CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 03 de julho de 2014.

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 03 de julho de 2014

REVISÃO DOS CAPÍTULOS ANTERIORES

1.INTRODUÇÃO GERAL

INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 45 ANÁLISE

É o campo da Engenharia que congrega os conceitos e os métodos destinados à concepção, ao projeto e à operação de processos químicos ENGENHARIA DE PROCESSOS Implícitos na sua prática encontram-se o emprego intensivo de recursos computacionais e o atendimento a requisitos de natureza econômica, material, energética, de preservação ambiental e de segurança. em que se encontram integrados equipamentos de reação, separação, integração material e energética e controle.

O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto Até À conclusão do Projeto   As ações são numerosas e diversificadas !!! PROJETO DE PROCESSOS É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a operação de uma planta industrial

Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade de matéria prima Estabelecer as condições da reação e sub-produtos Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo de insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Investigar reagentes plausíveis Avaliar a lucratividade do processo

À luz da Engenharia de Processos elas são organizadas da seguinte forma quanto à sequência no Projeto

SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA Investigar mercado para o produto Investigar reagentes plausíveis Investigar a disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub- produtos gerados SÍNTESE Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo

Projeto: primeiro passo DIFICULDADE: MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Seleção da Rota Química

Rotas para a produção de fenol

DIFICULDADE NA SÍNTESE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Síntese de um Fluxograma para a Rota Química Projeto: segundo passo

Equipamentos disponíveis para a geração de um fluxograma RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração Este problema é simples O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas EXEMPLO

UM RISCO INERENTE À SÍNTESE...

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Muitas soluções para analisar

DIFICULDADE NA ANÁLISE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Análise dos fluxogramas gerados na Síntese Projeto: terceiro passo

12 Q = 10.000 kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W 1 kgB/hW 2 y 1 kgAB/kgBy 2 x 1 x 2 kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB Para cada par de valores x 1,x 2 resultam valores de W 1, W 2, y 1, y 2 e Lucro EXEMPLO dimensionamento de 2 extratores em série

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Dificuldade: infinidade de soluções viáveis A cada par (x 1,x 2 ) corresponde uma solução viável

Todo problema com Multiplicidade de Soluções exige a busca da sua OTIMIZAÇÃO Solução Ótima através de

O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Constata-se, assim, que...

Primeiro fator de complexidade multiplicidade de soluções nos três níveis Nível Tecnológico: determinar a rota química ótima. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.

Segundo fator de complexidade Os 3 problemas são interdependentes. A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois. Busca Orientada por Árvore de Estados Uma abordagem...

Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Busca Orientada por Árvore de Estados P ? ? D+E P+F D,EP,F ?? A+B P+C A,BP,C ?? 1PA BC x ? TD 2 PA BC x ? TA P3D EF x ? DM P F 4 D E x ? ME L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x*

P ? ? D+E P+F D,E P,F ?? L x 4 10 ? P3 D E F x Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos)

2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS

INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 45 ANÁLISE

“Bola de Cristal” OBJETIVO DA ANÁLISE Prever e avaliar o desempenho físico e econômico ou ainda inexistente (em fase de projeto) de um processo já existente (em operação)

Consiste em (a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. Base Modelo Matemático Prever e avaliar o desempenho FÍSICO (b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.

Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Critério Econômico Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO

ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5    Resumo da Análise de Processos Cada Capítulo gera subsídios para os Módulos Computacionais MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro

Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA ANÁLISE DE PROCESSOS 2. Escrever o modelo matemático. 1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos, correntes, variáveis do processo. 7. Avaliar criticamente o resultado. 6. Resolver o problema. 5. Estabelecer uma estratégia de cálculo. 4. Efetuar o Balanço de Informação. 3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto.  fundamental  mais importante

FINAL DA REVISÃO

MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos f 1 (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0...... f N (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0 N equações M incógnitas constituído do conjunto dos modelos dos equipamentos. Sistema de equações algébricas

