Teste de Hipóteses Pontos mais importantes: -objectivo

Apresentação em tema: "Teste de Hipóteses Pontos mais importantes: -objectivo"— Transcrição da apresentação:

1 Teste de Hipóteses Pontos mais importantes: -objectivo
-nível de significância, região crítica, erros -construção de testes de hipóteses -teste para a média de uma distr. normal (s conhecida), valor de prova -teste para a média de uma distr. normal (s desconhecida) -teste de igualdade de duas médias de distr. normal (s conhecida) -teste de igualdade de duas médias de distr. normal (s desconhecida) -teste do “t” para dados emparelhados -teste para a variância de populações normais, comparação de duas variâncias, distribuição F 1

2 Objectivo: Verificar a consistência de uma hipótese estatística (sobre um parâmetro da distribuição em estudo) com os dados disponíveis (amostra). e.g.: -os filtros que a minha empresa comprou conseguem resistir uma pressão de 5 Bar? -o número de células numa água contaminada diminuiu, por um factor de 10-5/ml, após o nosso tratamento? -A pasteurização de leite com um permutador de calor mais barato não resultou numa qualidade inferior em relação ao processo com um permutador de calor mais caro?... 2

3 Hipóteses Aceitar  verdadeira Aceitar um hipótese não significa que esta é verdadeira, só significa que os dados aparecem consistentes com a nossa hipótese (provável) rejeitar muito improvável 3

4 Nível de significância
Suponha que temos uma população com distribuição F. Queremos testar um hipótese sobre P da F. Este hipótese chama-se “hipótese nula”. H0: m=5 Bar (N~(m,0.2)) H0: m<5 Bar (N~(m,0.2)) Caso a) é um hipótese simples: determina completamente F Caso b) é um hipótese complexo: não determina F Baseado numa mostra de tamanho n, podemos aceitar ou rejeitar H0 4

5 H0 é rejeitada se a amostra (estatística) fizer parte da região crítica ,C, do espaço amostral:
aceitar H0 se rejeitar H0 se Erro de tipo I: rejeitar erradamente H0 quando é verdadeira Erro de tipo II: aceitar erradamente H0 quando é falsa Quando H0 é verdadeira, a nossa hipótese só deve ser rejeitada se os valores observados forem muito improváveis. A probabilidade de cometer erro de tipo I não deve ultrapassar um valor especificado, a (geralmente baixo). 5

6 a chama-se nível de significância
a chama-se nível de significância. Existem alguns níveis convencionais, mas a escolha depende do objectivo: a= é suficiente ser suspeitoso que H0 seja falsa a= moderadamente convencido que H0 é falsa a=0.05 -bastante convencido que H0 é falsa a= muito convencido que H0 é falsa 6

7 Construção de um teste de hipótese
Escolha da estatística para o teste: geralmente um estimador e.g. média amostral Escolha de um nível de significância Determinação da distribuição de probabilidade da estatística e a correspondente região crítica 7

8 Testar a média de uma distribuição normal de variância conhecida
Hipótese nula: H0 : m=m0 (média é igual com um dado valor) Hipótese alternativa: H1 : mm0 Estatística (óbvia): Região crítica: Nos queremos determinar c em concordância de uma a tal que (e.g. a=5%, só 5 vezes em 100 amostras, a diferença entre a média amostral e a média ultrapassa c se H0 for verdadeira) 8

9 Se for verdade que m=m0, nos podemos dizer:
Assim, Aplicando simetria temos, Também sabemos que, O resultado, 9

10 aceitar H0 se rejeitar H0 se 10

11 Exemplo: Pretende-se re-calibrar uma balança
Exemplo: Pretende-se re-calibrar uma balança. O erro das medições da balança tem uma s2=4 (mg2) e, desejavelmente, média 0. Fazendo 5 medições com peso calibrados a média amostral do erro é 1.5 mg. Pode ser que o erro da balança continue, em média, a ser 0 (a=0.05) H0 : m=0 H1 : mm0 H0 é aceite com 5% de nível de significância. 11

12 Uma alternativa ao procedimento anterior é primeiro calcular:
p chama-se valor de prova e dá o nível de significância crítica. H0 rejeita-se para todos valores de a que verifica pa. Exemplo: Determine p para o exemplo anterior Assim para qualquer nível de significância superior de 2*0.0465=0.093 H0: erro do balanço=0 seria rejeitado (e.g. a=0.1) 12

