Problemas de fluxo numa rede

Apresentação em tema: "Problemas de fluxo numa rede"— Transcrição da apresentação:

1 Problemas de fluxo numa rede
Modelar fluxos conservativos entre dois pontos através de canais com capacidade limitada s s Fluxo num arco não pode ultrapassar a capacidade Soma das entradas num nó igual à soma das saídas 3 2 3 2 1 a b a b 4 1 Exemplos abastecimento de líquido ponto a ponto tráfego entre dois pontos - s: fonte; t: poço - distribuição de fluxo pelos arcos arbitrária, desde que respeite as setas 3 2 2 2 c d c d 2 3 2 3 t t

2 Fluxo máximo: 1ª abordagem
algoritmo simples de aproximações sucessivas baseado em G  grafo base de capacidades Gf  grafo auxiliar de fluxos - inicialmente fluxos iguais a 0 - no fim, fluxo máximo Gr  grafo residual (auxiliar) - capacidade disponível em cada arco (= capacidade - fluxo) - capacidade disponível = 0 — eliminar arco saturado método de calcular o fluxo máximo entre s e t em cada iteração, selecciona-se um caminho em Gr entre s e t (de acréscimo) —algoritmo não determinístico valor mínimo nos arcos desse caminho = quantidade a aumentar a cada um dos arcos respectivos em Gf recalcular Gr termina quando não houver caminho de s para t

3 Exemplo: estado inicial
3 2 3 2 1 1 a b a b a b 4 4 3 2 3 2 c d c d c d 2 3 2 3 t t t G Gf Gr

4 Exemplo: 1ª iteração s s s a b a b a b c d c d c d t t t G Gf Gr 3 2 2
2 3 1 1 a b a b a b 4 4 3 2 2 3 c d c d c d 2 3 2 2 1 t t t G Gf Gr

5 Exemplo: 2ª iteração s s s a b a b a b c d c d c d t t t G Gf Gr 3 2 2
1 1 1 a b a b a b 4 4 3 2 2 2 1 c d c d c d 2 3 2 2 1 t t t G Gf Gr

6 Exemplo: 3ª iteração s s s a b a b a b c d c d c d t t t G Gf Gr 3 2 3
1 1 a b a b a b 4 1 3 3 2 2 2 1 c d c d c d 2 3 2 3 t t t G Gf Gr

7 Algoritmo não garante fluxo óptimo
critério ganancioso de selecção do caminho: escolher o que dê maior fluxo - caminho s, a, d, t (3 unidades de fluxo)  algoritmo termina sem obter o máximo - exemplo de algoritmo ganancioso que falha s s s 3 2 3 2 1 1 a b a b a b 4 3 1 3 2 3 2 c d c d c d 2 3 3 2 t t t

8 Algoritmo determinístico
permitir que o algoritmo mude de ideias para cada arco (v,w) com fluxo f(v,w) no grafo de fluxos acrescenta-se um arco (w,v) no grafo residual com capacidade f(v,w) - corresponde a deixar devolver fluxo para trás (nunca fica globalmente negativo, contra o arco) - podem existir arcos em sentidos opostos; podem existir ciclos se as capacidades forem números racionais, o algoritmo termina com máximo se as capacidades forem inteiros e o fluxo máximo f - bastam f estádios (fluxo aumenta pelo menos 1 por estádio) - tempo de execução ( caminho mais curto não pesado ) é O(f. |E| ) ä mau evitar o problema - escolher caminho que dá maior aumento de fluxo - semelhante ao problema do caminho pesado mais curto (pequena alteração a Dijkstra) - fluxo máximo em O(|E| log capMax) (capMax = capacidade máxima de um arco) - cada cálculo de um aumento em O(|E| log |V|) (Dijkstra) - global: O(|E|^2 log |V| log capMax)

9 Solução óptima - 1ª iteração
3 2 3 3 2 1 1 a b a b a b 4 3 1 3 2 3 2 3 c d c d c d 2 3 3 2 3 t t t G Gf Gr 3 unidades de fluxo no caminho sadt

