Introdução à complexidade de algoritmos Luiz Gonzaga da Silveira Junior.

Apresentação em tema: "Introdução à complexidade de algoritmos Luiz Gonzaga da Silveira Junior."— Transcrição da apresentação:

1 Introdução à complexidade de algoritmos Luiz Gonzaga da Silveira Junior

2 Cenário visionário Suponha que os computadores fossem infinitamente rápidos, com memória infinita. Você precisaria estudar algoritmos?! Me dê 2 razões... Demonstrar que o método de sua solução termina, e, o faz com a resposta correta! Se todos os métodos estivessem corretos, você escolheria o método mais fácil de implementar... Mas o mundo perfeito não existe: velocidade infinita e memória grátis...

3 Eficiência: Caso Computador A: 1 bilhão de instruções/sec Computador B: 10 milhões de instruções/sec Conclusão: CompA é 100x mais rápido do que CompB Programador mais ansioso do mundo: Ordenação (inserção) 2n 2 instruções para ordenar n números no CompA Programador mais relaxado do mundo: Ordenação (intercalação) 50 n log n instruções para ordenar n números no CompB Para ordenar 01 milhão de números: CompA: ~2000 segundos CompB: ~100 segundos CompB executou 20x mais rápido do que o CompA

4 Problemas Ordenação Busca Armazenamento Desempenho (perfilação) Corretude (depuração) Compressão Transmissão Renderização Visualização

5 Ordenação Ordenar  buscar! Exercício: Escreva uma função que verifique se um vetor v[0..n-1] está em ordem crescente. Resposta:... Comparação http://cg.scs.carleton.ca/~morin/misc/s ortalg/

6 Um pouco de noção de complexidade Ao ver uma expressão como n+10 ou n 2 +1, a maioria das pessoas pensa automaticamente em valores pequenos de n, valores próximos de zero. Vamos testar: para n=2, n=3,n=4, n=10, n=100 A análise de algoritmos faz exatamente o contrário: ignora os valores pequenos e concentra-se nos valores enormes de n.

7 Algumas funções Observemos as seguintes funções: n 2, (3/2)n 2,9999n 2, n 2 /1000, n 2 +100n Quem cresce mais rápido?! (claro, para valores enormes de n): vamos experimentar! Resposta: Todas têm crescimentos equivalentes Crescimento assintótico! Nessa “matemática”, as funções são classificadas em ORDENS. Funções de mesma ordem são ditas equivalentes. As funções acima pertencem a mesma ordem

8 Ordem O (Big-Oh) Segundo Knuth, “O” trata-se do ômicron grego maiúsculo. Definição: Dadas funções assintoticamente não-negativas f e g, dizemos que f está na ordem O de g, e escrevemos f = O(g), se f(n) ≤ c · g(n) para algum c positivo e para todo n suficientemente grande. Em outras palavras, existe um número positivo c e um número N tais que f(n) ≤ c · g(n) para todo n maior que N. Exemplo: Se f(n) ≤ 9999 g(n) para todo n ≥ 1000 então f = O(g). (Mas cuidado: a recíproca não é verdadeira!)

9 Exemplo Dadas as funções: f(n) = (3/2)n 2 + (7/2)n – 4 e que g(n) = n 2. n f(n) g(n) 0 –4 0 1 1 1 2 9 4 3 20 9 4 34 16 5 51 25 6 71 36 7 94 49 8 120 64 A tabela sugere que f(n) ≤ 2g(n) para n ≥ 6 e portanto parece que f(n) = O(g(n)).

10 Bubblesort: intuitivo, porém...! bubbleSort( A : lista ) do swapped := false for each i in 0 to length( A ) - 2 do: if A[ i ] > A[ i + 1 ] then swap( A[ i ], A[ i + 1 ] ) swapped := true end if end for while swapped end

11 Implementação Alternativa bubbleSort( A : lista ) n := length( A ) - 1 do swapped := false n := n - 1 for each i in 0 to n do: if A[ i ] > A[ i + 1 ] then swap( A[ i ], A[ i + 1 ] ) swapped := true end if end for while swapped end Qual a diferença entre as duas implementações?

12 Análise de complexidade Para uma lista de n elementos Pior caso: O(n 2 ) Melhor caso: O(n) Posição dos elementos na lista define eficiência do algoritmo  Para grande quantidade de dados: ineficiente! Na prática: Simples (entender e implementar) Aceitável para n pequeno!

13 Inserção Analogia: cartas do baralho! Funcionamento: mão esquerda vazia...cartas pra baixo, retira carta da mesa e vai inserindo Complexidade Melhor caso:O(n)! Pior caso:O(n 2 ) 5 2 4 6 1 32 5 4 6 1 32 4 5 6 1 3 1 2 4 5 6 31 2 3 4 5 6

14 Implementação void insercao (int n, int v[]) { int j, i, x; for (j = 1; j < n; j++) { x = v[j]; for (i = j-1; i >= 0 && v[i] > x; --i) v[i+1] = v[i]; v[i+1] = x; }

15 Exercício 1. Que acontece se trocarmos "for (j = 1" por "for (j = 0" no código da função inserção? 2. Que acontece se trocarmos "v[i+1] = x" por "v[i] = x" no código da função inserção?

16 Observação sobre estabilidade Um algoritmo de ordenação é estável (= stable) se não altera a posição relativa de elementos com mesmo valor. Por exemplo: se o vetor v[0..n-1] tiver dois elementos iguais a 222, um algoritmo de ordenação estável mantém os valores nas posições originais. O algoritmo de inserção é estável? Senão como torná-lo estável.

17 Algoritmo de seleção void selecao (int n, int v[ ]) { int i, j, min, x; for (i = 0; i < n-1; ++i) { min = i; for (j = i+1; j < n; ++j) if (v[j] < v[min]) min = j; x = v[i]; v[i] = v[min]; v[min] = x; } Ele seleciona o menor elemento do vetor, depois o segundo menor, e assim por diante Complexidade: O(n 2 )

18 Quicksort Inventado por C.A.R. Hoare, em 1962. Estratégia: dividir e conquistar! Idéia: Dividir a lista em 2 sublistas Atividade: Pesquisar o funcionamento do algoritmo! Implementar para um conjunto de valores inteiros contidos no site Medir tempo!

19 Outros Pesquisar e mostrar! Ver página do curso! Vou colocar um algoritmo para cada aluno estudar e explicar na próxima aula!