Funções exponenciais Prof. Jorge.

Apresentação em tema: "Funções exponenciais Prof. Jorge."— Transcrição da apresentação:

1 Funções exponenciais Prof. Jorge

2 As aparências enganam Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática, fez a Mateus uma proposta estranha: ou melhor, as potências Durante 10 dias, a partir de hoje, vou lhe dar reais por dia. Em compensação, você me dará 10 reais hoje e, a cada dia até o último dia, o triplo do dia anterior. Prof. Jorge

3 A operação potenciação
Se a, b e x são números reais, define-se a operação potenciação, expressa pela igualdade: a é a base ax = b x é o expoente b é a potência De acordo com o tipo de expoente, a potenciação apresenta restrições quanto ao valor da base. Prof. Jorge

4 A operação potenciação
Potência de expoente natural Se a é real e n é natural, definimos: a0 = 1 (a ≠ 0) a1 = a an = a.a.a a (n ≥ 2) n fatores Prof. Jorge

5 Exemplos 60 = 1 (√5)1 = √5 (–2)5 = (–2).(–2).(–2).(–2).(–2) = –32
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6 A operação potenciação
Potência de expoente inteiro negativo Se a e n são números reais, com a ≠ 0, define-se: 1 n 1 a–n = = a an Prof. Jorge

7 Exemplos 1 1 5–1 = = 51 5 –8 -1 –3 1 –3 = = . 3 8 8 Prof. Jorge

8 A operação potenciação
Potência de expoente inteiro fracionário racional Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0, define-se: a = m n √am Prof. Jorge

9 Exemplos √4 √25 √16 41/2 = = 2 251/2 = = 5 161/3 = 3 = 2√2 3 .
41/2 = √4 = 2 251/2 = √25 = 5 161/3 = √16 3 = 2√2 3 . Prof. Jorge

10 Propriedades da potenciação
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11 Propriedades operatórias
ax . ay = ax+y (a.b)x = ax.bx ax = ax–y a x ax ay = b bx (ax)y = ax.y Prof. Jorge

12 Exemplos 40,3. 40,2 = 40,3+0,2 = 40,5 = 41/2 = √4 = 2 32x (3x)2
40,3. 40,2 = 40,3+0,2 = 40,5 = 41/2 = √4 = 2 32x (3x)2 32x – 1 = = 31 3 33.32 33.32 . = = – 1/2 = 39/2 √3 31/2 x x 2x.32x 2x.(32)x 2x.9x 2.9 18 . = = = = 5x 5x 5x 5 5 Prof. Jorge

13 Crescimento e decrescimento exponencial
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14 Crescimento exponencial
Vamos imaginar o seguinte experimento. A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC, aumenta em 30% a cada minuto. Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3). Prof. Jorge

15 Crescimento exponencial
Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento. Temperatura inicial: T0 = 10 1 minuto: T1 = 10.(1,3)1 = 10.(1,3) = 13 2 minutos: T2 = 10.(1,3)2 = 10.(1,69) = 16,9 3 minutos: T3 = 10.(1,3)3 = 10.(2,2) = 22 4 minutos: T4 = 10.(1,3)4 = 10.(2,86) = 28,6 6 minutos: T6 = 10.(1,3)6 = 10.(4,83) = 48,3 t minutos: T = 10.(1,3)t Prof. Jorge

16 Crescimento exponencial
Veja o gráfico de T em função do tempo t. T(oC) t(min) T(oC) 10 1 13 2 16,9 3 22 4 28,6 6 48,3 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 t(min) Prof. Jorge

17 Decrescimento exponencial
Vamos supor agora a seguinte situação. A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC, diminui em 20% a cada minuto. Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8). Prof. Jorge

18 Decrescimento exponencial
Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento. Temperatura inicial: T0 = 70 1 minuto: T1 = 70.(0,8)1 = 70.(0,8) = 56 2 minutos: T2 = 70.(0,8)2 = 70.(0,64) = 44,8 3 minutos: T3 = 70.(0,8)3 = 70.(0,512) = 35,8 4 minutos: T4 = 70.(0,8)4 = 70.(0,41) = 28,7 6 minutos: T6 = 70.(0,8)6 = 70.(0,262) = 18,3 t minutos: T = 70.(0,8)t Prof. Jorge

19 Decrescimento exponencial
Veja o gráfico de T em função do tempo t. T(oC) t(min) T(oC) 70 1 56 2 44,8 3 35,8 4 28,7 6 18,3 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 t(min) Prof. Jorge

20 Funções exponenciais Funções como a que acabamos de analisar são chamadas de funções exponenciais. Nos dois casos a variável t é expoente de uma potência de base constante. T = 10.(1,3)t base (1,3) ⇒ Crescente. T = 70.(0,8)t base (0,8) ⇒ Decrescente. Prof. Jorge

21 Funções exponenciais elementares
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22 Funções exponenciais De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a ≠ 1), chamamos de função exponencial elementar de base a a função definida por: y = f(x) = ax Prof. Jorge

