Irineu Júnior Pinheiro dos Santos Mirela Ferreira César

Irineu Júnior Pinheiro dos Santos Mirela Ferreira César
Classificadores Bayesianos Introduction to Data Mining (Cap. 5.3) Tan, Steinbach, Kumar Irineu Júnior Pinheiro dos Santos Mirela Ferreira César Roberto Ribeiro Castro Menezes

Sumário Introdução Teorema de Bayes Classificador Naive Bayes
Teorema de Bayes na Classificação Classificador Naive Bayes M-Estimate das Probabilidades Condicionais

Introdução - Conceitos
Classificadores Bayesianos são classificadores estatísticos que tem a função de classificar um objeto numa determinada classe, baseando-se na probabilidade deste objeto pertencer a esta classe. Em muitas aplicações, a relação entre o conjunto de atributos e a variável classe são não-determinísticos.

Introdução - Exemplo Predizer quando uma pessoa tem doença no coração considerando os fatores alimentação saudável e freqüência que pratica exercícios.

Introdução - Exemplo Relação não determinística Alimentação Doença
no coração? Alimentação Saudável e Exercícios Relação não determinística Outros Fatores podem ocasionar a doença: fumo, colesterol elevado e hereditariedade.

Teorema de Bayes Fornece o cálculo das probabilidades de que uma determinada amostra de dados pertença a cada uma das classes possíveis, predizendo para a amostra, a classe mais provável. Considerando X e Y variáveis aleatórias, uma probabilidade condicional P(Y|X) refere-se a probabilidade de Y assumir um valor determinado, observando-se o valor assumido por X.

Teorema de Bayes na Classificação
Exemplo: ID Idade Renda Estudante Crédito Compra_computador 1 <= 30 Alta Não Bom 2 3 31..40 Sim 4 > 40 Média 5 Baixa 6 Excelente 7 8 9 10 11 12 13 14 Classificar os seguintes valores: X = (Idade <= 30, Renda = Media, Estudante = sim, Crédito = bom) Y = Compra_Computador?

Exemplo: ID Idade Renda Estudante Crédito Compra_computador 1 <= 30 Alta Não Bom 2 3 31..40 Sim 4 > 40 Média 5 Baixa 6 Excelente 7 8 9 10 11 12 13 14 P(Y=sim) e P(Y=não) P(Y=sim) = 9/14 = 0,643 P(Y=não) = 5/14 = 0,357 = 1-P(Y=sim)

X = (Idade <= 30, Renda = Media, Estudante = sim, Crédito = bom) ID Idade Renda Estudante Crédito Compra_computador 1 <= 30 Alta Não Bom 2 3 31..40 Sim 4 > 40 Média 5 Baixa 6 Excelente 7 8 9 10 11 12 13 14 Probabilidades: P[Idade <= 30 | Y = sim] = 2/9 = 0,222 P[Idade <= 30 | Y = não] = 3/5 = 0,6

X = (Idade <= 30, Renda = Media, Estudante = sim, Crédito = bom) ID Idade Renda Estudante Crédito Compra_computador 1 <= 30 Alta Não Bom 2 3 31..40 Sim 4 > 40 Média 5 Baixa 6 Excelente 7 8 9 10 11 12 13 14 Probabilidades: P[Renda = Media | Y = sim] = 4/9 = 0,444 P[Renda = Media | Y = não] = 2/5 = 0,4

X = (Idade <= 30, Renda = Media, Estudante = sim, Crédito = bom) ID Idade Renda Estudante Crédito Compra_computador 1 <= 30 Alta Não Bom 2 3 31..40 Sim 4 > 40 Média 5 Baixa 6 Excelente 7 8 9 10 11 12 13 14 Probabilidades: P[Estudante = sim | Y = sim] = 6/9 = 0,667 P[Estudante = sim | Y = não] =1/5 = 0,2

