COMPARAÇÃO DE DUAS POPULAÇÕES

Apresentação em tema: "COMPARAÇÃO DE DUAS POPULAÇÕES"— Transcrição da apresentação:

1 COMPARAÇÃO DE DUAS POPULAÇÕES
Spencer Barbosa da Silva DEEST

2 Queremos realizar um teste de hipóteses onde a hipótese nula é
Suponha que estamos interessados em comparar duas populações com relação às suas médias. Queremos realizar um teste de hipóteses onde a hipótese nula é Ho: µ1 = µ2 e a hipótese a aternativa é Ha: µ1 ≠ µ2 ou Ha: µ1 > µ2 Ha: µ1 < µ2

3 Erros associados ao teste de hipóteses
α = P(erro Tipo I) = P(rejeitar Ho| Ho verdadeira) = nível de significância β = P(erro Tipo II) = P(não rejeitar Ho| Ho falsa) 1 - β = 1- P(não rejeitar Ho| Ho falsa) = P(rejeitar Ho| Ho falsa) = poder do teste

4 A região de rejeição de Ho (Ho: µ1 = µ2) depende da hipótese alternativa.
Ha: µ1 ≠ µ2 Rejeitamos Ho se o modulo da estatistica de teste for maior que um valor critico. O valor critico é positivo e a area acima dele é igual a α/2. Ha: µ1 > µ2 Rejeitamos Ho se a estatistica de teste for maior que um valor critico. O valor critico é positivo e a area acima dele é igual a α. Ha: µ1 < µ2 Rejeitamos Ho se a estatistica de teste for menor que um valor critico. O valor critico é negativo e a area abaixo dele é igual a α.

5 Como vimos, se o nível de significância muda, a região critica também muda.
No entanto podemos concluir um teste de hipóteses com base no valor-p, que não muda com o nível de significância. O valor-p é uma probabilidade que depende de Ha. Se valor-p <= α rejeitamos Ho. Se valor-p > α não rejeitamos Ho.

6 Se valor-p <= α rejeitamos Ho. Se valor-p > α não rejeitamos Ho.
Ha: µ1 > µ2 Rejeitamos Ho se a estatistica de teste for maior que um valor critico. O valor critico é positivo e a area acima dele é igual a α. valor-p = P (estatistica de teste > estatistica de teste observada) Ha: µ1 < µ2 Rejeitamos Ho se a estatistica de teste for menor que um valor critico. O valor critico é negativo e a area abaixo dele é igual a α. valor-p = P (estatistica de teste < estatistica de teste observada)

7 Se valor-p <= α rejeitamos Ho. Se valor-p > α não rejeitamos Ho.
Ha: µ1 ≠ µ2 Rejeitamos Ho se o modulo da estatistica de teste for maior que um valor critico. O valor critico é positivo e a area acima dele é igual a α/2. i) se a estatistica de teste observada é negativa: valor-p = 2x P(estatistica de teste < estatistica de teste observada) ii) se a estatistica de teste observada é positiva: valor-p = 2x P(estatistica de teste > estatistica de teste observada)

8 Considere que tomamos uma amostra de tamanho n1 da população 1 e uma amostra de tamanho n2 da população 2. Vamos estudar testes paramétricos para as hipóteses estabelecidas, ou seja, testes que só podem ser realizados quando as duas amostras vierem de populações Normais. Caso as duas amostras não venham de população Normal mas tenham tamanhos grandes (maior ou igual a 30), os testes paramétricos ainda são válidos. Caso alguma das amostras seja pequena e não venha de população precisamos realizar um teste de hipótese não paramétrico. Aqui vamos considerar que as duas amostras vem de distribuição Normal e vamos trabalhar com amostras pequenas.

9 Amostras pareadas x Amostras independentes
Duas amostras são ditas pareadas quando a medida de interesse é feita para cada unidade amostral em dois momentos diferentes. A vantagem de trabalhar com amostras pareadas é eliminar possíveis fontes de confundimento.

10 CASO 1: Amostras dependentes (teste t pareado)
Exemplo: Queremos comparar a gasolina tradicional com um novo tipo de combustível. 12 carros são primeiramente abastecidos com a gasolina tradicional e mede-se o rendimento em km por litro. Em seguida, os 12 carros são abastecidos com o novo combustível e mede- se o rendimento em km por litro.

11 Vamos testar as hipóteses
Ho: µn = µt Ho: µn - µt = µD = 0 (o novo combustivel não altera o rendimento) Ha: µn > µt Ha: µn - µt = µD > 0 (o novo combustivel aumenta o rendimento) Como a variância populacional é desconhecida nosso teste será baseado na distribuição t com n-1 graus de liberdade.

12 Nossa estatística de teste é
Para α = 0,05 o valor crítico da tabela t com 11 graus de liberdade é 1,80. Como t>1,80 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra fornece evidencia de que o novo combustível é eficaz na melhora do rendimento.

13 valor-p = P(t>6,84)=1- P(t<6,84)= 1-0,9995=0,0005
Para α = 0,05 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra fornece evidencia de que o novo combustível é eficaz na melhora do rendimento. Para α = 0,01 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra valor-p < alfa: rejeito a hipótese nula ao nivel alfa de significancia, ou seja, as duas populaçõess tem variancias diferentes. valor-p > alfa: não rejeito a hipótese nula ao nivel alfa de significancia, ou seja, as duas populaçõess tem variancias iguais.