Exemplo: Modelo do Processo Ilustrativo

Partindo dos modelos dos equipamentos 01. f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. W 15 - f 23 = 0 03. f 31 - f 32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x 13 / x 12 = 0 06. (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. V d -  (f 11 /  1 + W 15/  2 + f 31 /  3 ) = 0 08. r - f 13 /f 11 = 0 09. T 2 – T d = 0 10. T 3 – T d = 0 11. f 13 - f 14 = 0 12. f 23 - f 24 - W 5 = 0 13. W 6 - W 7 = 0 14. W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = 0 15. Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = 0 16. Q e - U e A e  e = 0 17.  e - (T 6 - T e ) = 0 18. T 4 – T e = 0 19. T 5 – T e = 0 extrator evaporador

20. W 8 - W 9 = 0 21. W 5 - W 10 = 0 22. Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Q c - U c A c  c = 0 25.  c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 26. W 11 - W 12 = 0 27. W 10 - W 13 = 0 28. Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Q r - U r A r  r = 0 31.  r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 32. W 13 + W 14 - W 15 = 0 33. W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = 0 34. f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. x 11 - f 11 / W 1 = 0 36. f 12 + f 22 – W 2 = 0 37. x 12 - f 12 / W 2 = 0 38. f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. x 13 - f 13 / W 3 = 0 40. f 14 + f 24 - W 4 = 0 41. x 14 - f 14 / W 4 = 0 condensador resfriador misturador correntes multicomponentes

Modelo Completo 01. f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. W 15 - f 23 = 0 03. f 31 - f 32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x 13 / x 12 = 0 06. (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. V d -  (f 11 /  1 + W 15/  2 + f 31 /  3 ) = 0 08. r - f 13 /f 11 = 0 09. T 2 – T d = 0 10. T 3 – T d = 0 11. f 13 - f 14 = 0 12. f 23 - f 24 - W 5 = 0 13. W 6 - W 7 = 0 14. W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = 0 15. Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = 0 16. Q e - U e A e  e = 0 17.  e - (T 6 - T e ) = 0 18. T 4 – T e = 0 19. T 5 – T e = 0 20. W 8 - W 9 = 0 21. W 5 - W 10 = 0 22. Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Q c - U c A c  c = 0 25.  c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 26. W 11 - W 12 = 0 27. W 10 - W 13 = 0 28. Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Q r - U r A r  r = 0 31.  r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 32. W 13 + W 14 - W 15 = 0 33. W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = 0 34. f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. x 11 - f 11 / W 1 = 0 36. f 12 + f 22 – W 2 = 0 37. x 12 - f 12 / W 2 = 0 38. f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. x 13 - f 13 / W 3 = 0 40. f 14 + f 24 - W 4 = 0 41. x 14 - f 14 / W 4 = 0

Consiste em representar o processo matematicamente utilizando os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução de problemas. Competem ao Engenheiro Químico (a) Formulação (Modelagem Matemática): (b) Resolução : É um pré-requisito para esta Disciplina Palavras-chave : Formulação e Resolução !!! Formulação e Resolução do Modelo Objeto deste Capítulo

A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Tema deste Capítulo Fontes de complexidade: Em geral, os modelos de processos são complexos. (c) presença de reciclos (b) não-linearidade de equações (a) grande número de equações e de variáveis Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ??? COMPLEXIDADE DOS MODELOS

MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões CalculadasLucro Objetivo de uma Estratégia de Cálculo Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos ( problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos ).