X = (Idade <= 30, Renda = Media, Estudante = sim, Crédito = bom) ID Idade Renda Estudante Crédito Compra_computador 1 <= 30 Alta Não Bom 2 3 31..40 Sim 4 > 40 Média 5 Baixa 6 Excelente 7 8 9 10 11 12 13 14 Probabilidades: P[Credito = bom | Y = sim] = 6/9 = 0,667 P[Credito = bom | Y = não] = 2/5 = 0,4

Calculamos isoladamente o valor da probabilidade condicional de cada atributo, mas para que eles sejam calculado de forma interseccionada, temos: P[x1, x2,... xd | C] = P(x1| C) * P(x2| C) * … * P(xd| C) Com isso, é possível chegar a uma forma mais geral do Teorema de Bayes:

Temos: P(X|Y=sim) = 0,222 * 0,444 * 0,667 * 0,667 = 0,044 P(X|Y=não) = 0,6 * 0,4 * 0,2 * 0,4 = 0,019 Pela lei da probabilidade total: P(X) = P(X|Y=sim)*P(Y=sim) + P(X|Y=não)*P(Y=não) P(X) = 0,044*0, ,019*0,357 = 0, ,007 = 0,035 P(X|Y=sim) * P(Y=sim) / P(X) = 0,044 * 0,643 = 0,028 / 0,035 = 0,8 P(X|Y=não) * P(Y=não) / P(X) = 0,019 * 0,357 = 0,007 / 0,035 = 0,2 Ou seja, P(X|Y=sim) > P(X|Y=não) O classificador Bayesiano prediz que a tupla X é classificada na classe Compra-Computador = sim

Classificador Naive Bayes
Um classificador Naive Bayes estima a probabilidade de classe condicional P(X|Y). Pré-considerações: Assume-se que os atributos são condicionalmente independentes (Naive Bayes ingênuo ou simples); As probabilidades condicionais são estimadas para os atributos de acordo com a sua classificação: Categórico; Contínuo.

Atributos Condicionalmente Independentes
São atributos que apresentam independência estatística entre si: Dois eventos são estatisticamente independentes se a probabilidade da ocorrência de um evento não é afetada pela ocorrência do outro evento. Exemplo: Tamanho do braço x Habilidades de Leitura Considerando a Idade, a dependência não ocorre.

Atributos Categóricos
É aquele atributo para o qual é possível estabelecer um conjunto de valores finito. Exemplo: Sexo: {Masculino, Feminino} Cor da Pele: {Branca, Marrom, Amarela, Preta}

Para uso no algoritmo Naive Bayes: Estima-se a fração das instâncias de treinamento de acordo com cada valor da classe. Exemplo: Casa Própria Estado Civil Inadimplente Sim Casado Solteiro Não Divorciado P(Casa Própria=Sim|Não)

Exemplo: Casa Própria Estado Civil Inadimplente Sim Casado Solteiro Não Divorciado P(Casa Própria=Sim|Não) = 2/3

Atributos Contínuos São considerados contínuos os atributos que possuem muitos ou infinitos valores possíveis Exemplo: Idade: Peso:

Atributos Contínuos Existem duas formas de estimar a probabilidade de classe condicional para atributos contínuos: Discretização dos atributos; Distribuição Gaussiana.

Atributos Contínuos Discretização de atributos contínuos:
Os atributos contínuos são divididos em intervalos discretos, que substituem os valores desses atributos. Esta abordagem transforma os atributos contínuos em atributos ordinais. A transformação dos atributos contínuos em atributos discretos permite que sejam tratados como atributos categóricos.

