Sinais e Sistemas – Capítulo 3

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1 Sinais e Sistemas – Capítulo 3
Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin Aula 12

2 Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Seja x(t) uma função periódica com período fundamental T. Então, é uma aproximação por FS, onde Supondo que podemos encontrar os coeficientes A[k], tal que , então Aula 12

3 Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Logo, Observe que a integral do lado direito é igual a zero, exceto quando k = m, de modo que Aula 12

4 Representação por Série de Fourier
Podemos escrever a FS como Dizemos que x(t) e X[k] são um par de FS Aula 12

5 Representação por Série de Fourier
Exemplo: Determine a representação por FS para o sinal Solução: O período fundamental de x(t) é T=4. Consequentemente Procuramos expressar x(t) como Aula 12

6 Representação por Série de Fourier
A última expressão está na forma de FS. Logo, comparando com , temos que Aula 12

7 Representação por Série de Fourier
Aula 12

8 Representação por Série de Fourier
Exemplo: Determine a representação por FS da onda quadrada mostrada na figura Solução: O período é T, de forma que ω0=2π/T. Neste caso, é conveniente usar a forma de integral de FS, isto é Aula 12

9 Representação por Série de Fourier
Substituindo ω0=2π/T Aula 12

10 Representação por Série de Fourier
Para k=0, temos Aula 12

11 Representação por Série de Fourier
Para -50≤k≤50 e Ts/T=1/4, temos Para -50≤k≤50 e Ts/T=1/16, temos Aula 12

12 Representação por Série de Fourier
A forma funcional ocorre com tanta frequência na análise de Fourier, que damos a ela um nome especial Dessa forma, os coeficientes da FS obtidos no último exemplo podem ser expresso usando a função sinc Aula 12

13 Representação por Série de Fourier
O máximo da função sinc é a unidade em u=0. Os cruzamentos por zero ocorre nos valores inteiros de u. O módulo decresce com 1/u A parte da função sinc entre os cruzamentos por zero para u=±1 é conhecida como lóbulo principal As ondas menores são conhecidas como lóbulos laterais Aula 12

14 Representação por Série de Fourier
Cada termo da FS , para X[k] não nulo, contribui para a representação do sinal. Para ilustrar isso, consideraremos a onda quadrada o exemplo anterior. Vamos explorar a simetria par de X[k] para escrever a FS como uma soma de cossenos harmonicamente relacionados. Logo, como X[k]=X[-k], então Aula 12

15 Representação por Série de Fourier
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16 Representação por Série de Fourier
Se definirmos B[0]=X[0] e B[k]=2X[k], k≠0, então Exemplo: Definimos a aproximação por soma parcial para a representação da FS da onda quadrada, isto é Suponha que T=1 e Ts/T=1/4. Neste caso, Aula 12

17 Representação por Série de Fourier
Descreva um período do J-ésimo termo nesta soma e para J=1,3,7, 29 e 99. Solução: Aula 12

18 Representação por Série de Fourier
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19 Representação por Série de Fourier
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