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14 Erro de tipo II: qual é a probabilidade de aceitar erradamente H0 quando a verdadeira média mm0?
Resultados possíveis H0 verdadeira H0 falsa H0 rejeitada Erro tipo I (probabilidade a) Correcta (probabilidade 1-b) H0 aceite (probabilidade 1-a) Erro tipo II (probabilidade b) 14

15 Esta probabilidade (aceitar H0) é uma função da média verdadeira (m), b(m):
para calcular b(m): 15

16 = 0+3 = 0+ = 0+2 16

17 Exemplo: Pretende-se re-calibrar uma balança
Exemplo: Pretende-se re-calibrar uma balança. O erro das medições da balança tem uma s2=4 (mg2) e, desejavelmente, média 0. Fazendo 5 medições com pesos calibrados qual é a probabilidade de aceitarmos erradamente H0, se o factor de calibração verdadeiro era 2mg ; z0.025=1.96 17

18 No exemplo anterior é óbvio que a probabilidade de cometer o erro tipo II só depende do tamanho da mostra (para um dado a). Assim a função b(m1) podia ser usada para determinar o tamanho da mostra maximizando a probabilidade de aceitar H0: m=m0 à b, quando a verdadeira média é m1. Infelizmente não existe solução analítica mas pode ser usada a seguinte aproximação (sem prova): 18

19 O teste de hipótese discutido agora resultou uma rejeição de H0 quando o valor média da amostra ficou longe da média “hipotética” da população em qualquer sentido. O que acontece e.g. se a única alternativa é que m>m0 ou: H0 : m=m (ou mm0) H1 : m>m0 Neste caso o teste chama-se teste unilateral. Região crítica: Nos queremos determinar c em concordância de uma a tal que 19

20 Assim podemos escrever:
ou aceitar H0 se H0 : m=m0(ou mm0) H1 : m>m0 rejeitar H0 se A probabilidade do erro tipo II é dado 20

21 A mesma forma podemos construir testes de hipótese unilateral para:
Exemplo: Considere o exemplo de calibração da balança(s2=4 (mg2)). Agora sabemos que se existe um erro, não pode ser negativo. Poderá o erro da balança em média continuar a ser 0 em média (a=0.05)? H0 : m=0 H1 : m>m0 H0 é rejeitado com 5% de nível de significância. A mesma forma podemos construir testes de hipótese unilateral para: H0 : m=m (ou mm0) H1 : m<m0 aceitar H0 se rejeitar H0 se 21

22 Nota: Existe uma analogia directa entre os intervalos da confiança e os testes de hipóteses
aceitar H0 se ou o intervalo de confiança: Se m0 fica no intervalo da confiança com nível de conf. 1-a, H0 é aceitado 22

23 Testar a média de uma distribuição normal de variância desconhecida-Teste do “t” de Student
Hipótese nula: H0 : m=m0 (média é igual a um dado valor) Hipótese alternativa: H1 : mm0 Estatística: Assim: aceitar H0 se rejeitar H0 se 23

24 Exemplo: Suspeita-se que nos EUA o consumo diário de água num domicilio seja de 350 (10-1) gal/dia. Realizou-se uma experiência, que envolveu 20 famílias, e observaram-se os seguintes resultados: H0 : m=350 H1 : m350 ou p=0.4462 e.g. com a=0.05 H0 é aceitado (p>a). 24

25 0.22 25

26 Podemos efectuar os testes unilaterais:
H0 : m=m (ou mm0) H1 : m>m0 aceitar H0 se rejeitar H0 se B) H0 : m=m (ou mm0) H1 : m<m0 aceitar H0 se rejeitar H0 se 26

27 Teste da igualdade das médias de duas populações normais com as variâncias conhecidas
Hipótese nula: H0 : mX=mY Hipótese alternativa: H1 : mX  mY Estatística: Assim se Ho for verdade: 27