Atributos Contínuos Distribuição Gaussiana:
Assume uma certa forma de distribuição de probabilidade para variáveis contínuas, e estima os parâmetros da distribuição usando os dados de treinamento. Caracterizada por dois parâmetros: Média (µ) Variância (σ2) da amostra

Atributos Contínuos Para cada valor de classe y, a probabilidade da classe condicional para o atributo X é:

Exemplo: Dado o seguinte conjunto de treinamento: Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K Atributos Categóricos Atributos Contínuos Classe

Cálculo dos atributos categóricos: Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Casa Própria=Sim|Não) = 3/7

Cálculo dos atributos categóricos: Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Casa Própria=Sim|Não) = 3/7 P(Casa Própria=Não|Não) = 4/7

Cálculo dos atributos categóricos: Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Casa Própria=Sim|Não) = 3/7 P(Casa Própria=Não|Não) = 4/7 P(Casa Própria=Sim|Sim) = 0

Cálculo dos atributos categóricos: Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Casa Própria=Sim|Não) = 3/7 P(Casa Própria=Não|Não) = 4/7 P(Casa Própria=Sim|Sim) = 0 P(Casa Própria=Não|Sim) = 1

Cálculo dos atributos categóricos: Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Casa Própria=Sim|Não) = 3/7 P(Casa Própria=Não|Não) = 4/7 P(Casa Própria=Sim|Sim) = 0 P(Casa Própria=Não|Sim) = 1 P(Estado Civil=Solteiro|Não) = 2/7 P(Estado Civil=Divorciado|Não) = 1/7 P(Estado Civil=Casado|Não) = 4/7 P(Estado Civil=Solteiro|Sim) = 2/3 P(Estado Civil=Divorciado|Sim) = 1/3 P(Estado Civil=Casado|Sim) = 0

Cálculo dos atributos contínuos: Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K Para a classe Não Média: µ = ( ) / 7 = 110 Variância: σ2 = ( )2 + ( )2 + (70-110)2 + ( )2 + (60-110)2 + ( )2 + (75-110)2 / 6 = 2975

Cálculo dos atributos contínuos: Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K Para a classe Sim Média: µ = ( ) / 3 = 90 Variância: σ2 = (95-90)2 + (85-90)2 + (90-90)2 / 2 = 25

Resultado dos cálculos básicos: P(Casa Própria=Sim|Não) = 3/7 P(Casa Própria=Não|Não) = 4/7 P(Casa Própria=Sim|Sim) = 0 P(Casa Própria=Não|Sim) = 1 P(Estado Civil=Solteiro|Não) = 2/7 P(Estado Civil=Divorciado|Não) = 1/7 P(Estado Civil=Casado|Não) = 4/7 P(Estado Civil=Solteiro|Sim) = 2/3 P(Estado Civil=Divorciado|Sim) = 1/3 P(Estado Civil=Casado|Sim) = 0 Para o cálculo da Renda Anual: Classe Não: Média: 110 Variância: 2975 Classe Sim: Média: 90 Variância: 25 Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K

Dado o conjunto de treinamento anterior, qual a classe do seguinte registro de teste: X = (Casa Própria=Não, Estado Civil=Casado, Renda Anual=120K) Avaliar qual a maior probabilidade entre as probabilidades posteriores: P(Inadimplente=Não|X) e P(Inadimplente=Sim|X)

M-Estimate das Probabilidades Condicionais
Problema: se a probabilidade da classe condicional de um dos atributos é zero, a probabilidade posterior para a classe inteira, quando avaliado esse atributo, também será. Pois Lembre-se: P[x1, x2,... ,xk | C] = P(x1| C) * P(x2| C) * … * P(xk| C) Quando essa condição existe para atributos das duas classes, o algoritmo não é capaz de classificar o registro.

Exemplo, imagine que o conjunto de treinamento fosse assim: E agora queremos saber P(X | C) sendo X = (Casa Própria = Sim, Estado Civil = Divorciado, Renda = 120k) Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Não) = 6/9 = 0.666

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Não) = 6/9 = 0.666 P(Sim) = 3/9 = 0.333

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Não) = 6/9 = 0.666 P(Sim) = 3/9 = 0.333 P(Casa Própria = Sim | Não) = 2/6 = 0.33

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Não) = 6/9 = 0.666 P(Sim) = 3/9 = 0.333 P(Casa Própria = Sim | Não) = 2/6 = 0.33 P(Estado Civil = Divorciado | Não) = 0

