SOBREPOSIÇÃO MODAL Objetivos:

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1 SOBREPOSIÇÃO MODAL Objetivos:
Conhecer o método de sobreposição modal para análise dinâmica com elementos finitos Sobreposição modal

2 Introdução Como o número de operações é proporcional à metade da largura de banda mK da matriz K, uma redução em mK reduz o custo da solução passo a passo. Desprezando as operações dos cálculos iniciais nos métodos implícitos, temos um número total de anmKs operações necessárias para a integração. a: função das características das matrizes n: ordem da matriz de rigidez mK: metade da largura de banda s: número de passos do tempo A topologia da malha de elementos finitos determina a ordem e a largura de banda das matrizes do sistema. Para reduzir a largura de banda das matrizes do sistema, reordena-se a numeração nodal; mas existe um limite na largura de banda a ser obtida dessa maneira, sendo necessário seguir um procedimento alternativo. Assim a integração direta implícita é efetiva para respostas de curta duração. O número de operações por passo de integração é menor no método explícito. Contudo, se a integração deve ser efetuada para muitos passos no tempo, é melhor transformar primeiro as equações de equilíbrio de forma que a solução passo a passo custe menos. Sobreposição modal

3 Mudança de base para deslocamentos generalizados modais
Na prática, uma matriz de transformação efetiva é estabelecida usando as soluções de deslocamento das eqs. de equilíbrio para vibração livre sem amortecimento, As equações de equilíbrio utilizam uma transformação nos deslocamentos U dos pontos nodais dos n elementos finitos. onde a solução é assumida como, P: matriz de transformação, não é f(t) X(t): vetor deslocamentos generalizados Substituindo na equação de equilíbrio e pré-multiplicando por PT. : vetor de ordem n t0: tempo constante : freqüência de vibração do vetor  (rad/s) obtendo-se o autoproblema generalizado, a partir do qual  e w são calculados. As novas matrizes de massa, amortecimento e rigidez apresentam uma menor largura de banda. (i) O autoproblema gera n autosoluções (2n,n), onde os autovetores são M-ortonormalizados: P deve ser não singular (rank n) para que exista uma relação única entre U e X. Sobreposição modal

4 Mudança de base para deslocamentos generalizados modais
obtendo-se as equações de equilíbrio nos deslocamentos generalizados modais: i: vetor do perfil do i-ésimo modo i: i-ésima freqüência de vibração (rad/s) Definindo a matriz  de autovetores e a matriz diagonal 2 de autovalores: As condições iniciais em X(t) para t=0 são obtidas como: Se a matriz de amortecimento não está inclusa na análise, as equações de equilíbrio de elementos finitos são desacopladas se usados os modos de vibração livre na matriz de transformação. as n soluções são escritas como: Como os autovetores são M-ortonormais, Assim, a matriz  pode ser uma adequada matriz de transformação P: Sobreposição modal

5 Exemplo as duas soluções seguintes são possíveis:
Calcule a matriz de transformação  e as equações de equilíbrio desacopladas na base dos vetores modais do sistema: A solução às equações é da forma: O autoproblema generalizado é: onde ,  e os tempos são calculados a partir das condições iniciais em U e Ů. Impondo valores só a  ou  o sistema vibra num modo e freqüência respectiva. e as soluções são: As equações de equilíbrio na base dos autovetores são: Para as equações de equilíbrio de vibração livre do sistema, Sobreposição modal

6 Análise com amortecimento desprezível
Os deslocamentos nodais são obtidos por sobreposição da resposta em cada modo. A equação de equilíbrio sem os efeitos de amortecimento se reduz a: (iii) ou seja n equações desacopladas da forma de um sistema de um grau de liberdade com massa unitária e rigidez i2: A resposta por sobreposição modal requer: i. solução de autovetores e autovalores ii. resolver eqs. de equilíbrio desacopladas iii. sobrepor a resposta dos autovetores A escolha entre análise de sobreposição modal e integração direta é por eficácia numérica, ao ser as respostas idênticas dentro dos erros numéricos dos esquemas de integração no tempo. (ii) a ser resolvida com os algoritmos de integração ou com a integral de Duhamel: onde ai e bi são calculados com as C.I. Sobreposição modal

7 Exemplo Usando os autovetores, calculados com anterioridade, calcula-se U. Utilize sobreposição modal para calcular a resposta por deslocamento do sistema: Para Dt=0,28, avalia-se em 12 passos: Para calcular a resposta exata integra-se as eqs. de equilíbrio desacopladas: Tempo Dt 2Dt 3Dt 4Dt . 12Dt tU 0,003 0,038 0,176 0,486 1,157 0,382 1,41 2,78 4,09 2,489 e usando as C.I. obtém-se: Sobreposição modal

8 Análise com amortecimento desprezível (cont.)
Para o sistema de 1GDL dado por: Considerando as equações desacopladas, (ii) a resposta pode ser escrita como, e se ri(t)=0, i=1,2,...,n e ainda 0U e 0Ů são múltiplos só de j, logo só xj(t) é diferente de zero e a estrutura vibra só nesse modo. onde D é o fator de carga dinâmica, indicando ressonância se ŵ= Na prática a resposta transiente decresce devido ao amortecimento e o efeito da carga externa é mais importante. O conteúdo da freqüência da carga determina se a i-ésima equação contribui ou não à resposta. Na análise de um sistema nGDL, a resposta é obtida como a sobreposição da resposta em cada GDL modal. Também, a carga pode ser apresentada como em uma decomposição de Fourier, ou seja como a sobreposição de senos e cos. harmônicos. A resposta xi(t) é relativamente grande se a freqüência de excitação contida em ri fica próxima de wi. Sobreposição modal

