Elsa Carvalho 163 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria dos Modelos.

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1 Elsa Carvalho 163 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria dos Modelos e das Provas Lógica fornece duas noções de consequência: lógica e sintática. Teoria dos Modelos Seja S um conjunto de frases lógicas e f uma frase lógica: f é consequência lógica de S se e só se todos os modelos de S são modelos de f. Escreve-se da seguinte forma: S f A Teoria dos Modelos proporciona uma forma de atribuir significado (semântica) às frases lógicas.

2 Elsa Carvalho 164 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria dos Modelos e das Provas Teoria das Provas Seja S um conjunto de frases lógicas, f uma frase lógica e R um conjunto de regras de inferência: f é consequência sintáctica (ou é derivável a partir) de S se e só se é possível inferir f a partir de S aplicando as regras de inferência R. Escreve-se da seguinte forma: S f A Teoria das Provas proporciona uma forma de gerar frases a partir da manipulação sintáctica de outras frases.

3 Elsa Carvalho 165 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria dos Modelos - Conceitos Uma interpretação atribui significado a uma frase lógica, associando-a a alguma declaração que tenha valores lógicos (verdade ou falso), num domínio específico escolhido. Uma interpretação que faz uma frase lógica ser verdade designa- se um modelo da frase (ou que satisfaz a frase). Podemos estender esta definição para um conjunto de frases: Uma interpretação é um modelo para o conjunto se e só se é um modelo para cada um dos membros do conjunto. Uma interpretação que não satisfaz uma frase diz-se um contra- modelo (ou que não satisfaz). Uma frase válida é uma frase lógica em que todas as suas interpretações são modelos.

4 Elsa Carvalho 166 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria dos Modelos - Conceitos Exemplo Considere-se a seguinte fórmula chã gosta(barney, bambam) e escolha-se um domínio constituído por apenas 2 elementos. De forma a realizarmos uma interpretação teremos de associar os elementos do domínio com as constantes da fórmula: barney e bambam e também associar alguma relação binária no domínio com o predicado binário - gosta - da fórmula.

5 Elsa Carvalho 167 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Exemplo (cont.) A frase gosta(barney, bambam) é verdade na interpretação: = barney = bambam e gosta = porque o tuplo pertence ao domínio da relação gosta. Teoria dos Modelos

6 Elsa Carvalho 168 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria dos Modelos a interpretação anterior é um modelo de gosta(barney, bambam) frase que não tem modelos ( X)( Y) (gosta(X,Y) gosta(X,Y)) frase válida ( X)( Y) (gosta(X,Y) gosta(X,Y)) Duas frases são logicamente equivalentes (S1 S2) se e só se tiverem os mesmos modelos.

7 Elsa Carvalho 169 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria das Provas - Conceitos A Teoria das Provas preocupa-se com a derivabilidade de frases lógicas a partir de outras frases, usando regras de inferência. As frases iniciais são chamadas de axiomas. As frases derivadas são chamadas teoremas (ou consequências sintácticas). Regras de inferência operam unicamente sobre a sintaxe das frases (e não sobre o seu significado).

8 Elsa Carvalho 170 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria das Provas - Conceitos A regra de inferência mais popular (usada pela lógica clássica) é o Modus Ponens: do par de frases {W2, W1 W2} inferir a frase W1 Os axiomas mais as regras de inferência constituem um sistema de inferência. Os axiomas juntamente com os teoremas derivados constituem uma Teoria. Uma teoria é inconsistente se e só se contém conjuntamente uma frase e a sua negação. Caso contrário é consistente.

9 Elsa Carvalho 171 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Teoria das Provas - Conceitos Definição formal de Prova Seja A um conjunto de axiomas e R um conjunto de regras de inferência. Uma prova derivada do sistema de inferência [A, R] é a sequência em que cada s i ou é um axioma de A ou é derivado através da aplicação de uma regra de R em axiomas de A e/ou de frases que precedem s i. A sequência é denominada por prova de s i i.e. A s i A relação de derivabilidade usando R é definida por: R = {(A, s) s é provado através de A usando R}

10 Elsa Carvalho 172 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Relação entre Teoria dos Modelos e das Provas Seja S um conjunto de frases lógicas e c uma conclusão. Requisito mínimo: Se S expressa correctamente o nosso problema a resolver então c expressa correctamente a conclusão. Se correcto quer dizer verdade numa interpretação própria então podemos dizer que, para uma dada interpretação I: Se I é um modelo de S então I é um modelo de c

11 Elsa Carvalho 173 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Mas o computador só manipula símbolos e nada sabe sobre as nossas intenções. Terá de ser algo mais forte, ou seja, para todas as possíveis interpretações I: Se I é um modelo de S então I é um modelo de c Por outras palavras, queremos mostrar que S c. Felizmente, é possível mostrar que S c sem ter que verificar todas as interpretações. Usamos simplesmente um sistema de inferência que estabeleça a relação S c. Relação entre Teoria dos Modelos e das Provas

