Geoestatística Aplicada à Agricultura de Precisão I

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1 Geoestatística Aplicada à Agricultura de Precisão I
Daniel Marçal de Queiroz DEA/UFV

2 Geoestatística Maneira de descrever a continuidade espacial
Técnica importante para análise de muitos fenômenos naturais Adaptação de técnicas de regressão clássica para tomar vantagem da continuidade espacial

3 Descrição em termos de uma variável
Dados dão boa idéia do fenômeno apenas quando organizados adequadamente Muitas técnicas usadas em estatística cuida da organização, apresentação e representação resumida dos dados Dados analisados representarão uma área de 10m por 10m Variáveis U e V foram aredondadas para o número inteiro mais próximo

4 Localização relativa dos 100 pontos da variável V

5 Histograma para os 100 valores da variável V

6 Frequência dos 100 valores selecionados da variável V com largura de classe de 10 ppm.

7 Frequência acumulada dos 100 valores da variável V usando classes de 10 ppm

8 Histograma acumulativo para os 100 valores selecionados da variável V

9 Gráfico de probabilidade normal para os 100 valores selecionados da variável V
A escala no eixo Y é tal que a curva de frequência será uma reta se os valores de V tiverem uma distribuição normal

10 Gráfico de probabilidade lognormal dos 100 valores selecionados da variável V
A escala do eixo Y é tal que a curva de frequência acumulada será uma reta se o logarítmo de V seguir a distribuição lognormal

11 Gráficos de probabilidade normal e lognormal
Algumas ferramentas de estimativa trabalham melhor se a variável apresenta distribuição Gaussiana ou normal. Distribuição Gaussiana é um dos muitos tipos de distribuição para o qual existe todo um tratamento matemático já desenvolvido. A Distribuição Gaussiana apresenta propriedades que facilita o uso de desenvolvimentos teóricos de estimativa. Portanto é importante determinar se a distribuição em estudo se aproxima da distribuição de Gauss. O gráfico de probabilidade normal é um dos tipos de gráfico de frequência acumulada que ajuda a verificar se a distribuição é Gaussiana

12 Gráficos de probabilidade normal e lognormal
Em gráficos de probabilidade normal a escala do eixo Y é tal que se a curva descrita pelos dados for uma reta, a distribuição é gaussiana. Para a V variável em estudo embora boa parte da curva de frequência acumulada se aproxima de uma reta, para pequenos valores de V forge dessa tendência. Muitas variáveis da Ciências da Terra têm distribuição que não se aproximam da distribuição normal. É muito comum ter muitos valores que bem baixos e poucos outros que são muito altos.

13 Gráficos de probabilidade normal e lognormal
Embora a distribuição normal é frequentemente inapropriada para modelar esse tipo de distribuição assimétrica, a distribuição lognormal pode ser uma alternativa para análise. Uma variável tem distribuição lognormal se a distribuição dos valores dos logarítmos da variável segue a distribuição normal. Usando uma escala logarítmica no eixo X de um gráfico de distribuição normal pode-se verificar a lognormalidade. Se a curva resultar em uma linha reta, é dito que os dados seguem um distribuição lognormal. Para a variável V em estudo pode-se verificar que os dados claramente não seguem uma distribuição lognormal.

14 Análise Estatística Descritiva
Importantes comportamentos de muitos histogramas podem ser obtidos por meio de certas análises estatísticas. A estatística descritiva é classificada em três categorias: mede a localização, mede a dispersão e mede a forma.

15 Análise Estatística Descritiva
O primeiro grupo fornece onde várias partes da distribuição está localizada. A média, a mediana e a moda pode dar uma idéia de onde o centro da distribuição cai. A localização de outras partes é fornecida pelos quantis (quantiles).

16 Análise Estatística Descritiva
O segundo grupo inclui a variância, o desvio padrão e a faixa dos interquantis (interquantiles range) Esse grupo é usado para medir a dispersão dos dados.

17 Análise Estatística Descritiva
A forma da distribuição é medida por meio do momento de ordem 3 (coefficient of skewness) e do coeficiente de variação. O momento de ordem 3 mede a informação associada à simetria da distribuição. O coeficiente de variação fornece informação a respeito do comportamento do final da curva de certas distribuição.

18 Medidas de localização
A media, m, é a média aritmética dos valores: O valor médio dos 100 valores da variável V é 97,55 ppm.

19 Medidas de localização
A mediana, M, é o ponto médio dos valores observados, se eles estão dispostos em ordem crescente. O valor da mediana pode ser facilmente lida no gráfico de probabilidade. Para os 100 valores da variável V a mediana é 100,50 ppm.

