Probabilidade Combinatória

Apresentação em tema: "Probabilidade Combinatória"— Transcrição da apresentação:

1 Probabilidade Combinatória
João Paulo Silva do Monte Lima  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

2 Roteiro Noções Fundamentais Alguns Métodos de Enumeração:
Progressão Aritmética Combinação  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

3 Noções Fundamentais A e B são independentes  A e B são excludentes 
Sejam A e B subconjuntos de um espaço amostral S, valem as seguintes propriedades: (baseado no Princípio da Inclusão-Exclusão) A e B são independentes  A e B são excludentes   2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

4 Alguns Métodos de Enumeração
Listamos a seguir algumas maneiras de enumerar os elementos de um evento ou um espaço amostral 1) Progressão Aritmética (P.A.) Dada uma P.A. de n elementos, em que a1 é seu primeiro elemento, an é seu último elemento e r é sua razão, temos: an = a1 + (n – 1)r Desenvolvendo a igualdade acima, temos:  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

5 Alguns Métodos de Enumeração
Problema 5.11) Escolha um inteiro uniformemente do conjunto {1, 2, 3, ..., 30}. Seja o evento A de que ele é divisível por 2; seja B o evento de que ele é divisível por 3; seja C o evento de que ele é divisível por 7. (a) Determine as probabilidades de A, B e C. (b) Quais dos pares (A,B), (B,C) e (A,C) são independentes? Resolução: (a) A quantidade de números do espaço amostral que são divisíveis por k será o número de elementos de uma P.A. de razão k, com primeiro elemento k.  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

6 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação)  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

7 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) (b) A e B são independentes? Ser divisível por 2 e 3 é o mesmo que ser divisível pelo mmc(2,3) = 6 Logo, A e B são independentes  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

8 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) A e C são independentes? Ser divisível por 2 e 7 é o mesmo que ser divisível pelo mmc(2,7) = 14 Logo, A e C são independentes  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

9 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) B e C são independentes? Ser divisível por 3 e 7 é o mesmo que ser divisível pelo mmc(3,7) = 21 Logo, B e C não são independentes  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

10 Alguns Métodos de Enumeração
2) Combinação A contagem dos elementos de um evento ou espaço amostral pode ser feita por combinação. Muitas vezes é interessante lançar mão de algumas identidades combinatórias, como por exemplo: A soma das combinações “pares” de n é igual à soma das combinações “ímpares” de n  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

11 Alguns Métodos de Enumeração
Problema 5.13) Selecionamos um subconjunto X do conjunto S = {1, 2, ..., 100} aleatoriamente e uniformemente (de modo que todo subconjunto tem a mesma probabilidade de ser selecionado). Qual é a probabilidade de que: (a) X tenha um número par de elementos. (b) Ambos 1 e 100 pertençam a X. (c) O maior elemento de X seja 50. (d) X tenha no máximo 2 elementos.  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

12 Alguns Métodos de Enumeração
Resolução: (a) A = { subconjuntos “pares” } (b) B = { subconjuntos com 1 e 100 } Basta escolher os demais elementos dos subconjuntos:  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

13 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) (c) C = { subconjuntos cujo maior é 50 } Basta escolher entre os elementos menores que 50: (d) D = { subconjuntos com cardinalidade  2 }  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

14 Alguns Métodos de Enumeração
Observando o Triângulo de Pascal e lançando mão da identidade... ... podemos concluir que a seguinte identidade é válida:  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

15 Alguns Métodos de Enumeração
Em outras palavras, a identidade anterior consiste em dizer que a soma das combinações da esquerda de uma linha do Triângulo de Pascal é igual à soma das combinações da direita. Quando n é ímpar, a soma de cada lado da igualdade é: Quando n é par, a soma de cada lado da igualdade é:  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

16 Alguns Métodos de Enumeração
Problema 5.14) Jogamos uma moeda n vezes (n  1). Para quais valores de n os seguintes pares de eventos são independentes? (a) A primeira jogada foi Cara; O número de Caras foi par. (b) A primeira jogada foi Cara; O número de Caras foi mais que o número de Coroas. (c) O número de Caras foi par;  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

17 Alguns Métodos de Enumeração
Resolução: (a) ... Ca/Co Ca/Co Ca/Co Ca1 = { primeira jogada Cara } ... Ca/Co Ca CaP = { número de Caras par }  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

18 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) Ca1  CaP= {1ª jogada Cara e n.º Caras par} = {1ª jogada Cara e n.º Caras ímpar nas outras} Logo, Ca1 e CaP são independentes para qualquer valor válido de n  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

19 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) (b) Vamos testar duas situações: n ímpar: ... Ca/Co B = { n.° Caras > n.° Coroas } Ca1  B= {1ª jog. Cara e n.º Caras > n.º Coroas } = {1ª jog. Cara e n.º Caras  n.º Coroas nas outras}  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

20 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) Logo, Ca1 e B não são independentes para n ímpar  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

21 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) n par: Logo, Ca1 e B não são independentes para n par, e portanto não são independentes, qualquer que seja n  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

22 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) (c) Vamos testar duas situações: n par: CaP  B= { n.º Caras par e n.º Caras > n.º Coroas } Observando as linhas “pares” do Triângulo de Pascal, notamos que, quando a combinação central é “ímpar”, a quantidade de combinações “pares” à esquerda é a metade das combinações pares da linha  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

23 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) Se o n que estivermos considerando tiver combinação central “ímpar”, então temos: Se o n que estivermos considerando tiver combinação central “par”, então temos:  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

24 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) Logo, CaP e B não são independentes para n par n ímpar: Observando as linhas “ímpares” do Triângulo de Pascal, notamos que, quando n = 4x + 3, x natural (em outras palavras, linha não, linha sim), a quantidade de combinações “pares” à esquerda é a metade das combinações pares da linha  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

25 Alguns Métodos de Enumeração
(continuação) (continuação) Se o n que estivermos considerando não for igual a 4x + 3, x natural, então temos: Se o n que estivermos considerando for igual a 4x + 3, x natural, então temos: Logo, CaP e B são independentes para todo n = 4x + 3, x natural  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

26 * Todas as questões contidas neste material foram retiradas do livro:
“Discrete Mathematics: Elementary and Beyond”, L. Lovász, J. Pelikán & K. Vesztergombi. Springer, January 2003, ISBN Tradução parcial datada de 20/09/2003 por Ruy J. Guerra B. de Queiroz disponível em:  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

27 Probabilidade Combinatória
João Paulo Silva do Monte Lima  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.