PARTIÇÃO DE BENDERS Secundino Soares Filho Unicamp.

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1 PARTIÇÃO DE BENDERS Secundino Soares Filho Unicamp

2 INTRODUÇÃO Método para otimização de problemas mistos e de grande dimensão Minimizar s.a. variáveis reais variáveis “cri-cri” (zero – um, inteira, etc)

3 INTRODUÇÃO Idéia Particionar (decompor) (1)
em dois problemas independentes

4 Hipótese: (1) tem solução ótima finita
PROJEÇÂO: Vamos projetar (1) sobre as variáveis Y MIN O mínimo é dado pelo PL: (MIN) PRIMAL

5 Note que para algum é possível que (3) seja infactível
Vamos procurar uma condição em que (3) seja sempre factível Vamos tomar o dual de (3). Seja a variável dual (MAX) SUBPROBLEMA

6 Devido a hipótese (1), esta forma dual do subproblema é sempre factível,
como garante a teoria da Dualidade em Programação Linear: O primal (dual) é factível se o seu dual (primal) tem solução ótima finita dual (MAX) primal (MIN) ótimo

7 Sejam os pontos extremos e
os raios extremos de Então, como RESULTADO da teoria de dualidade, o primal (3) é factível se o dual (4) tem solução ótima finita, ou seja, se A condição (5) assegura que o dual (4) é sempre finito o primal (3) é sempre factível

8 EXEMPLO

9 A restrição garante solução ótima finita para o dual (4). Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DA DUALIDADE (1), o dual (4) e o primal (3) têm solução ótimas iguais Então MIN

10 é equivalente a MIN Sujeito a:

11 O problema (6) é equivalente a
MIN Sujeito a: Pois o MÁXIMO é o menor limite superior. Note que (7) é equivalente a (1)

12 RESOLUÇÃO DE (7) (7) tem um grande número de restrições que não são conhecidas a priori IDÉIA: Usar RELAXAÇÃO. Ou seja, construir um problema mestre relaxado com somente algumas restrições, e aplicar a estratégia da RELAXAÇÃO. PROBLEMA MESTRE RELAXADO MIN s.a.

13 Seja uma solução ótima de (8). Dois casos são possíveis:
Se satisfaz todas as restrições de (7), então é solução ótima de (7), e portanto solução de (MIN) são a solução ótima de (1).

14 2) Se viola alguma restrição de (7), então a solução
não é ótima. Violação:

15 A restrição mais violada é aquela que
(MAX) (9) é equivalente a (4) (MAX) SUBPROBLEMA

16 Seja uma solução ótima finita do subproblema (4). Então, a
restrição mais violada a ser acrescentada ao programa mestre é: Caso (4) seja ilimitado, a restrição mais violada é do tipo raio extremo Com sendo um raio extremo de (4).

17 CONCLUSÃO: O sub-problema serve para testar a factibilidade/otimalidade de uma proposta do problema mestre.

18 ESQUEMA DA DECOMPOSIÇÃO
Gera propostas de PROBLEMA MESTRE PROBLEMA NA VARIÁVEL SUB-PROBLEMA PROBLEMA NA VARIÁVEL Testa as propostas do mestre

19 ESQUEMA DA DECOMPOSIÇÃO
ALGORITMO • Note que a resolução de um problema mestre relaxado (8) fornece um valor ótimo que é um limitante inferior (LI) do problema original (1). Por quê? (Note que a seqüência é monótona não decrescente). • Note que o valor ótimo fornecido pela resolução de um subproblema (4) para um fixo e adicionado do valor fornece um limitante superior (LS) do problema original (1) (se for melhor que a “incumbente” – melhor solução até o momento)

20 RESOLVA O SUBPROBLEMA (4) PARA OBTER
LS =  LI = -  SELECIONE UM VALOR INICIAL PARA INÍCIO RESOLVA O SUBPROBLEMA (4) PARA OBTER MELHOROU LS? SE SIM, CORRIJA O VALOR DE LS GERE UMA NOVA RESTRIÇÃO PARA O PROBLEMA MESTRE: — DE PONTO EXTREMO — DE RAIO EXTREMO RESOLVA UM PROBLEMA MESTRE PARA OBTER NOVO LI NÃO LS=LI SIM RESOLVA O SUBPROBLEMA PARA E OBTENHA FIM

21 BIBLIOGRAFIA [1] Benders, J. F., “Partitionning Procedures for Solving Mixed-Variables Programming Problems”, Numerische Mathematik, 4, , 1962. [2] Salkin, H. N., “Integer Programming”, Addison Wesley Publ. Co., 1975. [3] Hu, T. C., “Integer Programming and Network Flows”, Addison Wesley Publ. Co., 1969. [4] Geoffrion, A. M., “Generalized Benders Decomposition”, Journal of Optimization Theory and Application, 10, , 1972.

22 ED-15 Resolver o problema abaixo aplicando o método de Benders
Minimizar s.a. (P1) Solução: Projetando P1 sobre a variável , temos:

23 ED-15 Minimizar s.a. (P2) Temos o seguinte sub-problema primal
(SPP)

24 ED-15 O dual (SPP) é: Maximizar s.a. (SPP) 4 pontos extremos
O politopo das restrições do dual é limitado e, portanto, não possui raio extremo.

25 ED-15 O problema P2 pode ser reescrito como: Minimizar s.a. (P3)
Escrevendo o sub-problema em função dos pontos extremos do politopo do dual, temos: (P4) np = número total de pontos extremos

26 ED-15 P4 é equivalente ao problema Minimizar s.a.
Problema mestre Supondo que não conhecemos os pontos extremos, vamos aplicar a estratégia de relaxação: Minimizar s.a.

27 ED-15 Inicialização: Iteração 1: Problema mestre 1: (irrestrito)
Minimizar A solução é:

28 ED-15 Sub-problema 1 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

29 ED-15 Calculando o valor da função objetivo da solução:
A restrição mais violada do problema mestre é: (1) Note que a solução viola (1)

30 ED-15 Iteração 1: Problema mestre 2: Minimizar s.a. (1) A solução é:

31 ED-15 Sub-problema 2 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

32 ED-15 Calculando o valor da função objetivo da solução:
A restrição mais violada do problema mestre é: (2) Note novamente que a solução viola (2)

33 ED-15 Iteração 3: Problema mestre 3: Minimizar (2) s.a. (1)
A solução é:

34 ED-15 Sub-problema 3 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

35 ED-15 Calculando o valor da função objetivo da solução:
A solução ótima é: