Introdução Prof. Antonio Carlos Coelho

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1 Introdução Prof. Antonio Carlos Coelho
Programação Linear Introdução Prof. Antonio Carlos Coelho

2 Por Que Modelos de Programação Matemática
Constatação básica: Recursos limitados e escassos exemplos: tempo, dinheiro, recursos naturais, capacidade instalada Necessidades ilimitadas e crescentes princípios de eficiência e eficácia Objetivo do modelo: Possibilitar aos agentes econômicos decidir sobre o melhor uso dos recursos limitados Proporcionar a otimização da alocação de recursos escassos de modo a maximizar lucros e minimizar custos Determinação de mix de produtos; Problemas de sistemas de produção; Logística e Rotas de entrega; Planejamento Financeiro.

3 Alocação de recursos com restrição única
Uma indústria automobilística fabrica 2 modelos de veículos com as seguintes características: Preço de venda $ $ Custo variável $ $ Modelo 4 portas Modelo 2 portas MC unitária $ $ Cada porta possui uma maçaneta, que é igual para todas as portas. Num determinado mês, há uma restrição de maçanetas. Quanto devo produzir de cada modelo para maximizar a Margem de Contribuição para a empresa no período? Discutir conceitos de margem unitária, total e relativa. Qual usar?

4 Alocação de recursos com restrição única
Princípio geral: fabricar o produto que proporciona maior MC por fator limitativo: 4 portas: $ /4 maçanetas = $ / maçaneta 2 portas: $ /2 maçanetas = $ / maçaneta

5 Alocação de recursos com restrição única
Solução: produzir modelo de 2 portas 4.000 veículos (8.000 maçanetas / 2 portas) MC total: 4.000u X $ = $ Se produzir modelo de 4 portas 2.000 veículos (8.000 maçanetas / 4 portas) MC total: 2.000u X $ = $

6 E quando há mais restrições?
Aplicam-se modelos de Programação: Linear Linear Inteira Multiobjetiva (goal programming) Não Linear Outros modelos: Simulação Análise da Decisão Modelos Prescritivos = Programação Matemática (Linear, Inteira, etc.); Modelos Preditivos = Regressão Linear; Modelos Descritivos = Simulação; Teoria dos Jogos.

7 Programação Linear É uma técnica matemática que auxilia na determinação da melhor utilização dos recursos limitados de uma organização em problemas com relações lineares

8 Programação Linear APLICAÇÕES USUAIS Planejamento Operacional
Determinar o mix de produtos que maximiza o lucro da empresa Determinar logística e rotas que minimizam o custo de transporte Planejamento Financeiro: Determinar a alocação de recursos em carteiras de investimento que maximizem o retorno e/ou minimizem o risco

9 Desenvolvendo o Modelo
Características Envolve uma decisão a ser tomada Existem restrições a serem consideradas nas alternativas de decisão Existe uma meta ou objetivo a ser maximizado ou minimizado Função Objetivo; Variáveis sobre as quais se vai tomar a decisão; Restrições existentes.

10 Desenvolvendo o Modelo
Análise e Compreensão do problema Montagem do Modelo identificação das variáveis de decisão definição das restrições formulação da função objetivo Solução do Modelo variável de decisão: quanto produzir? qual rota? qual a alocação de recursos? restrição: parâmetro exógeno: limitação de fornecimento de uma matéria prima; demanda existente; disponibilidade de caixa. função objetivo: lucro; risco; retorno; custo; tempo; variáveis físicas.

11 Expressando Matematicamente
A decisão é representada pelas variáveis de decisão X1, X2, ... , Xn O objetivo é representado por uma função-objetivo do tipo MAX (MIN) V = f (X1, X2, ... , Xn) Pode chamar de Z, Y, etc.

12 Expressando Matematicamente
As restrições são representadas pelo parâmetro b, expressas de 3 maneiras possíveis: menor ou igual f (X1, X2, ... , Xn)  b maior ou igual f (X1, X2, ... , Xn)  b igual f (X1, X2, ... , Xn) = b Destacar: lado esquerdo da equação: São as relações operacionais e factuais. lado direito da equação: É a informação máxima ou mínima da restrição.

13 Fórmula Geral MAX (MIN) V = c1X1 + c2X2 + ... + cnXn Sujeito a:
a11X1 + a12X a1nXn  b1 ak1X1 + ak2X aknXn  bk am1X1 + am2X amnXn = bm . . Onde: c1, c2, ... , cn = margem de contribuição; medida de custo; taxa de retorno, etc. aij = quantidade do fator de restrição consumido em cada unidade produzida ou disponível para utilizar, etc. bi = valor máximo ou mínimo do recurso escasso c = coeficiente da função objetivo; b = parâmetro de restrição; a = coeficiente da equação de restrição. Observação para a = consumido, quando com custo; com alocação de recurso é disponibilidade.

14 Solução Computacional
Resolvendo o Modelo Solução Gráfica Solução Matricial Método Simplex Solução Computacional O método matricial é uma solução algébrica: Matriz (ver texto SHAMBLIN) é uma forma de condensar os dados.