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Não) = 6/9 = 0.666 P(Sim) = 3/9 = 0.333 P(Casa Própria = Sim | Não) = 2/6 = 0.33 P(Estado Civil = Divorciado | Não) = 0 P(Renda Anual = 120k | Não) = 0,0072 Média (µ) = 91,66k Variância (σ2) = 732,76

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Não) = 6/9 = 0.666 P(Sim) = 3/9 = 0.333 P(Casa Própria = Sim | Não) = 2/6 = 0.33 P(Estado Civil = Divorciado | Não) = 0 P(Renda Anual = 120 | Não) = 0,0072 P(Casa Própria = Sim | Yes) = 0/3 = 0

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Não) = 6/9 = 0.666 P(Sim) = 3/9 = 0.333 P(Casa Própria = Sim | Não) = 2/6 = 0.33 P(Estado Civil = Divorciado | Não) = 0 P(Renda Anual = 120 | Não) = 0,0072 P(Casa Própria = Sim | Sim) = 0/3 = 0 P(Estado Civil = Divorciado | Sim) = 0.333

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente 1 Sim Solteiro 125K Não 2 Casado 100K 3 70K 4 120K 5 Divorciado 95K 6 60K 7 220K 8 85K 9 75K 10 90K P(Não) = 6/9 = 0.666 P(Sim) = 3/9 = 0.333 P(Casa Própria = Sim | Não) = 2/6 = 0.33 P(Estado Civil = Divorciado | Não) = 0 P(Renda Anual = 120 | Não) = 0,0072 P(Casa Própria = Sim | Sim) = 0/3 = 0 P(Estado Civil = Divorciado | Sim) = 0.333 P(Renda Anual = 120 | Sim) = 1,2 * 10-9

Aplicando a fórmula de Bayes: P(C = Não | X) = α * * (0.333 * 0 * 0,0072) P(C = Sim | X) = α * * ( 0 * * 1,2 * 10-9) P(C = Não | X) = 0 P(C = Sim | X) = 0 Ou seja, o algoritmo não foi capaz de predizer a probabilidade neste caso

É possível contornar o problema utilizando a abordagem M- Estimate para o cálculo das probabilidades condicionais

Onde: n é o número total de instâncias da classe y nc é o número de exemplos de treinamento da classe y com o valor x m é um parâmetro conhecido como o tamanho de amostra equivalente m é dito valor de compensação p é um parâmetro especificado pelo usuário + ou – a proporção da classe no treinamento Utilizando m = 3 e p = 2/3 (para a classe “Não”), é possível calcular a probabilidade condicional que anteriormente era zero: P(Estado Civil=Divorciado|Não) = (0 + 3*2/3)/(6+3) = 2/9

Assumindo p=1/3 para classe “Sim” e p=2/3 para a classe “Não”, as classes condicionais dos demais atributos são calculadas: P(Casa própria=Sim|Não) = (2 + 3*2/3)/(6 + 3) = 4/9 = 0.444 P(Estado Civil = Divorciado | Não) = 2/9 = (calculado na lâmina anterior) P(Renda Anual = 120k | Não) = 0,0072 P(C = Não | X) = α * * (0.444 * * 0,0072) = 0,004α P(Casa própria=Sim|Sim) = (0 + 3*1/3)/(3 + 3) = 1/6 = 0,166 P(Estado Civil = Divorciado | Sim) = (1 + 3 * 1/3) / (3 + 3) = 2/6 = 0,333 P(Renda Anual = 120k | Sim) = 1,2 * 10-9 P(C = Sim | X) = α * * ( 0,166 * * 1,2 * 10-9) = 0,022 * 10-9α Portanto, o algoritmo de Naive Bayes prediz que para o conjunto de atributos X utilizado, a classe deverá ser NÃO

Caracteristicas Naive Bayes
Vantagens: São robustos para isolar pontos de ruído, pois tais pontos são calculados pela média quando estima-se a probabilidades condicionais dos dados. Atributos irrelevantes não tem impacto na computação da probabilidade posterior. Desvantagens: Atributos correlacionados degradam a performance de classificadores bayesianos, pois a independência condicional não é mais assegurada.

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