31 de Março de 2005Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções1 Trajectória de Projéctil –Gráficos e Funções Pedro Barahona DI/FCT/UNL Março 2005.

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1 31 de Março de 2005Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções1 Trajectória de Projéctil –Gráficos e Funções Pedro Barahona DI/FCT/UNL Março 2005

2 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 2 Trajectória de Projéctil - Bases Físicas A trajectória de um projéctil é uma generalização da queda de corpos em que se têm de considerar 2 dimensões para o movimento vertical (y) e horizontal (x) e não apenas vertical. Todas as grandezas de interesse para o movimento, posição, velocidade e aceleração, devem pois ser definidas nestas duas dimensões. Por exemplo, a velocidade, pode ser decomposta nos suas duas componentes (regra do paralelograo) vyvy vxvx v θ v 2 = v x 2 + v y 2 ; θ = atan(v y /v x ) v x = v cos θ ; v y = v sin θ

3 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 3 Trajectória de Projéctil - Bases Físicas Na horizontal, só existe uma causa de aceleração, provocada pelo atrito, que consideramos proporcional, e oposta, à velocidade a x = - k a v x Na vertical, há que considerar a aceleração da gravidade para além da provocada pelo atrito. Temos pois, a y = - k a v y - g Condições iniciais Tipicamente, estamos interessados em determinar a trajectória de um projéctil quando a este é lançado com uma determinada velocidade inicial v 0 num ângulo θ 0

4 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 4 Modelação de Equações Diferenciais Baseado na aproximação de funções por séries de Taylor, vamos simular, df, a variação da função f ao longo de um intervalo de tempo dt, através de A velocidade do corpo (v) e a posição são assim obtidas nas suas duas dimensões, x e y, já que a aceleração é a velocidade são, respectivamente, as suas derivadas em ordem ao tempo df = dt df dt dv x = dt = a x · dt dv x dt dv y = dt = a y · dt dv y dt dx = dt = v x · dt dx dt dy = dt = v y · dt dy dt

5 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 5 Estrutura do Algoritmo Estamos agora em condições de especificar o algoritmo para simulação da trajectória de um projéctil, que como habitualmente pode ser decomposto em 3 componentes 1. Inicialização de Variáveis 2. Ciclo de Simulação da Queda 3. Apresentação de Resultados Algoritmo de Trajectória de Projéctil Entrada Velocidade Inicial Ângulo Inicial Coeficiente deAtrito Intervalo de Tempo Resultados Gráfico da posição

6 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 6 Gráficos Em Octave a forma mais simples de desenhar um gráfico da função f(x) é utilizar a função pre-definida plot(X,F) sendo X e F vectores da mesma dimensão, e em que o i-ésimo elemento do vector F corresponde ao valor da função no ponto x indicado pelo i-ésimo elemento do vector X.

7 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 7 Vectores e Matrizes Todas as linguagens de programação de alto nível permitem a especificação de vectores (arrays) para agrupar dados do mesmo tipo. Em geral, os dados destas estruturas estão organizados em uma ou mais dimensões, sendo as matrizes um caso particular de vectores bidimensionais (2 dimensões). Em Octave apenas se podem utilizar, como primitivas, vectores e matrizes numéricos (vectores de outras dimensões, e respectivas operações têm de ser tratados pelo utilizador, que tem de criar as respectivas operações de acesso e manipulação). Por exemplo, A = [ 1, 2, 3]B = [1 2 3 ; 4 5 6].

8 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 8 Vectores e Matrizes As linguagens compiladas requerem em geral que as matrizes sejam declaradas (como o tamanho das várias dimensões) antes de utilizadas. Tal não é estritamente necessário em Octave (!) que vai alocando espaço de memória à medida que novos elementos são introduzidos. Notar no entanto que: Esta flexibilidade tem como custo a maior lentidão de execução. Em execuções sucesivas do mesmo programa, pode-se dar o caso do vector manter uma dimensão (anterior), maior do que a pretendida na execução corrente.