28 Assim podemos facilmente construir um teste de hipóteses porque,
aceitar H0 se rejeitar H0 se 28

29 Exemplo: Temos dois métodos, um barato (B) e um caro (A), para imobilizar enzimas. Medimos o tempo (em horas) que as enzimas imobilizadas mantém a sua capacidade catalítica. Determine se o método mais barato pode ser considerado como uma boa alternativa ao método A com 5% nível de significância com sB=4 e sB=6. H0 : mA=mB H1 : mA  mB H0 está aceitado com 5% nível de significância 29

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31 Teste da igualdade das médias de duas populações normais com as variâncias desconhecidas
Hipótese nula: H0 : mX=mY Hipótese alternativa: H1 : mX  mY Suponha que: sX= sY Estatística: aceitar H0 se |T|<ta/2,n+m-2 Assim se Ho for verdade: T~tn+m-2 rejeitar H0 se |T|>ta/2,n+m-2 31

32 Exemplo: Considere o exemplo anterior, mas agora suponha que as variâncias são também desconhecidos
H0 : mA=mB H1 : mA  mB H0 está aceitado com 5% nível de significância 32

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34 Teste do “t” para dados emparelhados
Muitas vezes estamos interessados em avaliar, se uma alteração qualquer no nosso sistema, melhorou ou não o sistema (menos custo, mais produção, melhor qualidade etc.) Para saber isso, compara-se o sistema antes (X) e após (Y) a alteração feita. Com n pares da amostra (Xi, Yi) podem ser usados para obter uma nova v.a. Wi= Xi-Yi Assim: Hipótese nula: H0 : mW=0 Hipótese alternativa: H1 : mW  0 Estatística: 34

35 Assim: aceitar H0 se rejeitar H0 se Vantagem: O teste do “t” emparelhado pode ser utilizada, apresar as amostras não serem independentes ou não tiveram variâncias iguais, garantido que n1=n2. Desvantagem: o grau de liberdade em vez que 2n-2 fica apenas n-1. 35

36 Exemplo: Recentemente um novo programa de segurança do trabalho foi introduzido na industria de produção de latas. O tempo (em horas) médio perdido na produção de cada semana por causa de acidentes foi medido em 10 empresas. Determine se o programa teve um efeito positivo com 5% de nível de significância. H0 : mW  0 H1 : mW > 0 aceitar H0 se rejeitar H0 se Assim H0 é rejeitado, o programa teve um efeito positivo com 5% de nível de significância 36

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38 Teste de hipóteses para a variância de populações normais
Hipótese nula: H0 : s2=s20 (variância é igual com um dado valor) Hipótese alternativa: H1 : s2s20 Estatística: Sabemos: aceitar H0 se rejeitar H para outros 38

39 Exemplo: Uma nova máquina de encher garrafas da água foi instalada numa empresa de água. A máquina pode ser considerada eficiente se o desvio padrão do volume da água engarrafada não ultrapassar 0.15l (garrafas de 15l). 20 amostras indicaram uma variância amostral 0.025l2. O que podemos dizer sobre a máquina? H0 : s2s20 H1 : s2>s20 H0 é aceite com 10% nível de significância (e qualquer nível de significância a<p=33.07%). 39

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41 Teste da igualdade de variâncias de duas populações normais
Hipótese nula: H0 : s2X=s2Y Hipótese alternativa: H1 : s2X  s2Y Estatística: Então: aceitar H0 se rejeitar H0 para outros 41

42 Distribuição Fn1,n2: Sejam c2n1 e c2n2 duas v. a
Distribuição Fn1,n2: Sejam c2n1 e c2n2 duas v.a. com distribuição chi-quadrado a v.a. F definida: tem uma distribuição F com n1e n2 graus de liberdade - f(x) muito complicado -tabelas para calcular probabilidades 42

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44 Exemplo: Existem dois catalisadores utilizados num processo químico
Exemplo: Existem dois catalisadores utilizados num processo químico. A quantidade de produto formado usando qualquer um dos catalisadores não tem uma diferença significativa em termos do valor da média. Mas também queremos testar, se as variâncias podem ser considerados iguais com 5% nível de significância. As mostras indicaram que S21=0.14 (n=10) e S22=0.28 (n=12). Hipótese nula: H0 : s2X=s2Y Hipótese alternativa: H1 : s2X  s2Y assim o hipótese de variâncias iguais é aceite. 44

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