Eletricidade A - ENG04474 AULA VIII.

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1 Eletricidade A - ENG04474 AULA VIII

2 Circuitos Capacitivos
Capacitor é um bipolo onde a carga armazenada, q, é uma função instantânea da tensão. Capacitor Linear - q=Cv C é denominado capacitância e sua unidade é Farad (F) A passagem de corrente de um terminal a outro do capacitor corresponde a uma variação de carga Não existe corrente atravessando o dielétrico.

3 Circuitos Capacitivos
Num Capacitor Linear, a função f(i,v)=0 é dada por: (convenção passiva) Carregando um Capacitor com Fonte de Corrente + v(t) - C + Vc - C1 1uF I1 100mA Se o capacitor estiver descarregado em t=0 então vc(0)=0 t vc 1ms 100 V

4 Circuitos RC I1 ic ir Carregando um Capacitor com Fonte de Tensão ic +
Vc - V1 10V R1 1k C1 1uF I1 ic ic ir Como VR1 =Vc então ir é igual a Vc/R1 Equação Diferencial t vc vc (0) V1 Reg. Perm Reg. Trans. Se V1(t) for constante igual a V1 para t>0 e em t=0 Vc=vc(0) então: Resposta para t= (Regime Permanente) Possui Mesma Natureza da Fonte Resposta Transitória ou Natural Depende da estrutura do circuito

5 Circuitos RC Descarregando um Capacitor ic + Vc - Equação Diferencial
1k C1 1uF ic V1(t>t0)=0 Equação Diferencial t vc vc (t0) Reg. Perm Reg. Trans. t0 Se V1(t) = 0 constante para t>t0 e em t=t0 Vc=vc(t0) então: Resposta para t= (Regime Permanente) Possui Mesma Natureza da Fonte Resposta Transitória ou Natural Depende da estrutura do circuito

6 Circuitos RC Carregando e Descarregando um Capacitor em um Circuito RC

7 Circuitos Capacitivos
Potência no Capacitor O Capacitor Armazena Energia Elétrica No instante de tempo “t” o capacitor que encontra-se carregado com “V” volts armazena “w” Joules: Varia ao longo do tempo Em um momento pode ser positiva e em outro negativa + v(t) - C Potência Instantânea A energia armazenada no capacitor também pode variar ao longo do tempo

8 Circuitos Indutivos Indutor é um bipolo onde o fluxo magnético concatenado, , é uma função instantânea da corrente. Indutor Linear - =Li L é denominado indutância e sua unidade é Henry (H).

9 Circuitos Indutivos i(t) + Carregando um Indutor com Fonte de Tensão
Num Indutor Linear, a função f(i,v)=0 é dada por: (convenção passiva) Carregando um Indutor com Fonte de Tensão + v(t) - iL Se o indutor estiver descarregado em t=0 então iL(0)=0 t iL 1ms 100 A

10 Circuitos RL Carregando um Indutor com Fonte de Corrente iL iL + vR -
vL - Como iR1 =iL então vR é igual a iL.R1 iL Equação Diferencial I1 Reg. Trans. Reg. Perm Se I1(t) for constante igual a I1 para t>0 e em t=0 iL= iL(0) então: iL (0) t Resposta para t= (Regime Permanente) Possui Mesma Natureza da Fonte Resposta Transitória ou Natural Depende da estrutura do circuito

11 Circuitos RL Descarregando um Indutor - iL vL + Equação Diferencial iL
I1(t>t0)=0 Equação Diferencial t iL iL(t0) Reg. Perm Reg. Trans. t0 Se I1(t) = 0 constante para t>t0 e em t=t0 iL= iL(t0) então: Resposta para t= (Regime Permanente) Possui Mesma Natureza da Fonte Resposta Transitória ou Natural Depende da estrutura do circuito

12 Circuitos Indutivos i(t) + v(t) - Potência no Indutor
O Indutor Armazena Energia Elétrica No instante de tempo “t” o indutor que encontra-se carregado com “I” ampères armazena “w” Joules: Varia ao longo do tempo Em um momento pode ser positiva e em outro negativa Potência Instantânea A energia armazenada no indutor também pode variar ao longo do tempo

13 Bipolos Equivalentes - Associação de Capacitores
Em Série Em paralelo i + v - + v1 - + v2 - + vn - i + v - i + v - i1 i2 in i + v -

14 Bipolos Equivalentes - Associação de Indutores
Em Série Em Paralelo i + v - + v1 - + v2 - + vn - i + v - i + v - i1 i2 in i + v -

15 Equacionando Circuitos RLC
Sempre chegaremos a uma Equação diferencial São utilizados os mesmos métodos empregados para equacionar os circuitos resistivos Aplicação sistemática das Leis de Kirchhoff Técnicas de Redução de Circuitos Associações Série e Paralelo Transformações e Explosões de Fontes Teoremas de Thevenin e Norton Princípio da Superposição Método das Correntes de Malha Método das Tensões de Nó Com a adição de dispositivos com relações VxI que envolvem integral e derivada (capacitores e indutores) Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha): Resolvendo... dI R I + L – V1= 0 dt I

16 Equacionando Circuitos RLC
Exemplo (RL) Usando o Método das Correntes de Malha Algorítmico I(t) ( R + ??? ) = V1 I(t) Operador derivada “D” L d() dt L I(t) d() dt = L dI(t) dt dI(t) I(t)R + L = V1 dt A notação na forma de operadores será útil em circuitos maiores quando for necessário resolver sistemas de equações

17 Equacionando Circuitos RLC
dt ó õ () dt Propriedades dos Operadores Derivada e Integral Produto de uma função do tempo (fontes) com o operador ou vice versa Produto de uma constante com o operador ou vice versa Produto entre os operadores df(t) Df(t) f(t) ó õ f(t) = ó õ dt f(t)D ó õ = = = f(t) dt K d() dt d() dt ó ó õ () dt = K K () dt = K õ = d() dt d2() dt2 =D2 ó õ () dt = ó2 D = D = 1  = ó õ 1 D

18 Equacionando Circuitos RLC
Exemplo (RL) (Método das tensões de Nó) A i1 i3 i2 Multiplicando ambos os lados por D Se V1 for independente do tempo

19 Equacionando Circuitos RLC
Exemplo (RC) (Método das Tensões de Nó) A B i(t) Também se poderia ter simplificado o circuito a esquerda do capacitor, eliminando o Nó A, obtendo-se um sistema de 1 equação de Nó

20 Equacionando Circuitos RLC
Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha) i(t) i1(t) i2(t) i3(t) Também se poderia ter simplificado o circuito a esquerda do indutor, eliminando a malha 1. obtendo-se assim um sistema de 1 equação de malha i(t) = i2(t)

21 Equacionando Circuitos RLC
Exemplo (RLC) (Método das Correntes de Malha) i1(t) Derivando ambos os lados em relação ao tempo (multiplicar ambos os lados por D) Re-arranjando e dividindo tudo por L Equação diferencial de 2ª ordem Se V1 for independente do tempo

22 Equacionando Circuitos RLC
Possíveis soluções para uma Equação Diferencial de 2ª Ordem Homogênea i(t) Superamortecida a2>w02 Þ s1 e s2 reais negativos A1 e A2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0) t i(t) Subamortecida a2<w02 Þ s1 e s2 complexos conjugados B1 e B2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0) t i(t) Criticamente amortecida a=w0 Þ s1 = s2 = - a reais iguais D1 e D2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0) t