Algoritmos de Chave Pública

Apresentação em tema: "Algoritmos de Chave Pública"— Transcrição da apresentação:

1 Algoritmos de Chave Pública
RSA

2 Introdução O problema da distribuição de chaves sempre foi o elo mais fraco da maioria dos sistemas de criptografia. Em 1976, dois pesquisadores da Universidade de Stanford, Diffie e Hellman propuseram um sistema de criptografia totalmente novo: As chaves de criptografia e decriptografia são diferentes. Uma pública e a outra privada. A chave de decriptografia (privada) não consegue ser derivada da chave de criptografia (pública).

3 Proposta Cada usuário precisa ter duas chaves: Uma pública e a outra privada. O algoritmo de criptografia E e o algoritmo de decriptografia D tem de atender a três requisitos: D (E (P)) = P. É extremamente difícil deduzir D a partir de E. O texto criptografado não pode ser decifrado por um ataque de texto claro escolhido.

4 Requisitos O primeiro requisito diz que se aplicarmos o algoritmo D a um texto claro P criptografado por E obteremos novamente a mensagem em texto claro. O segundo requisito é autoexplicativo. O terceiro requisito significa que os intrusos podem experimentar o algoritmo exaustivamente que não conseguirão quebrá-lo. Logo, não há razão para a chave não tornar-se pública.

5 Funcionamento do método
O remetente criptografa uma mensagem utilizando a chave pública do destinatário. A chave pública pode estar: Em um arquivo público, por exemplo no web site do destinatário. Em uma Infraestrutura de Chaves Públicas. Alice calcula EB (P) e envia para Bob. Bob calcula DB (EB (P)) = P

6 Os pesquisadores Três pesquisadores do MIT.
Rivest (cientista da computação), Shamir (cientista da computação) , Adleman (matemático) . Examinaram o artigo de Diffie e Hellman. Propuseram entre si, inúmeras soluções durante o ano.

7 A solução Em abril de 1977. Rivest.
É possível construir uma cifra assimétrica? Encontrar uma função de mão única que possa ser revertida apenas se o receptor possuir alguma informação especial?

8 A matemática do RSA (1) Alice escolhe dois números primos gigantes, p e q. Os primos devem ser enormes, geralmente de 1024 bits, mas para simplicidade vamos dizer que Alice escolhe p = 17 e q = 11. Ela mantém esses números em segredo. A seguir, Alice multiplica os números um pelo outro para conseguir outro número, n. p x q = n. Logo, n = 187.

9 A matemática do RSA (2) A seguir, calcula também z = (p-1) x (q-1).
Logo, z = 160. Depois, Alice escolhe outro número, e, de modo que este e z sejam primos relativos. Ou seja, não possuam fatores comuns. Suponha que Alice escolhe e = 7. Repetindo, e, (p-1) x (q-1), ou se preferir, e e z, precisam ser primos relativos, não tendo fatores comuns. Observe que temos várias opções: 7, 11, 13, 17, 19 n e e tornam-se a chave pública de Alice (187 e 7).

10 Primos relativos Os números 8 e 15 são primos relativos porque os divisores positivos de 8, são: 1, 2, 4 e 8. E os de 15, são: 1, 3, 5 e 15. De modo que o 1 é o único inteiro nas duas listas.

11 Cálculo da chave privada
Finalmente, Alice calcula um número d de forma que d x e = 1 mod z. Conforme exemplo abaixo:

12 Chave Pública Alice divulga e e n como sendo a sua chave pública.
O e pode ser parte da chave pública de todos, desde que cada pessoa tenha um n diferente, o que depende da escolha de p e q.

13 Restrição ao tamanho do bloco
Cada bloco de texto claro, P, precisa estar no intervalo entre 0 ≤ P < n. O que pode ser feito agrupando-se o texto claro em blocos de k bits onde k é o maior inteiro para o qual a desigualdade 2k < n é verdadeira.

14 Criptografando Para criptografar são necessários e e n e para decriptografar, d e n. Em outras palavras, para criptografar faça: C = Pe (mod n) Para descriptografar, faça: P = Cd (mod n).

15 Convertendo a entrada A mensagem a ser cifrada, P, precisa ser convertida em um número. Por exemplo, binários em ASC convertidos para decimal. O número P então é cifrado para produzir C, de acordo com a fórmula: C = Pe (mod n).

16 Exemplo Supondo que Bob deseje enviar para Alice a letra “X”.
Em ASC o X é representado por o que equivale a 88 em decimal. Assim, P = 88. Para cifrar a mensagem, Bob pega a chave pública de Alice, n = 187 e e = 7, o que resulta na seguinte fórmula: C = 887 (mod 187). C = (mod 187) C = / 187 = (resto 11). Bob agora envia o texto cifrado, C = 11, para Alice.

17 Considerações Exponenciais em aritmética modular são funções de mão única. É muito difícil, a partir de C = 11, recuperar a mensagem original, P. Logo, Eva não pode decifrar a mensagem. Alice pode decifrá-la porque ela tem uma informação especial. Ela conhece os valores de p e q.

18 Decifrando Para decifrar a mensagem, Alice simplesmente usa a fórmula:
 P = Cd (mod 187) P = 1123 (mod 187) P = 88 O que corresponde a letra “X” em ASC.

19 Exemplo

20 Sumário da operação Suponha que o navegador web possua um texto a ser transmitido. Inicialmente o navegador envia uma solicitação. Ola servidor, mande-me a sua chave pública. O servidor responde. Aqui está: n=187 e e=7. Após receber a chave pública do servidor, o navegador (cliente) criptografa com ela o texto a ser enviado e o envia. Ao receber o texto criptografado, o servidor o descriptografa com a sua própria chave privada.

21 Descobrindo o código As chaves pública e privada são relacionadas, mas a sua relação é difícil de ser derivada por terceiros. A chave pública possui dois valores, n e k onde k é calculado a partir de z e z é calculado a partir de p e q. A chave privada d é calculada a partir de k e z que são calculados a partir de p e q. Observe a relação matemática entre as chaves. Então, para um interceptador encontrar a chave privada d, a única maneira é determinando quais foram os números primos usados para determiná-la (p e q). Decomposição de números com mais de uma centena de dígitos.