9 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 9 Vectores e Matrizes Desta forma, é conveniente inicializar os vectores utilizados num programa, sempre que se conheçam as suas dimensões e tamanho de cada dimensão. Em Octave, a inicialização pode ser feita através das operações de construção de vectores e matrizes, indicadas através de parênteses rectos (como indicado atrás) Em Octave, podem-se ainda inicializar vectores através das instruções eye, zeros ou ones (que inicializam matrizes diagonais, ou preenchidas com zeros e uns, respectivamente. Alguns exemplos: A = eye(2) B = zeros(3,1) C = ones (2,3) 111 111 0 0 0 10 01

10 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 10 Vectores e Matrizes Um elemento de uma matriz é referido, indicando-se a ordem desse elemento em cada dimensão. A notação é diferente nas várias linguagens. Em Octave a referência faz-se com parênteses curvos. Por exemplo: x = A(2,1) % = 4 O Octave permite endereçar sub-vectores directamente, utilizando o operador : como identificador de todos os elementos de uma dimensão. Por exemplo L1 = A(1,:) ou C2 = A(:,2) 123 456 2 5 123 2ª linha, 1ª coluna todas as colunas da 1ª linha todas as linhas da 2ª coluna

11 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 11 Vectores e Matrizes : Ciclos Para efeito de endereçamento é vulgar utilizar índices (i, j, k,...) que indicam a posição nas respectivas dimensões. Variando estes índices pode variar-se o elemento do vector que é referido. É muito frequente pretender-se num programa varrer todos os elementos de um vector, isto é, percorrê-los por ordem crescente do(s) seu(s) índice(s). i 1; enquanto i imax fazer A(i)......... i i + 1; fim enquanto; No caso de vectores unidimensionais, tal pode ser feito num único ciclo enquanto

12 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 12 Ciclos Para Para evitar a necessidade de inicializar um índice e de ir procedendo ao seu incremento dentro do ciclo enquanto, todas as linguagens de programação prevêem um ciclo para que elimina essa necessidade. i 1; enquanto i imax fazer A(i)......... i i + 1; fim enquanto; para i de 1 a imax fazer A(i)......... fim para; Notas: 1.É necessário conhecer imax, o tamanho máximo da dimensão i. 2.Assume-se que o primeiro elemento tem índice 1 (obrigatório em OCTAVE)

13 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 13 1. Inicialização de variáveis Pretendendo-se determinar a trajectória através das sucessivas posições (x,y) do projéctil, usamos vectores X e Y para guardar essas posições (em vez de manter apenas as últimas posições). Usaremos e inicializaremos assim as seguintes variáveis entra v0% velocidade inicial entra alfa% ângulo inicial entra k% coeficiente de atrito entra dt% passo da simulação t 0% instante de tempo corrente X zeros(1);% coordenada x da posição Y zeros(1); % coordenada y da posição vx v0·cos(alfa*pi/180); vy v0·sin(alfa*pi/180); % coordenadas x e y da velocidade ax -ka · vx;% coordenada x da aceleração ay -ka · vy - g;% coordenada x da eceleração

14 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 14 2/3. Ciclo de Simulação e Resultado Os valores da posição, velocidade e aceleração vão sendo calculados nas sucessivas iterações do ciclo de simulação. Uma vez obtidas as sucessivas posições do projéctil para os vários instantes no tempo (X(i),Y(i)), a apresentação da trajectória pode ser feita através da instrução plot(X,Y) i 1; enquanto Y(i) >= 0 ou i =< 1 fazer i i + 1; t t + dt ; X(i) X(i-1) + vx · dt; Y(i) Y(i-1) + vy·dt; vx vx + ax·dt; vy vy + ax·dt; ax -ka · vx; ay -ka · vy - g; fim enquanto;