10 Solução óptima - 2ª iteração
3 2 3 2 3 2 1 1 a b a b a b 4 1 3 3 2 2 2 2 1 2 1 c d c d c d 2 3 2 3 2 3 t t t G Gf Gr 2 unidades de fluxo no caminho s,b,d,a,c, t

11 Caso difícil - se se escolher passar sempre por a e por b… s a b t s s
1 a b t s s 1 1 1 a 1 b a b 1 1 t t s s 1 1 1 1 a b 1 a b 1 1 … temos de iterações, em vez de 2! 1 1 t t

12 Árvores de expansão mínimas
Árvore que liga todos os vértices do grafo usando arestas com um custo total mínimo caso do grafo não dirigido grafo tem que ser conexo árvore Þ acíclico número de arestas = |V| - 1 exemplo de aplicação: cablamento de uma casa - vértices são as tomadas - arestas são os comprimentos dos troços

13 Algoritmo de Prim expandir a árvore por adição sucessiva de arestas e respectivos vértices critério de selecção: escolher a aresta (u,v) de menor custo tal que u já pertence à árvore e v não (ganancioso) início: um vértice qualquer idêntico ao algoritmo de Dijkstra para o caminho mais curto informação para cada vértice - dist(v) é o custo mínimo das arestas que ligam a um vértice já na árvore - path(v) é o último vértice a alterar dist(v) - known(v) indica se o vértice jé foi processado (isto é, se já pertence à árvore) diferença na regra de actualização: após a selecção do vértice v, para cada w não processado, adjacente a v, dist(w) = min{ dist(w), cost(w,v) } tempo de execução - O( |V|2 ) sem fila de prioridade - O( |E| log |V| ) com fila de prioridade

14 Evolução do algoritmo de Prim
última tabela known dist path 1 0 0 1 2 1 1 2 4 1 1 1 1 6 7 1 1 7 1 4 4 2 1 2 4 10 1 3 3 2 7 4 5 8 4 5 6 6 1 7     2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 4 4 3 2 4  2  2  2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 4 3 2 4 3 2 4 5 4 4 4 6 7 6 1 7 6 1 7

15 Algoritmo de Kruskal analisar as arestas por ordem crescente de peso e aceitar as que não provocarem ciclos (ganancioso) método manter uma floresta, inicialmente com um vértice em cada árvore (há |V|) adicionar uma aresta é fundir duas árvores quando o algoritmo termina há só uma árvore (de expansão mínima) aceitação de arestas — algoritmo de Busca/União em conjuntos representados como árvores se dois vértices pertencem à mesma árvore/conjunto, mais uma aresta entre eles provoca um ciclo (2 Buscas) se são de conjuntos disjuntos, aceitar a aresta é aplicar-lhes uma União selecção de arestas: ordenar por peso ou, melhor, construir fila de prioridade em tempo linear e usar Apaga_Min tempo no pior caso O( |E| log |E| ), dominado pelas operações na fila

16 Pseudocódigo (Kruskal)
void kruskal() { DisjSet s; PriorityQueue h; Vertex u, v; SetType uset, vset; Edge e, int edgesAccepted = 0; h = readGraphIntoHeapArray(); h.buildHeap(); s = new DisjSet(NUM_VERTICES); while(edgesAccepted < NUM_VERTICES -1 ) e = h.deleteMin(); // e = (u,v) uset = s.find(u); vset = s.find(v); if (uset != vset) edgesAccepted++; S.union(uset, vset); } }}

17 Evolução do algoritmo de Kruskal
1 2 3 4 5 6 7 10 8  1 2 3 4 5 6 7   1 2 1 2 1 1 3 5 3 4 5 4 6 1 6 7 7

18 Evolução do algoritmo de Kruskal
1 2 3 4 5 6 7 10 8  2 1 2 1 3 4 5 6 1 7 2 2  1 2  1 2 1 1 5 3 2 4 5 3 2 4 4 6 1 7 6 1 2 7  1 2 1 3 2 4 5 4 6 6 1 7