Segmento: Ensino Médio

Apresentação em tema: "Segmento: Ensino Médio"— Transcrição da apresentação:

1 Segmento: Ensino Médio
Disciplina: Matemática Tema: Sólidos Geométricos - Cone

2 g h r Cone: A Definição! Considere um círculo C contido num plano
 e um ponto V não-pertencente a . Chama-se cone a reunião de todos os segmentos que ligam cada ponto de R ao ponto P. O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral. g h r Note: g, h e r formam um triângulo retângulo. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones.

3 * a a 90º V é vértice R é raio da base h é altura g é geratriz V eixo
A Fig. mostra um Cone Oblíquo. a R O * a 90º

4 Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base. Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto. Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo. A altura é sempre perpendicular ao plano. Eixo = Altura altura eixo Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.

5 Cone Circular Reto ou Cone de Revolução V g h O* B A
1) O eixo é perpendicular ao plano da base. g 2) No DVOA : h g2 = h2 + R2 O* R B A

6 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C A B C

7 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

8 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

9 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

10 4 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

11 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

12 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

13 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

14 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

15 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

16 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

17 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

18 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

19 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

20 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

21 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

22 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

23 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

24 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

25 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

26 Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone é um Cone Eqüilátero.
Seção Meridiana O DVBA é a seção meridiana do cone. V Seção Meridiana g Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone é um Cone Eqüilátero. g=2R B O * A 2R

27 Planificação do Cone Reto
x h g Clique

28 Planificação do Cone Reto
x h g

29 Planificação do Cone Reto
x h g

30 Planificação do Cone Reto
x h g

31 Planificação do Cone Reto
x h g

32 Planificação do Cone Reto
x h g

33 Planificação do Cone Reto
x h g

34 Planificação do Cone Reto
x h g R

35 Planificação do Cone Reto
x h g R

36 Planificação do Cone Reto
g h R x

37 Planificação do Cone Reto
g h R x

38 Planificação do Cone Reto
g h R x

39 Planificação do Cone Reto
g h R x

40 Planificação do Cone Reto
g h R x

41 Planificação do Cone Reto
g h R x

42 Cone Planificação do Cone Reto : x h g R

43 Planificação do Cone Reto
g h R x

44 Planificação do Cone Reto
g h R x

45 Planificação do Cone Reto
g h R x

46 Planificação do Cone Reto
g h R x

47 Planificação do Cone Reto
g Angulo q q = 2pR g q 2pR g R h R x

48 At = AL+ 2 Ab V = p R2 h Áreas e Volume Ab = p R2 Área Base ( Ab )
AL = p R g Área Lateral ( AL ) At = AL+ 2 Ab Área Total ( At ) Volume ( V ) V = p R2 h 1 3

49 Áreas e Volume Pirâmide Cone Área da Base (AB) Depende do Polígono da Base Área da circunferência Área Lateral (AL) Área Total (At) Volume (V) O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!

50 Seção Transversal A secção transversal forma o tronco de cone g h
Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base. Note que o cone menor, acima da secção é semelhante ao cone original, o que significa que suas dimensções são proporcionais. g k = Constante de proporcionalidade. h Suas áreas são proporcionais. Seus volumes são proporcionais. A secção transversal forma o tronco de cone

51 Semelhança de uma forma mais clara
Geratriz do cone semelhante (g) Altura do cone original (H) Altura do cone semelhante (h) Altura do tronco (HT) Obviamente G = g + GT Outra conclusão lógica V = v + VT Geratriz do Tronco (GT)

52 Área Lateral do Tronco(ALT) Área Total do Tronco(ATT)
Tronco de Cone r R  raio da base maior r  raio da base menor Elementos: hT  altura do tronco gT  geratriz do tronco gT hT Área Lateral do Tronco(ALT) ALT = (R + r)gT Área Total do Tronco(ATT) ATT = ALT + Ab + AB ATT = (R + r)gT + (r2 + R2) Volume do Tronco (VT) VT = V - v VT = (r² + rR + R²) R As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.

53 e) Nenhuma das respostas anteriores. c) 270º
Ex. 1: Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular cujo ângulo central mede: a) 216º d) 288º b) 240º e) Nenhuma das respostas anteriores. c) 270º (EPUSP-SP)

54 Ex. 2: O volume do sólido gerado pela revolução de um triângulo euilátero de lado a em torno de um de seus lados é: a) 1 4 pa3 c) 1 2 pa3 e) 4 3 pa3 b) 1 3 pa3 d) 3 4 pa3 (UF-RS)

55 Ex. 3: O volume de um cone eqüilátero, circunscrito a uma esfera de raio R, é: a) pR3 b) 3pR3 c) 2pR3 d) 4pR3 e) 5pR3 (PUC-SP)

56 D = 2R 8 = 2R AT = Π.4(4 + 5) _8_ = R = 4 2 AT = 36Π AT = ΠR(R + G)
(UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total vale: A) 52Π B) 36Π C) 20Π D) 16Π D = 2R 8 = 2R AT = Π.4(4 + 5) _8_ = R 2 = 4 AT = 36Π AT = ΠR(R + G) AT = Π.4(4 + G) G 3 m 3 m Mas, G = ? 4 m Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos G = 5 m 8 m

57 V = (Π R2 .H):3 V = (Π 52 .H):3 V = (Π 25 .H):3 Mas, H = ?
(UFPA) A geratriz de um cone reto mede 13 cm e o diâmetro de sua base 10 cm. O volume do cone em cm3 é: A) 100Π B) 200Π C) 400Π D) D = 2R 10 = 2R _10_ = R 2 = 5 V = (Π R2 .H):3 V = (Π 52 .H):3 13 cm V = (Π 25 .H):3 Mas, H = ? V = (Π ):3 13 m x V = (Π 300):3 V = 100Π Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos H = 12 m 10 cm 5 m