15 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 15 Trajectória Óptima de Projéctil Uma vez estudada a forma de cálculo de uma trajectória (com ou sem gráfico), coloca-se muitas vezes a questão de saber qual a melhor de entre elas. Naturalmente a noção de melhor tem de ser precisada (maior alcance, maior velocidade no solo, passagem por um ponto, etc.). Podemos começar por determinar qual a trajectória com maior alcance. Trajectória Óptima de Projéctil Entrada Velocidade Inicial Coeficiente de Atrito Resultados Alcance Máximo

16 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 16 Trajectória Óptima de Projéctil A forma mais simples de determinar a melhor trajectória, é testar as várias possíveis e escolher a melhor. Sendo necessário calcular várias trajectórias, é conveniente abstrair todo o cálculo da trajectória numa função, cujos detalhes de implementação podem ser estudados posteriormente. Esta forma de proceder, tem muitas vantagens, já que permitem –Estruturar um programa nos seus componentes básicos –Reutilizar esses componentes básicos noutros programas Vamos pois considerar uma função, alcance, que corresponde ao alcance de um projéctil lançado inicialmente com velocidade v i e ângulo de disparo, alfa, num meio com coeficiente de atrito, k a alcance(v i, alfa, k a )

17 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 17 Programas e Funções A utilização desta função torna o programa trivial: % inicialização de variáveis entra vi; entra Ka; dist 0; % ciclo de geração e teste para alfa de 0 a 90 fazer x alcance(vi,alfa,ka); % x evita 2 se x > dist então % chamadas de dist x; % alcance! fim se; fim para; % apresentação de resultados sai dist se alcance(vi,alfa,ka) > dist então dist alcance(vi,alfa,ka)

18 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 18 Especificação da Função A função que foi abstraída, alcance, deverá determinar, com base na situação inicial (velocidade e ângulo inicial do projéctil), e para um determinado coeficiente de atrito, a distância percorrida, pelo projéctil. Existe pois uma correspondência óbvia entre funções e programas A maior diferença está na sua interface com o exterior (entradas e saídas) Algoritmo de Trajectória de Projéctil Entrada Velocidade Inicial Ângulo Inicial Coeficiente deAtrito Resultados Distância percorrida

19 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 19 Tipos de Dados da Função Alcance Os valores iniciais de v i, alfa e k a são dados como parâmetros de entrada da função (dt pode ser fixado). A partir de v i e alfa, são calculados os valores iniciais das velocidades, v x e v y. Como posição inicial arbitra-se o ponto (0,0). Se se pretenderem gráficos para a posição (em coordenadas x, y) é conveniente manter as posições por onde passa o projéctil num conjunto de vectores T, X, Y. Os valores das velocidades e das acelerações ao longo do tempo, não se pretendendo calcular os seus gráficos podem ser representados por variáveis v x e v y, a x e a y que representam os valores correntes destas grandezas.

20 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 20 1. Inicialização de Variáveis função alcance(vi, alfa, ka) % vi, alfa e ka são dados de entrada % alcance é o valor final dt 0.01; % Intervalo de tempo g 9.8; % Aceleração da Gravidade % inicializar vectores T,X,Y; T(1) 0; X(1) 0; % valores iniciais de T, X e Y Y(1) 0; vx vi*cos(alfa); % valores correntes de vx e vy vy vi*sin(alfa); % inicializados com vi ax -ka · vx ; % valores correntes de ax e ay ay -ka · vy - g; % inicializados com vs iniciais

21 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 21 3. Apresentação de Resultados O resultado que se pretende apresentar é o alcance do projéctil. Como a função está definida com o nome alcance, deverá ser atribuído a uma variável com esse nome o valor final de x, que representa o alcance do projéctil. alcance X(i) Na realidade, não existe nenhuma variável com esse nome (a variável existe no programa que chama a função). A atribuição acima é apenas a forma de apresentar o resultado.