20 Lendo a mediana num gráfico de probabilidade

21 Medidas de localização
A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Em um gráfico de barras com os valores de frequência para cada classe a moda é representada pela barra mais alta. Para a variável V a classe ppm é a classe com mais valores. O valor 111 ppm é o que ocorre com maior frequência. Um dos pontos negativos da moda é que ela é afetada pela precisão dos dados.

22 Medidas de localização
Mínimo: é o valor mais baixo do conjunto de dados. Muitas vezes é gravado apenas como um valor abaixo de qualquer um limite detectável. Em algumas análises é conveniente usar um valor mínimo diferente de zero. Para os valores da variável V o valor mínimo é zero.

23 Medidas de localização
Máximo: é o maior valor no conjunto de dados. Para os valores de V o valor máximo é 145.

24 Medida de localização Quartil inferior e superior (Lower and Upper Quartile) A mediana divide os dados em duas metades, os quartis dividem os dados em quartos. Se os dados estão colocados em ordem crescente, um quarto dos dados caem abaixo do quartil mais baixo ou primeiro quartil e um quarto dos dados caem acima do quartil mais alto ou terceiro quartil.

25 Quartis de um gráfico de probabilidade normal

26 Medidas de localização
Decis, percentis e quantis (Deciles, Percentiles e Quantiles) Decis: dividem os dados em décimos (10 partes) Um décimo dos dados caem abaixo do primeiro decil Percentis: dividem os dados em centésimos (100 partes) Quantis: servem para expressar qualquer fração.

27 Medidas de dispersão Variância (2 ) calculada por:
A variância dos 100 valores da variável V é de 688 ppm2

28 Medidas de dispersão Desvio padrão: raiz quadrada da variância
Para os 100 valores da variaável V o desvio padrão é de 26,23 ppm

29 Medidas de dispersão Faixa entre os quartis (Interquartile range): Diferença entre o maior e o menor quartil Não utiliza da média como centro da distribuição Geralmente preferível se poucos valores erradamente elevados influenciam fortemente a média O faixa entre os quartis para os 100 valores da variável V é de 35,50 ppm.

30 Medidas da forma Momento de ordem 3, Ca (coefficient of skewness): o histograma não dá idéia da simetria dos dados. O momento de ordem 3 sofre mais influência que a média e a variância de valores erroneamente elevados Um único valor muito grande pode influenciar muito o valor do momento de ordem 3. Geralmente o sinal do momento de ordem 3 é mais usado que o próprio valor nas análises.

31 Medidas da forma Momento de ordem 3:
Um momento de ordem 3 positivo significa que a curva é longa com altos valores do lado direito. Se o momento de ordem 3 é próximo de zero, o histograma é aproximadamente simétrico e a mediana é próxima da média Para os 100 valores da variável V, o momento de ordem 3 é próximo de zero (igual a –0,779), indicando que a distribuição apenas ligeiramente assimétrica.

32 Medidas de forma Coeficiente de variação: usado alternativamente ao momento de ordem 3 para descrever a forma da distribuição. Usado para distribuições em que todos valores são positivos e o momento de ordem 3 é também positivo. Embora possa ser calculado para outras situações sua utilidade como medida de forma é questionável.

33 Medidas de forma Um coeficiente de variação maior que um indica a presença de alguns valores errôneamente pode ter tido impacto significativo nas estimativas. O coeficiente de variação para os 100 valores da variável V é 0,269, o que signifca que o histograma não um longo trecho no final da curva com elevados valores

34 Descrição usando duas variáveis
Valores de duas variáveis U e V

35 Descrição usando duas variáveis

36 Resultados das análises estatísticas dos valores da variáveis U e V

37 Comparação dos quantis das variáveis V e U

38 Gráfico de quartis O gráfico de quartis pode permitir uma visualização comparativa entre duas distribuições O gráfico de quartis de duas distribuições idênticas resultará em uma linha reta do tipo y=x Se o gráfico de quartis de duas distribuições é uma linha reta diferente de y=x, as duas distribuições têm a mesma forma mas a sua localização e dispersão podem diferir

39 Gráfico dos quartis das distribuições de 100 valores da variável U versus os 100 valores de V
O caso em estudo mostra que as distribuições das variáveis U e V são diferentes.

40 Gráficos de dispersão Fornecem uma boa idéia qualitativa de como duas variáveis estão relacionadas. Pode auxiliar a detectar dados completamente fora da realidade. Nos primeiros estágios da análise de continuidade espacial é necessário checar e corrigir os erros que por ventura exista no conjunto de dados. Os métodos de estimativa dependem em muito da confiabilidade dos dados. O gráfico de dispersão pode ser muito útil na validação inicial dos dados e no entendimento de futuros resultados.

