Lógica e Especificação

Apresentação em tema: "Lógica e Especificação"— Transcrição da apresentação:

1 Lógica e Especificação
Edward Hermann Haeusler Departamento de Informática TECMF PUC/RJ

2 Qual a relação entre a Lógica e a Computação ?
- O que é a (Teoria da) Computação ? Tentativa de conceituação do Computável - O que é Lógica ? Tentativa de conceituação do Razoável

3 Computável Tudo aquilo que pode ser realizado
por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento = ?

4 Razoável Todo evento que é passível de uma
explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis.

5 Computável = Razoável ? - Computável É Razoável ? - Razoável É Computável ?

6 Como Definir tais Conceitos ?
Através de Linguagens para : Expressar Procecimentos Expressar Argumentos

7 Principais Componentes de uma Linguagem
- Sintaxe : Como se escreve ? - Semântica : O que significa ? - Pragmática : Como se usa ?

8 Em uma L.P. - Como é um programa ? - Como se executa ou, O que um programa faz ? - Como se constroem programas visando a solução de problemas ?

9 Semântica

10 Linguagem e Metalinguagem
- Precisa-se de uma linguagem para descrever outra linguagem. À linguagem descritora chamamos de metalinguagem enquanto à descrita chamamos de linguagem objeto. -

11 Paradoxos 1. Eu sou Mentiroso. O menor denominador comum entre 1/2 e 2/3 é 6. - 1/2 = 2/4 Então o menor denominador comum entre 2/4 e 2/ 3 é 6.

12 Princípio da Funcionalidade de Frege
A Semântica de uma expressão deve ser uma função da semântica das suas sub- expressões. Objetos sintáticos são naturalmente Hierárquicos (estruturados).

13 Semânticas Extensional X Intensional
1. Planeta Vênus. 2. Estrela Vespertina. 3. Segundo Planeta do Sistema Solar. - Em uma sem. extensional 1,2 e 3 têm o mesmo significado. - Em uma sem. intensional 1, 2 e 3 têm diferentes significados. A forma é levada (sintaxe ?) em conta.

14 Princípio da Funcionalidade e intensionalidade.
1. Necessariamente a estrela matutina é a estrela matutina. 2. Necessariamente a estrela matutina é a estrela vespertina. Linguagem natural necessita de semântica intensional. Þ

15 Expressões aritméticas :
Sintaxe Semântica Ext. V( (1 + 2) * 5) * ½½ Þ + V( ) * V( 5 ) 5 ½½ 1 2 V( 1 ) + V( 2 ) * 5 ½½ (1 + 2) * 5 ( ) * 5 = 15

16 A Linguagem da Lógica A Lógica tem, tradicionalmente, por objetivo a definição do que seja uma argumentação correta. Argumentação = Sequência de sentenças onde distingue-se premissas e conclusão Sentença = Expressão linguística enunciadora de um pensamento completo.

17 Exemplos de Sentenças. 1. Salvador é a capital da Bahia. 2. (2 + 3) = 5. 3. Qual o melhor time de futebol do Brasil ? 4. Compile o Programa ! O tipo de sentença de interesse em uma argumentação é a sentença declarativa.

18 Exemplos de Argumentos
Todo homem é mortal. FHC é homem. FHC é mortal. Todo homem é animal Todo gato é animal Todo gato é homem

19 Nenhuma caixa tem mais de 156 bombas
Há exatamente 136 caixas de bombas em um depósito. Cada caixa contém pelo menos 140 bombas. Nenhuma caixa tem mais de 156 bombas Lula é o presidente do Brasil Brasília é a capital do Brasil A lua é um satélite da Terra

20 Lula é o presidente do Brasil
Lula é humano e presidente do Brasil Lula é o presidente do Brasil Lula é humano ou presidente do Brasil

21 Alguns paulistas são latinos
Alguns paulistas são latinos. Alguns brasileiros são latinos Alguns brasileiros são paulistas Tudo que é raro é caro. Uma casa boa e barata é rara. Uma casa boa e barata é cara. Todo triângulo tem somente 3 lados Todo quadrado é triângulo. Todo quadrado tem somente 3 lados.

22 Argumentos e Solucao de Problemas
Tenho 3 esferas visualmente identicas. Entretanto duas tem o mesmo peso, enquanto uma terceira tem peso diferente. Utilizando somente uma balanca de equilibrio, sem pesos marcados, como posso descobrir a esfera diferente e saber se e’ mais pesada ou mais leve ???  Prove que uma das 3 esferas e’ mais pesada ou mais leve

23 Especificacao, Prova e Solucao de Problemas
Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro, não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não ‘e Ana, ‘e mais velha que Carla e a sobrenome Castro e’ a mais velha das 3. Qual a melhor ordem ? - Resolver, Especificar, Provar - Resolver, Provar, Especificar - Especificar, Resolver, Provar - Provar, Especificar, Resolver - Especificar, Provar, Resolver - Provar, Resolver, Especificar

24 Em Lógica Matemática Prova Regras de Inferência (Argumentação)
formada por Premissas conclusão Regras de Inferência são formada por Sentenças (Argumento) ? conectivos/ Átomos quantificadores Sentenças Compostas

25 Þ Formalização da linguagem.
Como representar os elementos da linguagem lógica tendo por princípio a universalidade ? Þ Formalização da linguagem. Somente conectivos/quantificadores podem possuir significado a priori. Átomos são representados por Letras sentenciais (log. Sentencial). Þ Fórmulas (combinações de átomos via conectivos) representam sentenças em geral.