15 Exemplo Variáveis de decisão Restrições Dois tipos de banheira
Margens diferentes de Contribuição Restrições Disponibilidade de Mão de Obra Disponibilidade de Canos Disponibilidade de Bombas

16 Exemplo Função Objetivo MAX: 350x1 + 300x2 Sujeito a:
Fatores de Produção → Limitação Bombas x x2  Horas de Mão de Obra 9x x2  Canos (metros) x1 + 16x2  Margem de contribuição unitária: 350 para tipo 1 e 300 para tipo 2; Bombas: Uma para cada tipo; HMO: 9 para o tipo 1 e 6 para o tipo 2; Canos: 12 metros para o tipo 1 e 16 para o tipo 2. Limitação: 200 unidades; 1566 horas; 2880 metros.

17 Exemplo Função Objetivo MAX: 350x1 + 300x2 Sujeito a: 1x1 + 1x2  200
Introdução das restrições negativas. Óbvias, mas necessárias no modelo computacional. Variáveis de decisão maiores ou iguais a zero pois não se produzirão menos banheiras que zero.l

18 Solução Gráfica x2 x1 Restrição de trabalho Restrição de bombas
Restrição de tubos Restrição de trabalho Restrição de bombas Função Objetivo Solução ótima Pg. 25 – Ragsdale. Traça as linhas igualando uma das variáveis igual a zero, depois a outra. Fica: MO-174,261; bombas-200,200; canos-180,240. Função objetivo: Simula valores: Com 40000, por exemplo. Resolve fazendo uma variável = 0. São as CURVAS DE NÍVEL, paralelas.

19 Solução Gráfica Como determinar a solução ótima?
A partir da visualização do encontro das curvas de nível com as retas de restrição A partir da comparação dos diversos pontos extremos, para escolher o maior (menor) valor A – Busca a mais alta, se for para maximizar. Ou a mais baixa, para minimizar. B – Solução algébrica ou matricial. Neste caso, será X1 = 122 e X2 = 78. Pois a curva de nível encontra o ponto das restrições de bombas e mão de obra. x1+x2=200 (linha das bombas) 9x1+6x2=1566. Logo x2=200-x1. E, 9x1+(6-x1)=1566.

20 Sumário da Solução Gráfica
Desenhe a reta de cada restrição no gráfico Identifique a área de soluções factíveis, isto é, a área do gráfico que simultaneamente satisfaz a todas as restrições Encontre a solução ótima por um dos métodos a seguir descritos

21 Métodos Gráficos Desenhe uma ou mais curvas de nível da função objetivo e determine a direção na qual curvas paralelas resultam em aumentos no valor da função objetivo Desenhe curvas paralelas na direção do crescimento até que a curva toque a área de soluções em um único ponto Encontre às coordenadas deste ponto Identifique as coordenadas de todos os pontos extremos da área de soluções factíveis e calcule os respectivos valores da função objetivo. O ponto com o maior valor da função-objetivo é a solução ótima 2 métodos. Serão melhor especificados com maximóveis./

22 Solução Matricial A resolução de um problema de programação linear consiste em resolver sistemas algébricos lineares e calcular o valor da função-objetivo Escolher dentre os diversos resultados obtidos para a função-objetivo, aquele que fornece o maior (menor) valor Vide Fórmula Geral. Exemplo Maximóveis.

23 Método Simplex Baseia-se nas variáveis de FOLGA
Base para os relatórios de Sensibilidade do software SOLVER Sistema com n variáveis e m equações Seleciona m variáveis (BÁSICAS) As demais assumem valor = 0 (NÃO BÁSICAS) Calcula Função Objetivo para cada rodada Escolhe a de maior valor Ver o exemplo MAXIMÒVEIS com outro método e formulação.

24 Solução Computacional
Para Problemas mais Complexos Solução via Excel Ferramenta Solver Há outros softwares com o Solver e há outras ferramentas de programação matemática. O Solver apresenta diversos métodos para solucionar questões matemáticas. Multiplicador de Lagrange, Simplex, etc.

25 Condições Especiais Alternância de Soluções Ótimas
Restrições Redundantes Soluções Ilimitadas Soluções de Impossibilidade As duas primeiras não impossibilitam o modelo As duas últimas impossibilitam o uso do modelo

26 Condições Especiais Alternância de Soluções Ótimas:
Ocorre quando há mais de um ponto que maximiza (ou minimiza) o valor da função objetivo A existência de mais de uma solução possível não inviabiliza o uso da ferramenta Programação Linear Restrições Redundantes: Ocorre quando uma restrição não faz diferença na determinação da área de soluções factíveis 1. Dar exemplo com margem de contribuição de x1 igual a 450. 2. Dar exemplo com disponibilidade de bombas aumentando para 250 (pois o ponto ótimo é na fronteira de MO e canos.

27 Soluções Ilimitadas Exemplo:
Ocorre quando são encontradas soluções nas quais a função objetivo é infinitamente grande (maximização) ou infinitamente pequena (minimização) Exemplo: MAX: x x2 Sujeito a: x x2  400 - x x2  400 x  0 x2  0 Desenhar o gráfico que está no slide seguinte.

28 Soluções Ilimitadas x2 x1

29 Solução Impossível Exemplo: x1 + 2x2  200 x1  0 x2  0 MAX: x1 + x2
Sujeito a: x x2  150 x x2  200 x  x2  As restrições têm sinal diferente. Fazer o gráfico. Fica um buraco.