22 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 22 Algoritmo Completo – Programa Principal % Inicialização de Variáveis entra vi; entra Ka; dist 0; % Ciclo de Geração e Teste para alfa de 0 a 90 fazer x alcance (vi,alfa,ka); se x > dist então dist x; fim se; fim para; % Apresentação de Resultados sai dist

23 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 23 Algoritmo Completo – Função Alcance função alcance(vi, alfa, ka) dt 0.01; g 9.8; T(1) 0; X(1) 0; Y(1) 0; vx v*cos(alfa); vx v*sin(alfa); ax 0 ; ay -g; i 1; enquanto Y(i) >= 0 fazer i i + 1; T(i) T(i-1) + dt ; X(i) X(i-1) + vx· dt; Y(i) Y(i-1) + vy·dt; vx vx + ax·dt; vy vx + ax·dt; ax -ka · vx; ay -ka · vy - g; fim enquanto; alcance X(i); fim função;

24 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 24 Programa Octave Em Octave, o programa e a função são muito semelhantes aos apresentados em pseudo-código. No entanto eles devem ser escritos em dois ficheiros m (m files) distintos, que devem residir na mesma directoria (a menos que se utilizem instruções de alteração da directoria corrente). O nome do ficheiro onde uma função é definida deve ter o nome dessa função. Por exemplo, a função alcance deverá ser definida num ficheiro com o nome alcance.m. De notar que a função pode ser invocada a partir de qualquer ficheiro e mesmo do terminal.

25 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 25 Programa Octave vi = input("Qual a velocidade inicial (em m/s) ? "); ka = input(" e o coeficiente de atrito (1/s) ? "); dist = 0; for alfa = 0:90 x = alcance(vi,alfa,ka); if x > dist dist = x; end; disp(" O alcance máximo (em metros) é de "), disp(dist) O programa principal, maior_alcance, guardado no ficheiro maior_alcance.m chama a função alcance.

26 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 26 Função Octave function a = alcance(vi, alfa, ka) dt = 0.01; g = 9.8 ; i = 1; T = eye(1); X = eye(1); Y = eye(1); T(1) = 0; X(1) = 0; Y(1) = 0; vx = vi*cos(alfa*pi/180) ; vy = vi*sin(alfa*pi/180); ax = - ka * vx ; ay = -g - ka * vy; while Y(i) >= 0 i = i + 1 ; T(i) = T(i-1) + dt; X(i) = X(i-1) + vx * dt; Y(i) = Y(i-1) + vy * dt; vx = vx + ax * dt ; vy = vy + ay * dt; ax = 0 - ka * vx ; ay = -g - ka * vy; endwhile; a = X(i); endfunction; A função alcance é guardada no ficheiro alcance.m, que começa com a declaração de função.

27 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 27 Programa Octave O programa pode ser testado com vários valores para os diferentes parâmetros. Por exemplo Nenhum atrito v i = 30; k a = 0.0 Pouco atrito v i = 30; k a = 0.2 Muito atrito v i = 30; k a = 2.0 De notar que embora se saiba o alcance máximo, o programa apresentado não nos indica para que ângulo de disparo ele é atingido. Para esse efeito basta reformular um pouco o programa, para nos devolver esse ângulo.

28 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 28 Programa Octave vi = input("Qual a velocidade inicial (em m/s) ? "); ka = input(" e o coeficiente de atrito (1/s) ? "); dist = 0; angulo = 0; for alfa = 0:90 x = alcance(vi,alfa,ka); if x > dist dist = x; angulo = alfa; end; disp(" O alcance máximo (em metros) é de "), disp(dist) disp(" com um disparo num ângulo (graus) de "), disp(angulo)

29 31 de Março de 2005 Trajectória de um Projéctil - Gráficos e Funções 29 Programa Octave No entanto, existem várias características da trajectória que ficaram abstraídas na computação da função e que não são acessíveis ao utilizador, tais como: –A altura atingida pelo projéctil –O tempo que demora a atingir essa altura –O tempo total da trajectória –A velocidade com que o projéctil atingiu o solo –A aceleração com que o projéctil atingiu o solo, –... Para obter essas características há que reformular um pouco a função e permitir que ela devolva mais do que um valor.