23 Exemplos y = 5x → base 5 y = (0,3)x → base 0,3 x 1 y = 2–x ou y =
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24 Exemplos Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = 2x. y x y = 2x 4 –2 –1 1 2 1 2 1 2 4 –2 –1 1 2 x D = R e Im = R+* → função é crescente Prof. Jorge

25 Exemplos Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = (1/2)x. y x y = (1/2)x 4 –2 4 –1 2 2 1 1 1 2 –2 –1 1 2 x D = R e Im = R+* → função é decrescente Prof. Jorge

26 Funções exponenciais - Resumo
Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função exponencial elementar y = ax (a > 0 e a ≠ 1): O domínio é os Reais; O conjunto imagem é os Reais positivos; Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1. Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1. Prof. Jorge

27 Propriedades da função exponencial elementar
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28 Propriedades operatórias
A função exponencial y = ax (a > 0 e a ≠ 1), é injetora. Isso significa que potências de mesma base só são iguais se os expoentes forem iguais. x y –1 1 2 4 –2 y = 2x am = an ⇔ m = n Prof. Jorge

29 Exemplos 5x = 53 ⇔ x = 3 3x – 1 = 32 ⇔ x – 1 = 2 ⇒ x = 3 Prof. Jorge

30 Propriedades operatórias
Os gráficos de todas as função exponenciais têm apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa que potências de bases diferentes só são iguais apenas se o expoente comum é 0. y y = 2–x y = 4x y = 2x am = bm ⇔ m = 0 1 x Prof. Jorge

31 Exemplos 3x = 7x ⇔ x = 0 2x + 1 = 5x + 1 ⇔ x + 1 = 0 ⇒ x = –1
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32 Propriedades operatórias
A função exponencial y = ax é crescente em todo o seu domínio, se a > 1. y y = 2x Quanto maior o expoente x maior é a potência ax. 4 2 am > an ⇔ m > n 1 Mesmo sentido –2 –1 1 2 x Prof. Jorge

33 Propriedades operatórias
A função exponencial y = ax é decrescente em todo o seu domínio, se 0 < a < 1. y = 2–x y Quanto maior o expoente x menor é a potência ax. 4 2 am > an ⇔ m < n 1 Sentidos contrários –2 –1 1 2 x Prof. Jorge

34 Exemplos 32 < 35 ⇔ 2 < 5 (0,7)3 < (0,7)–2 ⇔ 3 > –2
⇔ 2 < 5 base > 1, sinal mantido (0,7)3 < (0,7)–2 ⇔ 3 > –2 0 < a < 1, sinal invertido 2x > 2–3 ⇒ x > –3 a > 1, sinal mantido Prof. Jorge

35 Equações e inequções exponenciais
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36 Equacões exponenciais
Chama-se equação exponencial toda equação cuja incognita aparece no expoente. A resolução de uma equação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. am = an ⇔ m = n P1 am = bm ⇔ m = 0 P2 Prof. Jorge

37 Exemplos Resolver as equações exponenciais. a) 3x = 27 3x = 27
b) 52x – 1 = 125 52x – 1 = 125 ⇒ 52x – 1 = 53 ⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 Prof. Jorge

38 Exemplos Resolver as equações exponenciais. 22x.2x+7 c) = 1 23 – x
⇒ 22x + x + 7 – (3 – x) = 20 23 – x ⇒ 24x + 4 = 20 ⇒ 4x + 4 = 0 ⇒ 4x = –4 ⇒ x = –1 Prof. Jorge

39 Exemplos Resolver as equações exponenciais. d) ⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3
9 d) = 3 4 x + 1 2 x + 1 –2 2 3 2 2 = ⇒ = 3 2 3 3 ⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3 Prof. Jorge

40 Exemplos Resolver as equações exponenciais. e)
2x + 1 – 2x + 3.2x – 2 = 14 Vamos isolar em toda equação a potência 2x. 2x.21 – 2x + 3.2x.2–2 = 14 Fazendo 2x = y. y 2y – y + 3. = 14 ⇒ 8y – 4y + 3y = 56 4 ⇒ 7y = 56 ⇒ y = 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3 Prof. Jorge

41 Exemplos Resolver as equações exponenciais. f) 9x + 3x + 1 = 4
Vamos isolar em toda equação a potência 3x. (32)x + 3x.3 = 4 ⇒ (3x)2 + 3x.3 = 4 Fazendo 3x = y. ⇒ y2 + 3y – 4 = 0 ⇒ y’ = –4 e y” = 1 ⇒ 3x = –4 (impossível) ⇒ 3x = 1 ⇒ 3x = 30 ⇒ x = 0 Prof. Jorge

42 Inequacões exponenciais
Chama-se inequação exponencial toda inequação cuja incognita aparece no expoente. A resolução de uma inequação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. am > an ⇔ m > n P3 ⇒ para a > 1 Mesmo sentido am > an ⇔ m < n P4 ⇒ para 0 < a < 1 Sentidos contrários Prof. Jorge

43 Exemplos Resolver as inequações exponenciais. a) 53x – 1 > 25x + 2
base > 1, mantém-se o sentido ⇒ 3x – 2x > 4 – 1 ⇒ x > 3 Prof. Jorge