12 Elsa Carvalho 174 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Duas propriedades essenciais dos sistemas de inferência Correcto (Soundness) para todo o S e c, se S c então S c Um procedimento de prova que não prove fórmulas falsas diz-se que é correcto. Completo (Completeness) para todo o S e c, se S c então S c Um procedimento de prova com o qual é possível provar qualquer fórmula verdadeira diz-se que é completo. Um sistema que não é completo não tem poder inferencial suficiente para resolver todos os problemas que têm solução. Relação entre Teoria dos Modelos e das Provas

13 Elsa Carvalho 175 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Sistemas de Inferência para a Forma Clausal As letras que vamos utilizar de seguida, A, B, C, etc., referem- se a proposições. Um exemplo de um sistema correcto e completo é: modus ponens{B, A B} A com transporte de literais (A B C A B C) Um problema com o uso do modus ponens é que é usado sem particular objectivo de uma conclusão específica. Assim pode inferir coisas nas quais não estamos interessados.

14 Elsa Carvalho 176 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Sistemas de Inferência para a Forma Clausal Considerando isto, é geralmente melhor usar um sistema de inferência com a seguinte regras: {(C A C 1 … C n ), (A B)} C B C 1 … C n Um caso especial desta regra é modus tollens: { A, (A B)} B { A, (A B)} B (formato condicional) Com este novo método, primeiro nega-se a conclusão desejada e depois tenta-se inferir a cláusula vazia ( ) (inconsistência).

15 Elsa Carvalho 177 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Sistemas de Inferência para a Forma Clausal Generalizando, tendo um programa P (conjunto de cláusulas), uma desejada conclusão A e um sistema de inferência que é correcto e completo para, então: P { A} se e só se P (falso A) P { A} se e só se P A Na primeira equivalência utiliza-se uma teorema da consequência lógica que diz para qq conjunto de frases S = {s 1,..., s n } e qq frase f, S f se e só se S – {s i } (f s i ) [para qq i]

16 Elsa Carvalho 178 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Assim, se a conclusão A pode ser inferida directamente de P, então a sua negação A pode ser refutada de P. Qualquer prova de é designada por refutação. A execução de um programa em lógica é baseado no método de provas por refutação. Dado um programa P e uma fórmula negada A (ambas na forma clausal) tentamos mostrar que P { A} é inconsistente Sistemas de Inferência para a Forma Clausal

17 Elsa Carvalho 179 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Resolução (versão proposicional) Resolução é uma regra de inferência que, usada isoladamente, é suficiente para testar se um dado conjunto de cláusulas é inconsistente (derivando ). Assim temos, dado um conjunto de cláusulas P: 1. Escolher uma cláusula A A 1 … A m P 2. Procurar outra cláusula C A C 1 … C n P 3. Construir a cláusula C A 1 … A m C 1 … C n 4. Adicionar a cláusula construída a P

18 Elsa Carvalho 180 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Resolução (versão proposicional) Dado pai mae progenitorehomem pai construir homem mae progenitor A aplicação da regra chama-se um passo da resolução. As cláusulas escolhidas para um passo de resolução são chamadas premissas. A cláusula que é derivada chama-se resolvente.

19 Elsa Carvalho 181 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Resolução (versão proposicional) Propriedades É correcto: cada resolvente é implicado pelas suas premissas. Um resolvente é a cláusula vazia ( ) se e só se uma premissa é uma fórmula atómica A e a outra é A. Para qualquer conjunto inconsistente de cláusulas de Horn, a cláusula vazia pode ser inferida como resolvente. Por causa desta propriedade chamamos à resolução refutation- complete (completa com a refutação). A resolução pode ser usada unicamente com frases lógicas na forma clausal.

20 Elsa Carvalho 182 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Resolução (versão proposicional) A forma habitual de usar a resolução para a programação com cláusulas de Horn é: assumimos que P é um conjunto de cláusulas definidas a resposta desejada A é formulada como uma cláusula negativa A aplica-se a resolução com o objectivo de obter uma prova de ou seja, refutação.

21 Elsa Carvalho 183 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Resolução (versão proposicional) Assim temos P Ase e só seP { A} é inconsistente entãoP Ase e só seP { A} por refutação uma vez que a resolução é correcta e completa com a refutação.

22 Elsa Carvalho 184 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Resolução (versão proposicional) Exemplo com cláusulas de Horn 1. A 2. A B C 3. B C 4. C Por resolução temos de 1. e 2. infere-se5. B C de 3. e 5. infere-se6. C C de 4. e 6. infere-se7. C de 4. e 7. infere-se 8. Note-se que existem outras refutações alternativas e podem ser obtidas por resolução.

23 Elsa Carvalho 185 Universidade da Madeira Departamento de Matemática Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05) Resolução (versão proposicional) A representação em árvore é mais habitual A A B C B C C B C C C C