Geometria fractal, distribuição de partículas,

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1 Geometria fractal, distribuição de partículas,
distribuição de poros e condutividade hidráulica em solos Conceituação básica de geometria fractal Aplicação do conceito na análise das relações entre textura, porosidade e condutividade hidráulica de solos

2 Bibliografia recomendada:
ARYA, L.M., J.F. PARIS A physicoempirical model to predict the soil moisture characteristic from particle-size distribution and bulk density data. Soil Sci. Soc. Am. J. 45: BACCHI, O.O.S.; REICHARDT, K Geometria fractal em física do solo Sci. Agric., Piracicaba, 50(2): , jun/set. BACCHI, O.O.S.; REICHARDT, K., VILLA NOVA, N.A Fractal scaling of particle and pore size distributions and its relation to soil hydraulic conductivity. Sci. Agric., Piracicaba, 53(2/3): MANDELBROT, B.B. The fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Co., New York, 1982 Barnsley,M.F.; Devaney, R.L; Mandelbrot, B.B., Peitgen, H.O., Saupe, D., Voss, R.F. The Science of Fractal Images. Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe Ed., Springer-Verlag, New York, 1988. PERFECT, E.; KAY, B.D Applications of fractals in soil and tillage research: a review. Soil & Tillage Research 36:1-20. PUCKETT, W.E.; DANE, J.H.; HAJEK, B.F Physical and Mineralogical Data to Determine Soil Hydraulic Properties. Soil Sci. Soc. Am. J. 49(4) TURCOTTE, D.L Fractals and fragmentation. Journal of Geophysics Research, p.91, n.b2, p TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT Application of fractal mathematics to soil water retention estimation. Soil Science Society of America Journal, v.3, p TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT Fractal Processes in soil water retention. Water Resources Research, v.26, n.5, p TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT Fractal Scaling of Soil Particle-Size Distributions: Analysis and Limitations, Soil Science Society of America Journal, v.56, p

3 Objeto topológica e objeto fractal
O termo fractal é definido em Mandelbrot,1982, e vem do adjetivo em latin fractus, cujo verbo frangere significa quebrar, criar fragmentos irregulares. Etimologicamente, o termo fractal é o oposto do termo algebra ( do árabe jabara) que significa juntar, ligar as partes. Objeto topológica e objeto fractal Segundo Mandelbrot, fractais são objetos não topológicos, ou seja, objetos para os quais a dimensão de Hausdorff Besicovitch é um número real não inteiro que excede o valor da dimensão topológica. Objeto topológico = formas geométricas Euclideanas Ponto = 0 Linha = 1 Superfície = 2 Volume = 3 Dimensões topológicas inteiras Objeto fractal = formas geométricas não Euclideanas Dimensões fracionárias maiores que as das formas geométricas Euclideanas A dimensão fractal está relacionada à rapidez com que a medida estimada do objeto aumenta enquanto a escala de medida diminui.

4 Auto-similaridade ou escalonamento:
Cada parte de um objeto fractal é geometricamente semelhante ao todo A geometria do objeto é semelhante para qualquer escala de observação do objeto a) Lo=1 ; No=1 r1 =Lo/3 b) L1=4/3Lo ; N=4 r2=Lo/9 c) L2=16/9Lo ; N=16 d) Próximo estágio r3=Lo/27 L3 = 64/27Lo ; N=64 N. r D =1 .. 26 , 1 27 log 64 9 16 3 4 (1/r) N D =

5 Generalização da relação
N.rD=1 1) Objetos unidimensionais L=1 N=1 N=2 N=3 r=1/2 r=1/3 L=1 N.r1=1 Formas geométricas Euclideanas, ou de dimensões topológicas inteiras são casos particulares

6 2) Objetos bidimensionais
r(linear) =1/2 r(área) =1/4 N=4 A=1/4 r(linear) =1/4 r(área) =1/16 N=16 A=1/16 N.r2=1

7 3) Objetos tridimensionais
L L/2 N=1 V=1 N=8 V=1/4 r(linear) =1/2 r(volume)=1/4 r(linear) =1/4 r(volume)=1/16 N=64 V=1/16 N.r3=1

8 N=8 r=1/3 N=64 r=1/9 N.r1,8928 =1 Objetos “D dimensionais”

9 Poro capilar delineado por partículas de solo de diferentes tamanhos
Dimensão fractal e retenção de água no solo Poro capilar delineado por partículas de solo de diferentes tamanhos r Escala de medida comprimento L do poro depende da escala r de medida Na geometria Euclideana (1) Da geometria fractal (2) Substituindo (2) em (1) L(r) aumenta mais que proporcionalmente a diminuição de r Se D > 1, (linha tortuosa)

10 Comprimento do poro em função da escala
Fazendo r = (2.Ri) = diâmetro de partículas na escala r (1) (2) Tomando-se em (2) um comprimento de poro Li = 2Ri o número N de partículas envolvidas será N=1 Portanto (1) será: Como:

11 Volume de partículas e de poros em função da escala
Void ratio Como: (1) Potencial da água no solo em função da escala (2) Subst. (1) em (2): Potencial mátrico do solo em função de R, N ( textura) e D (dimensão fractal dos capilares) ??

12 Determinação da dimensão fractal
1) Pela distribuição de tamanho de partículas (Tyler & Wheatcraft, 1989) N = número de partículas R = ráio de partículas DV= dimensão fractal “volumétrica” Dificuldade prática de se avaliar N(R) 2) Pela distribuição de massa de partículas (Tyler & Wheatcraft, 1992) 3) Pela distribuição de volume de poros (Bacchi et al. 1996)

13 Um teste prático de avaliação dos modelos
Dimensão fractal dos capilares Deve refletir a tortuosidade dos capilares Reflexo na condutividade hidráulica do solo

14 Pela distribuição de massa de partículas

15 Pela distribuição de volume de poros

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17 Grupo de solos arenosos
y = x R 2 = 2.8 2.82 2.84 2.86 2.88 2.9 2.92 2.94 2.96 2.98 2.3 2.5 2.7 DV(m) DV(q) Grupo de solos argilosos y = x R 2 = 2.9 2.91 2.92 2.93 2.94 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99 2.78 2.8 2.82 2.84 2.86 2.88 DV(m) DV(q)

18 Outras aplicações Avaliação de rugosidades no solo Simulações da matriz do solo