44 Exemplos Resolver as inequações exponenciais.
b) (0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 2 (0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 3 ⇒ 2x – 1 ≥ x + 3 base < 1, inverte-se o sentido ⇒ 2x – x ≥ 3 + 1 ⇒ x ≥ 4 Prof. Jorge

45 Exemplos Resolver as inequações exponenciais. c)
9x – 3x + 1 – 3x + 3 ≤ 0 Vamos isolar em toda equação a potência 3x. (32)x – 3x.31 – 3x + 3 ≤ 0 Fazendo 3x = y. ⇒ (3x)2 – 3x.3 – 3x + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 3y – y + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 4y + 3 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ y ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 3x ≤ 3 ⇒ 30 ≤ 3x ≤ 31 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1 Prof. Jorge

46 Calculando juros compostos ou capitalizados
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47 Exemplos Cláudia tomou um empréstimo de R$ 1 000,00, pagando juros a uma taxa de 5% a.m. Mas no final de cada mês sua dívida é acrescida dos juros relativos o mês. Qual será o montante M da dívida após t meses? 100% + 5% = 105% (1 + i) = 1,05 1º mês: M1 = ,05 2º mês: M2 = M1.1,05 = (1,05)2 3º mês: M3 = M2.1,05 = (1,05)3 4º mês: M4 = M3.1,05 = (1,05)4 t meses: M = (1,05)t Prof. Jorge

48 Calculando juros compostos
Para um capital inicial C e uma taxa mensal i, o fator de aumento é (1 + i). O montante M, após t meses, no sistema de juros compostos é calculado pela fórmula: M = C.(1 + i)t Nessa fórmula, é importante que a taxa i e o tempo t estejam expressos na mesma unidade de tempo. Prof. Jorge

49 Exemplos Um agiota emprestou R$ 6 000,00 a Paulo, a uma taxa fixa de 5% ao mês. Qual foi o rendimento do agiota, após 4 meses? C = 6 000 Dados: i = 5 % a.m = 0,05 t = 4 meses M = C.(1 + i)t = (1 + 0,05)4 M = ,2155 ⇒ M = 7 293 M = C + j ⇒ = j ⇒ j = 1 293,00 Prof. Jorge

50 Exemplos Marcos tomou um empréstimo de R$ 2 000,00 em um banco, a juros compostos, com taxa de 2% ao mês. De quanto tempo foi o empréstimo, se ele pagou R$ 438,00 de juros? 1,026 ≈ 1,126 1,027 ≈ 1,148 1,028 ≈ 1,171 1,029 ≈ 1,195 1,0210 ≈ 1,219 C = 2 000 Dados: i = 2 % a.m = 0,02 M = = 2 438 M = C.(1 + i)t ⇒ = (1,02)t ⇒ 1,02t = 1,219 ⇒ t = 10 ⇒ t = 10 meses Prof. Jorge

51 Crescimento e decrescimento exponencial
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52 Crescimento e decrescimento exponencial
Há muitas situações práticas em que uma variável cresce ou decresce, segundo taxas percentuais fixas, na unidade de tempo. Nesses casos, usamos raciocínio semelhante ao dos juros compostos. Suponhamos que uma variável V, de valor inicial V0, seja função do tempo t. Se V cresce segundo uma taxa fixa i, temos: V = V0 . (1 + i)t Se V decresce segundo uma taxa fixa i, temos: V = V0 . (1 – i)t Prof. Jorge

53 Exemplos O valor atual de um lote é de R$ ,00. Estima-se que, nos próximos anos, ele valorize 8% ao ano. Quanto ele valerá daqui a 6 anos? V = V0 .(1 + i)t = (1,08)6 ⇒ V = ,59 ⇒ V = ⇒ O lote valerá R$ ,00 Prof. Jorge

54 Exemplos O valor atual de uma máquina é de R$ 2 500,00, e ela se desvaloriza segundo uma taxa anual fixa. Obter essa taxa, sabendo-se que, daqui a 2 anos, a máquina valerá R$ ,00. V = V0 .(1 – i)t = (1 – i)t Para t = 2, V = ⇒ = (1 – i)2 ⇒ (1 – i)2 = 0,81 ⇒ (1 – i)2 = √0,81 ⇒ 1 – i = 0,9 ⇒ i = 0,1 ⇒ i = 10 % a.a. Prof. Jorge

55 Veja os cálculos Prof. Jorge 1º dia (hoje): V1 = 10 2º dia:
= 10.(3) = 30 3º dia: V3 = 10.(3)2 = 10.(9) = 90 4º dia: V4 = 10.(3)3 = 10.(27) = 270 5º dia: V5 = 10.(3)4 = 10.(81) = 810 6º dia: V6 = 10.(3)5 = 10.(243) = 2 430 7º dia: V7 = 10.(3)6 = 10.(729) = 7 290 8º dia: V8 = 10.(3)7 = 10.(2 187) = 9º dia: V9 = 10.(3)8 = 10.(6 561) = 10º dia: V10 = 10.(3)9 = 10.(19 683) = Total = Prof. Jorge