Otimização Numérica de Processos

Apresentação em tema: "Otimização Numérica de Processos"— Transcrição da apresentação:

1 Otimização Numérica de Processos
Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Unidade Acadêmica de Engenharia Química Programa de Pós-Graduação Otimização Numérica de Processos Problemas Multidimensionais com Restrição – Programação Linear

2 De volta ao Problema Simples
Como obter o maior lucro?

3 Generalidades Um dos métodos mais utilizados em otimização
Uma ciência relativamente nova (1947) George Dantzig Função objetivo e restrições: lineares

4 Introdução Cada reta tracejada representa uma curva de nível
x2 Cada reta tracejada representa uma curva de nível As retas são paralelas A 1a derivada de f nunca será zero Não existe máximo (ou mínimo) finito Direção do aumento de f f=3 f=2 f=1 x1

5 Continuando com a Introdução
x2 f=3 f=2 Com as restrições, a região viável fica limitada O extremo sempre ocorrerá na intersecção das restrições É a base da Programação Linear f=1 x1

6 Composição em massa (%) Produção maxima bb/dia
Refinaria de Petróleo Composição em massa (%) Produção maxima bb/dia Óleo 1 Óleo 2 Gasolina 80 44 24000 Querosene 5 10 2000 Combustível 36 6000 Resíduo Custo de Processo ($/bbl) 0.50 1

7 Formulando o Problema Definição das variáveis

8 Continuando com a Formulação
Definiçao da função objetivo Maximizar lucro Despesa inclui a matéria-prima e custo com operação

9 Finalizando a Formulação
Restrições Balanço de massa (rendimento) De mercado

10 Manipulações Algébricas
Função objetivo: substituição das igualdades dentro da função objetivo inicial Restrições: idem

11 Solução Gráfica Plotar as restrições no plano x1-x2
Determinar a região possível Localizar o ponto onde a função é máxima Dentro da região possível Em uma das intersecções das restrições

12 Determinando a Intersecção
Determinar cada ponto de intersecção Calcular o valor de f em cada intersecção

13 No Mathcad

14 Solução Degenerada I Não existe solução única
Restrição 2 e f são linearmente dependentes

15 Solução Degenerada II Ótimo sem restrição
x1 não impede a diminuição de f

16 Solução Degenerada III
Ausência de região possível

17 Método Simplex Antes, a solução gráfica
O ótimo ocorre na intersecção das restrições 2 e 3

18 Passos 1 e 2 do Simplex Converter o lado direito das restrições em números positivos Converter todas as desigualdades das restrições em igualdades Variáveis de folga: x3, x4 e x5

19 Passo 3 do Simplex Temos agora n (5) variáveis e m (3) equações
NF=n-m=2; O sistema não tem solução única Solução básica (possível) Fixar o valor de n-m variáveis (igual a zero); resolver Variável não básica (x1 e x2): igual a zero Variável básica (x3, x4 e x5): diferente de zero

20 Passo 4 do Simplex A solução básica inicial não corresponde ao mínimo; necessário mudar a solução básica Examinando f (lembrar que é uma minimização) O aumento de x1 provoca diminuição (maior coeficiente positivo) O aumento de x2 provoca o aumento Nova variável básica: x1 Nova variável não básica: x3, x4 ou x5 Restrição 1: x1 pode aumentar indefinidamente Restrição 2: x1 pode aumentar até 2 Restrição 3: x1 pode aumentar até 4 Nova variável não básica: x4 Dica de como detectar a restrição com a nova variável não básica?

21 Passo 5 do Simplex Novas equações, em função das novas variáveis não básicas (x2 e x4) A partir da restrição 2, explicitar x1 e substituir nas outras equações Observe que o valor de f diminuiu para -2 Continuar …

22 Eliminação e Simplex Usar eliminação (Gaussiana) no lugar da substituição algébrica Gauss: aumentar a matriz Três 1as linhas: restrições Última linha: função objetivo Como escolher o pivô? Coluna: maior positivo de f Linha: menor quociente positivo Pivô

23 Eliminando … Transformar a coluna do pivô em [ ]T: operação com matriz Novo pivô: a32 Nova variável básica: x2 Nova variável não básica: x5

24 Finalizando a Eliminação
Os coeficientes em f são negativos: processo terminado

25 Finalizando PL Problema na forma padrão Solução básica impossível
x é o vetor das variáveis c é o vetor de coeficientes de f A é a matriz de coeficientes das restrições Solução básica impossível x1=x2=0 X3=-5 (impossível) Procedimento das duas fases

26 Exercícios Mathcad Matlab (função linprogr)
Problema 7.3 do livro do Himmelblau. Usar o Mathcad Problema 7.17 do livro do Himmelblau. Problema 7.23 do livro do Himmelblau. Usar o Matlab.