26 Da praxis matemática tiramos :
Conectivos Da praxis matemática tiramos : · Ù = Conjunção ( "e" lógico) · Ú = Disjunção ( "ou" lógico) ® = Implicação ( "se ____ então____") ~ = Negação ( "não lógico ") O significado de cada conectivo pode ser determinado pelas regras que ditam seu uso (Semântica Operacional) O significado de cada conectivo pode ser determinado pelas condições de verdade estabelecidas por ele (Semântica tradicional ou Tarskiana)

27 Fórmulas · Toda letra sentencial é uma fórmula · Se a e b são fórmulas, então também são fórmulas : - a Ù b - a Ú b - a ® b - ~ a Obs : Parenteses são usados para auxiliar à análise sintática.

28 Semântica p/ Lógica Clássica
Extensional com Valores de "Verdade". · Atribuição arbitrária de valores para as letras sentenciais. · Fórmulas têm seus valores determinados pela interpretacão e pelas funções semân- ticas associadas a cada conectivo. (Interpretação)

29 Funções na forma de Tabela.
Ù Ú V F V F V V F V V V F F F F V F V F F  ~ V F V V F F V F V V

30 V F  V F V V F V V F F V V F F V

31 Atribuição de Valores à fórmulas
Interpretação : I : Letras -® {V,F} Dada uma interpretação I pode-se definir a denotação associada V: × V(I, L) = I ( L) se L é letra sentencial. · V( I, a Ù b ) = V(I, a) Ù V( I, b) · V(I, a ® b ) = V(I, a) ® V(I, b) · V(I, a ® ^ ) = V(I, a) ® F = ~ V(I, a)

32 órmula a é dita satisfatível, sse, existe uma
Def. Uma f interpretação que a torna verdadeira, i.e. Existe I , tal que V(I, a) = V Def. Um conjunto de f órmulas é satisfatível, sse, todas as suas fórmulas são satisfatíveis (para a mesma interpretação. Def. Diz-se que uma fórmula é válida, sse, ela é verdadeira sob toda interpretação.

33 O conceito de conectivo principal.
Þ É aquele conectivo que aparece em primeiro plano em uma análise sintá- tica. Exemplos: (A Ù B) Ú (C ® D) ~ (A ® B) (A Ù B) Ù C

34 Def. Uma fórmula a é dita ser consequência lógica de um conjunto G de fórmulas (G a), sse : Toda interpretação que "torna" todas as fórmulas de G verdadeiras “torna” a verdadeira. Ex: - { ~~ A} A - {A, A ® B} B - {A Ú B, A ® C, B ® C} C - {A ® B} ~B ® ~A Def.  é equivalente a  sse   e  

35 Completude funcional da lógica clássica
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e ?? - Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) por meio dos conectivos acima ?? - Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) com um conectivo só (novo certamente) ??

36 Sistemas Dedutivos e Argumentação Formal
Def1. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite a construção de argumentos formais Def2. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite estabelecer conclusões a partir de hipóteses. Def3. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) que permite “chegar” a conclusões (sentenças) a partir de hipóteses (sentenças). Def4. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) onde os axiomas são fórmulas válidas e as regras preservam a verdade.

37 Universalidade da noção de correto
O conceito de argumento correto deve ser baseado na forma do mesmo e não em seu significado particular, ou Um argumento é correto quando é invariante sob substituição, i.e., o que importa é o rela- cionamento entre premissas e conclusão e não estas propriamente ditas.

38 Os sistemas a la Frege/Hilbert
Esquemas de Axiomas: (K) A(B A) (S) A (B C)  (A B) (A C) (Cla)  A A Regra: A AB (Modus Ponens) B

39 Exemplos de Deduções A ((A  A)  A)
A ((A  A)  A) ( (A(AA))  (AA)) A(AA) (A(AA))  (AA) AA B (B  A) B (B  A) A  B (B  A) A  B (B  A)

40 Discussão: 1- O método da “tabela verdade” é um sistema dedutivo ?? 2- O que dizer do sistema dedutivo somente com a regra de modus ponens e como axiomas todas as fórmulas válidas (tautologias) 3- Como comparar sistemas dedutivos ?? 4- O que a prova de um teorema deve nos dizer ?? 5- O que prova de teoremas tem a ver com computação e programação ??

41 Programa do Curso 1. Linguagem Clássica de Primeira Ordem. Lógica Intuicionista Algebras de Processo Logicas Temporais