14 CASO 2: Amostras independentes com variâncias populacionais
conhecidas (teste Z) Exemplo: Queremos comparar dois medicamentos. 15 pacientes receberam o medicamento A e mediu-se o tempo até a cura (em dias). 15 pacientes receberam o medicamento B e mediu-se o tempo até a cura (em dias). Sabe-se que a variância populacional do tempo de cura para, tanto para o medicamento A quanto para o medicamento B, é de 10 dias.

15 Vamos testar as hipóteses
Ho: µA = µB Ho: µA - µB = 0 (a eficiência dos dois tratamentos é a mesma) Ha: µA ≠ µB Ha: µA - µB ≠ 0 (a eficiência dos dois tratamentos não é a mesma) Como a variância populacional é conhecida nosso teste será baseado na distribuição Normal.

16 Nossa estatística de teste é
Para α = 0,05 o valor crítico da tabela Normal é 1,960. Como |Z|>1,96 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra fornece evidencia de que a eficiência dos dois tratamentos não é a mesma.

17 valor-p = 2P(Z>2,65) = 2P(Z< -2,65) = 2.0,004 = 0,008
Para α = 0,05 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra fornece evidencia de que a eficiência dos dois tratamentos não é a mesma. Para α = 0,01 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra

18 CASO 3: Amostras independentes com variâncias populacionais
desconhecidas (teste t) a) Variâncias populacionais iguais (σ1= σ2) Exemplo: Queremos comparar dois medicamentos. 15 pacientes receberam o medicamento A e mediu-se o tempo até a cura (em dias). 15 pacientes receberam o medicamento B e mediu-se o tempo até a cura (em dias).

19 Vamos testar as hipóteses
Ho: µA = µB Ho: µA - µB = 0 (a eficiência dos dois tratamentos é a mesma) Ha: µA > µB Ha: µA - µB > 0 (tratamento B é mais eficiente que tratamento A) Como a variância populacional é desconhecida nosso teste será baseado na distribuição t com n1+n2-2 graus de liberdade.

20 Nossa estatística de teste é
onde

21 Então Para α = 0,05 o valor crítico da tabela t com 28 graus de liberdade é 1,701. Como t>1,701 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra fornece evidencia de que o tratamento B é mais eficiente que o tratamento A.

22 valor-p = P(t>11,51)=1- P(t<11,51) =1-1= 0
Para α = 0,05 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra fornece evidencia de que o tratamento B é mais eficiente que o tratamento A. Para α = 0,01 rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra

23 b) Variâncias populacionais diferentes (σ1 ≠ σ2)
Exemplo: Queremos comparar dois medicamentos. 13 pacientes receberam o medicamento 1 e mediu-se o tempo até a cura (em dias). 12 pacientes receberam o medicamento 2 e mediu-se o tempo até a cura (em dias).

24 Vamos testar as hipóteses
Ho: µ1 = µ2 Ho: µ1 - µ2 = 0 (a eficiência dos dois tratamentos é a mesma) Ha: µ1 < µ2 Ha: µ1 - µ2 < 0 (tratamento 1 é mais eficiente que tratamento 2) Como a variância populacional é desconhecida nosso teste será baseado na distribuição t com v graus de liberdade.

25 Nossa estatística de teste é

26 Para 5% de significância, o valor critico da tabela t com 15 graus de
liberdade é -1,753. Como t=-0,25 não é menor que -1,753, não rejeitamos Ho. Ou seja, a amostra fornece evidencia de que a eficiência dos dois tratamentos é a mesma. valor-p = P(t < -0,25) = P(t > 0,25) = 1- P(t < 0,25) =1-0,6=0,4 Para α = 0,05 não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra fornece evidencia de que a eficiência dos dois tratamentos é a mesma. Para α = 0,01 não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a amostra

27 Testes Paramétricos para comparação de duas médias
Amostras Dependentes Teste t pareado gl = n-1 Variâncias populacionais conhecidas Teste Z Amostras Independentes Teste t gl = n1+ n2-2 Iguais Variâncias populacionais desconhecidas Diferentes Teste t gl = v Testes paramétricos aplicáveis se as duas populações seguem distribuição Normal. Caso as duas amostras sejam grandes (n>=30), testes paramétricos são validos mesmo se a distribuição não é Normal.

28 Teste F para comparação de duas variâncias
Ho: σ21 = σ Ha: σ21 ≠ σ22 A estatística de teste é

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30

31 Regiao de rejeicao de Ho
Rejeitamos Ho se a estatistica F for menor que valor critico 1(f1) ou maior que valor critico 2 (f2). Os dois valores criticos (f1 e f2) sao positivos e podem ser obtidos na tabela F (n1-1 graus de liberdade no numerador e n2-1 graus de liberdade no denominador). f1 < f2 A area abaixo de f1 é igual a α/2 e a área acima de f2 é igual a α/2.

32 Teste de Normalidade Ho: a amostra vem de uma população com distribuição Normal Ha: a amostra não vem de uma população com distribuição Normal valor-p < alfa: rejeito a hipótese nula ao nivel alfa de significancia, ou seja, a amostra não vem de uma população com distribuição Normal. valor-p > alfa: não rejeito a hipótese nula ao nivel alfa de significancia, ou seja, a amostra vem de uma população com distribuição Normal.

33 Teste Z para duas proporções
Suponha agora que estamos interessados em comparar duas populações com às suas proporções. Queremos realizar um teste de hipóteses onde a hipótese nula é Ho: p1 = p2 e a hipótese a aternativa é Ha: p1 ≠ p2 ou Ha: p1 > p2 ou Ha: p1 < p2

34 A estatitsica de teste é
O teste Z para proporcoes pode ser usado se n1 > 30 e n2>30.