41 Gráfico de dispersão dos 100 valores de U versus os 100 valores de V
O gráfico (b) ilustra um dado erroneamente introduzido.

42 Correlação Em um gráfico de dispersão é possível detectar se as variáveis são positivamente correlacionadas, negativamente correlacionadas ou se não têm correlação. Coeficiente de correlação () é a maneira mais usada em estatística para verificar o relacionamento entre duas variáveis. É calculado por:

43 Correlação Covariância (Cxy): é o numerador do coeficiente de correlação A covariância é usada como uma característica do gráfico de dispersão. A covariância entre duas variáveis depende da magnitude dos valores dessas variáveis.

44 Correlação Se os valores de U e V são multiplicados por 10, a covariância é multiplicada por 100, embora o gráfico de dispersão pareça o mesmo. Dividindo a covariância pelos devios padrões das duas variáveis obtem-se um valor entre –1 e +1 (coeficiente de correlação) independentee da magnitude dos dados. Para os 100 pares de valores U-V: a covariância é 216,1 ppm2 o desvio padrão da variável V é 26,2 ppm o desvio padrão da variável U é 9,81 ppm o coeficiente de correlação entre U e V é 0,84

45 Correlação O coeficiente de correlação e a covariância podem ser afetados por poucos pares de dados completamente fora da realidade. O coeficiente de correlação é uma medida da proximidade que dados observados tem de uma reta. Se =+1, o gráfico de dispersão será uma reta com declividade positiva. Se =-1, o gráfico de dispersão será uma reta com declividade negativa

46 Correlação Quando a relação entre as variáveis é não-linear o coeficiente de correlação não é uma boa medida estatística. Ao invés do coeficiente de correlação usa-se o coeficiente de correlação de rank Rxi = rank de xi entre os valores de x e é geralmente calculado ordenando os valores de x em ordem crescente. O valor mais baixo de x terá rank igual a 1 Ryi = rank de yi entre os valores de y. mRx = média dos ranks Rx1, Rx2, …, Rxn Rx = desvio padrão dos ranks Rx1, Rx2, …, Rxn

47 Correlação Grandes diferenças entre rank e  revela a localização dos pontos extremos em um gráfico de dispersão. O rank não é tão influenciado por valores extremos. Altos valores de rank e baixos valores de  podem significar a existência de erros nos dados tiveram efeito adverso afetando a obtenção de uma boa correlação. Se  é alto e rank é baixo pode ser que  está sendo influenciado por poucos valores extremos.

48 Correlação Para os pares de valores V e U com um par de ponto completamente fora (figura b):  = 0,64 rank = 0,80 Se o coeficiente de correlação dos ranks é +1 significa que os ranks das duas variáveis são iguais. Para Y = X2 resultará em  próximo de zero e rank igual a um.

49 Regressão linear A dependência de uma variável em relação a outra pode ser descrita pela equação de uma linha reta y = ax + b A declividade “a” e a constante “b” são dadas por:

50 Regressão linear Usando-se os 100 pares de valores V-U para calcular os parâmetros do modelo de regressão linear obtem-se: Portanto, a equação que prevê os valores de V a partir dos valores conhecidos de U é dada por:

51 Regressão linear Se o interesse for pela equação que prevê U a partir de valores conhecidos de V, então: A equação que prevê os valores de U a partir dos valores conhecidos de V é dada por:

52 Gráfico mostrando a regressão linear sobreposta num gráfico de dispersão
Observando-se cuidadosamente os dois gráficos verifica-se que as duas linhas não as mesmas, ou seja, não é um simples arranjo de

53 Esperança condicional
Analisando-se a Figura (a) da análise de regressão linear verifica-se que uma linha reta não representa bem a relação entre as variáveis. Os dados mostram que uma linha curva poderiam representar melhor o relacionamento entre as variáveis. Uma alternativa à regressão linear é calcular valores médios de y para diferentes faixas de valores de x Os valores são chamados de condicional porque eles são bons apenas para uma certa faixa de valores de U. Para uma classe diferente, espera-se um valor diferente.

54 Valor médio de V dentro das classes de valores de U definidas

55 Gráfico do valor médio de V definido dentro de cada classe de valores de U

56 Gráfico das curvas de esperança condicional sobrepostas nos gráficos de dispersão
Esperança condicional obtida por técnica de regressão linear dentro de uma vizinhança local. Existem algorítmos para definição do número de pontos ideal que deve compor a vizinhança.