2- Derivada- A Linguagem do Movimento

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1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento
Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso

2 Derivada, a linguagem do movimento
Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas. A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções. Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.

3 Derivada, a linguagem do movimento
LEI DA QUEDA DOS CORPOS Derivada, a linguagem do movimento A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas. Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?... Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles. Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716) Newton (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727)

4 Derivada, a linguagem do movimento
Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram as portas ao espectacular desenvolvimento científico e tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática. () O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter desfeito o coração de Leibniz”.

5 Derivada, a linguagem do movimento
Introdução Se uma função é representada graficamente por uma reta (função afim) facilmente sabemos com que velocidade varia essa função. Corresponde, é claro, ao declive da reta representativa da função. x y O f(b) f(b) - f(a)  f(a) y x tmv = tg = taxa média de variação b - a a b

6 Derivada, a linguagem do movimento
E...  se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função? Derivada, a linguagem do movimento O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas… x O y f(b) y x tmv = f(b) - f(a) f(a) b - a a b

7 Aplicação da Derivada na Geometria Analítica

8 ZOOM IN E… quando tomamos o limite. O Vamos, então, estudar Derivadas!
x-x0 x0 f(x) x f(x0) f(x) - f(x0) O y  ZOOM IN O Mas, vamos perceber melhor tudo isto com o estudo que vamos fazer a seguir. E também isto! Vamos, então, estudar Derivadas!

9 Exemplos Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2, no ponto de abscissa 1/2. y(ºC) x0 = 1 2 y y x(h) 1/4 x 

10 Exemplos Exemplo 2 – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa 1. y f(1) = 2 x0 = 1 x

11 Outros Exemplos Exemplo 3 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2. Então temos que: A partir de x0 = 1h, a variável x aumentou de 2 unidades (horas) e passou para x = 3h. x = x – x0 = 3 – 1 = 2 A temperatura y = f(x) também sofre variação: passou de f(1) = 1ºC para f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades (ºC). y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8 A razão y/x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e 3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em média. y(ºC) x0=1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x

12 Temperatura de uma sala
Noção Intuitiva Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h. y(ºC) x0=1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x x f(x) x y y/ x 1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5 1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2 1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1 1h1seg 1,000277 1,00055 0,000277 0,00055 2,000360 À medida que x se aproxima de zero, y/x se aproxima de 2.

13 Temperatura de uma sala
Noção Intuitiva Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h. y(ºC) x0=1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x x f(x) x y y/ x 1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5 1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2 1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1 1h1seg 1, 1,000555 0, 0,000555 2,

14 Temperatura de uma sala
y(ºC) x0=1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x O limite da razão y/x, quando x  0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC. (aproximadamente, pois se trata de limites)

15 Temperatura de uma sala
y(ºC) x0=1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x a) Se x  x0, então x  0. b) Se x = x - x0, então x = x + x0 c) f(x) = f(x + x0)

16 Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto x0 = 3, ou seja, f’(3).
Temos: x0 = 3; f(x0) = f(3) = 2.32 = 18

17 Exemplo 5 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2).
Temos: x0 = 2; f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8

18 Exemplo 6 – Determinar a derivada da função f(x) = x no ponto x0 = 0, ou seja, f’(0).
Temos: x0 = 0; f(x0) = f(0) = 0 = 0 Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada no ponto x0 = 0.

19 a) Determine a derivada no ponto x0 = 100 motores.
Exemplo 7 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por: C(x) = x (em reais). a) Determine a derivada no ponto x0 = 100 motores. b) Interprete o resultado obtido. a) f(x0) = f(100) = 100 = 3700 b) O resultado f’(x0) = 11, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal, a partir de 100 motores.

20 Exemplo 8 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais.
Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato. O que significa isso? Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.

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