9 Análise com amortecimento desprezível (cont.)
Com uma pequena fração do número total de equações desacopladas (p≤n), a solução de sobreposição modal consegue uma boa aproximação à solução exata. Para análise de vibração, as freqüências intermédias devem ser excitadas, aquelas entre os limites inferior e superior. Denominando UP a resposta predita por sobreposição de p modos, a exatidão da análise em qualquer tempo t é obtida calculando uma mensuração do erro: Assim, precisa-se obter unicamente os menores autovalores e autovetores, e somar a resposta nos primeiros p modos: A eficácia da sobreposição modal depende do número de modos considerados. Em geral, o tipo de estrutura e sua distribuição espacial mais o conteúdo de freqüência da carga determina o número de modos a serem utilizados. Os erros na análise de sobreposição modal, para p<n, são devidos ao fato que modos não suficientes foram usados. Os erros na análise de integração direta ocorre devido ao passo de tempo grande. Para cargas de terremotos, em alguns casos é suficiente os 10 primeiros modos. Para choques p=2n/3. Sobreposição modal

10 Análise com amortecimento
A sobreposição modal é eficaz quando assumido o amortecimento proporcional, onde os autovetores são C-ortogonais: onde ai e bi são calculados com as C.I. O amortecimento total na estrutura é a soma dos amortecimentos modais. O amortecimento em um modo pode ser observado, por exemplo, impondo C.I. a esse modo (0U=i para o modo i) e medindo o decremento de amplitude durante a vibração amortecida livre. i: parâmetro de amortecimento modal ij: delta de Kronecker, 1 (i=j), 0 (ij) Logo as equações de movimento se reduzem a n equações de equilíbrio do movimento de sistemas de 1 GDL : Para r=2, o amortecimento de Rayleigh pode ser usado, o qual pode ser da forma: (1) a serem resolvidas com os algoritmos de integração ou com a integral de Duhamel: onde  e  são constantes a serem calculadas desde duas razoes de amortecimento dadas que correspondem a duas freqüências de vibração desiguais. Sobreposição modal

11 Exemplo A matriz de amortecimento a ser usada é:
Assuma que para um sistema de 2 GDL, 1=2 e 2=3, precisando 2% e 10% de amortecimento crítico, 1=0,02 e 2=0,10. Estabeleça as constantes  e  do amortecimento de Rayleigh para a integração direta passo a passo. Com a matriz de amortecimento, podemos estabelecer a relação de amortecimento para qualquer valor de i. quando a matriz de amortecimento de Rayleigh é usada. Caso as relações de amortecimento sejam conhecidas para mais de duas freqüências, então dois valores médios de  são usados para avaliar  e . Usando esta relação para 1,1 e 2,2 permite obter duas equações para  e  cuja solução é: Sobreposição modal

12 Exemplo Assuma que o amortecimento aproximado para um sistema multi GDL é como segue: Mostra-se a relação de i como função de i , onde com base na eq. (1) indica-se as regiões de amortecimento “proporcional à massa” e “proporcional à rigidez”. Escolha os parâmetros de amortecimento de Rayleigh  e  Considerando dois pares de espaçamento de freqüências: Determinando  e  da relação: Então: Sobreposição modal

13 Análise com amortecimento (cont.)
Pode-se utilizar uma matriz mais geral de amortecimento caso mais de 2 relações de amortecimento são usadas para obter C. Assim, na base dos vetores modais, as equações de equilíbrio não estão mais desacopladas. Assumindo r relações de amortecimento i, i=1,2,...,r dadas para definir C, uma matriz C que satisfaz a eq. (1) é obtida através da serie de Caughey: Pode ser assumido que a resposta primária do sistema ainda está contida no subespaço formado por 1,..., p. Assumindo que o acoplamento na matriz de amortecimento TC entre xi (i=1,..,p) e xi (i=p+1,...,n) pode ser desprezada, as primeiras p equações desacoplam das p+1 a n equações, e podem ser resolvidas por integração direta. onde os coeficientes ak, k=0,...,r-1 são calculadas das r equações simultâneas: Se r>2, então C é uma matriz cheia. Usando os modos de vibração livre sem amortecimento como vetores base, para o caso de amortecimento não proporcional TC é uma matriz cheia. Sobreposição modal

14 Exemplo Considere as equações de equilíbrio:
Se fosse conhecido que devido a certa carga aplicada, a resposta primária fica unicamente no primeiro modo, poderia se obter uma resposta aproximada via: Os modos de vibração livre sem amortecimento e freqüências são: e logo calcula-se Transforme as equações de equilíbrio em relações na base modal Usando U=X obtém-se as relações de equilíbrio: Mas, observa-se que como TC é cheia, a solução de x1(t) não da a resposta real no primeiro modo ao ter sido omitido o acoplamento do amortecimento. Sobreposição modal