A pirâmide e suas formas

Apresentação em tema: "A pirâmide e suas formas"— Transcrição da apresentação:

1 A pirâmide e suas formas
Prof. Jorge

2 Definição Observe a animação. V
 O conjunto de todos esses segmentos com extremos no ponto V e um dos pontos do polígono é um poliedro chamado pirâmide. Prof. Jorge

3 Elementos principais do prisma
V A B C D E F A pirâmide tem dois tipos de faces A base (polígono ABCDEF). faces laterais (triângulos). Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral. Prof. Jorge

4 Elementos principais do prisma
V A B C D E F A pirâmide tem dois tipos de arestas arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF e FA). arestas laterais (VA, VB, VC, VD, VE e VF ). Prof. Jorge

5 Elementos principais do prisma
V A B C D E F h  A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide. Prof. Jorge

6 Classificação Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base. Polígono da base Pirâmide triângulo P. triangular quadrado P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal Prof. Jorge

7 Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal Prof. Jorge

8 Pirâmide regular Pirâmide regular é aquela em que
A base é um polígono regular; A projeção do vértice sobre o plano da base é o centro dessa base. As arestas laterais são congruentes. Como conseqüência as faces laterais são triângulos isósceles, congruentes entre si. Prof. Jorge

9 Pirâmides regulares V V h h O O ⇒ ⇒ Prof. Jorge
A base da pirâmide é um quadrado A base da pirâmide é um hexágono regular ⇒ ⇒ Pirâmide quadrangular regular Pirâmide hexagonal regular Prof. Jorge

10 VM é o apótema (p) da pirâmide
Apótema da pirâmide V A B C D VM é o apótema (p) da pirâmide p ⇒ M BM = MC Prof. Jorge

11 Segmentos notáveis na pirâmide regular
B A M O a h m r p b VO = h, altura; VA = a, aresta lateral; AB = b, aresta da base; Prof. Jorge

12 Segmentos notáveis na pirâmide regular
OM = m, apótema da base; OA = r, raio da base; VM = p, apótema pirâmide; h p a B m O M b r A Prof. Jorge

13 A pirâmide e o teorema de Pitágoras
Prof. Jorge

14 A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V p2 = h2 + m2 h p B O m M A Prof. Jorge

15 A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V a2 = h2 + r2 h a O r A Prof. Jorge

16 A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V a2 = p2 + (b/2)2 p a B M b/2 A Prof. Jorge

17 Exemplos Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm. Calcular o raio da base, a aresta da base, a altura e o apótema da pirâmide. V M O A Prof. Jorge

18 Exemplos Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e a área da base 144 cm2. Achar sua área lateral. V B A M a p b Prof. Jorge

19 Volume da pirâmide Prof. Jorge

20 Volume da pirâmide A figura a seguir mostra um prisma e uma pirâmide regulares de mesma base e mesma altura. Qual dos dois tem maior volume? Qual a relação entre os dois volumes? Pode-se provar que a razão entre os dois volumes é exatamente igual a 3. Prof. Jorge

21 Volume da pirâmide Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma. AB.h V = 3 1 Prof. Jorge

22 Exemplo Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 2, e a área lateral é o dobro da área da base. Obter a área total e o volume da pirâmide. V h p B m M b A Prof. Jorge

23 Tronco de pirâmide Prof. Jorge

24 Tronco de Pirâmide R h’ C’ h R C’ h’ C’ h – h’ Prof. Jorge D’ A’ B’ D

25 Razão de semelhança - Comprimentos
B’ C’ D’ h’ h D C Razão de semelhança A B = RA’ RA A’B’ AB =... = h’ h = k Prof. Jorge

26 Razão de semelhança - Áreas
B’ C’ D’ h’ h D C A B = A’B AB A’L AL A’T AT = k2 Prof. Jorge

27 Razão de semelhança - Volumes
B’ C’ D’ h’ h D C A B = k3 V’ V Prof. Jorge

28 Exemplos A superfície de um recipiente tem forma de pirâmide regular de altura x, conforme figura. Colocam-se, dentro dele, 100 mL de água. Com isso, ela atinge o nível x/3. Achar a capacidade do recipiente. x x/3 Prof. Jorge

29 Exemplos Num tronco de pirâmide quadrangular regular, a altura mede 6 m. Suas bases têm 16 m2 e 64 m2 de área. Calcular o volume desse tronco. V h 16 m2 h + 6 6 64 m2 Prof. Jorge