Shubik.