3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não - Lineares

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Motivação para o estudo de equações não-lineares No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos ocorrem sistemas de equações que só podem ser resolvidos por métodos iterativos de tentativas empregados na resolução de equações Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1.1 Representação

Na abordagem aqui adotada, uma vez formulada representando um fenômeno físico, a equação f (x 1 *,..., x i - 1 *, x i, x i + 1 *,…, x M * ) = 0 passa ser vista como um “processador de informação” assim representada : 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação f j......... x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i incógnita variáveis conhecidas

A dificuldade da resolução de f (x 1 *,..., x i - 1 *, x i, x i + 1 *,…, x M * ) = 0 depende da sua forma funcional. incógnita x 2 : x 1 * x 2 + ln x 1 * = 0 incógnita x 1 : x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 Solução analítica simples: x 2 = - (ln x 1 * ) / x 1 * Solução numérica por tentativas Exemplo x 1 x 2 + ln x 1 = 0

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1.2 Métodos Numéricos

Métodos de Aproximações Sucessivas Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam valores sucessivos até que a diferença relativa entre 2 valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré- estabelecida. Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial. 3.1.2 Métodos Numéricos

Dados os limites superior x s e inferior x i, define-se o intervalo de incerteza x s - x i. Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução. x s x i  (a) Métodos de Redução de Intervalos Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância  pré-estabelecida: x s - x i  . x i x s x i x s f (x)

Um método típico de Redução de Intervalos Método da Bisseção ou Busca Binária A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s,  (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i   xf BISS f (x)

Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 x i f i x f x s f s  0,00005 -11,51 1 2 1 0,00005 -11,51 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,43750,048 0,5 0,25 0,125 0,0625 f = x 1 x 2 * + ln x 1 x 2 * = 2 : x i = 0 : x s = 1:  = 0,1 Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s,  (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i  

EFICIÊNCIA DO MÉTODO N t : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo  N m : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo  Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então: N t = N m + 2

Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 x i f i x f x s f s  0,00005 -11,51 1 2 1 0,00005 -11,51 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,43750,048 0,5 0,25 0,125 0,0625  = 0,5 Nm ln  = N m ln 0,5 N t = 2 + ln  / ln 0,5 10% :  = 0,1  N = 5,3  N t = 6 1% :  = 0,01  N = 8,6  N t = 9 N t = 2 – 1,4 ln 

Atribui-se um valor inicial para a incógnita. (b) Métodos de Aproximações Sucessivas xixi xsxs x1x1 x2x2 x3x3 Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(x k - x k-1 ) / x k ], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida. x4x4 x5x5

Um método típico Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(x i ) = 0  x i = F(x i ) Exemplo x 1 = e - x 1 x 2 * x 1 = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 f(x 1 )

x i = F(x i ) F(x) x A solução é o valor de x i em que F(x i ) = x i. 0,2

ALGORITMO Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo) Estabelecer x inicial,  (tolerância) REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F F = x inicial Como dar a partida ? Em cada iteração, o valor arbitrado para x i é o valor de F(x i - 1 ) obtido na iteração anterior.

F(x) x Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo) Estabelecer x inicial,  (tolerância) F = x inicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F x1x1 x2x2 x3x3 Executando o Algoritmo Em cada iteração, o valor arbitrado para x i é o valor de F(x i - 1 ) obtido na iteração anterior.

Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 F(x) x x1x1 x2x2 x3x3 convergência monotônica derivada positiva convergência oscilatória derivada negativa x 1 x 3 x 2 F(x) x Na direção da Solução

Condição para Divergência |F´(x)| > 1 F(x) x x1x1 x3x3 x2x2 x x1x1 x2x2 x3x3 divergência monotônica derivada positiva divergência oscilatória derivada negativa Afastamento da Solução

Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 x 1 = F(x 1 ) (x 2 * = 2 : x 1 inicial = 0,5) F(x 1 ) = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) = e - x 1 x 2 * Divergência Oscilatória F’(x 1 ) = - 1,17 Convergência Oscilatória F’(x 1 ) = - 0,85 Solução: x = 0,4263 F(x) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 3 x 2 x x F  0,50,3460,308 0,3460,5290,529 0,5290,3170,400 0,3170,5730,806 0,5730,2780,515 x F  0,50,3670,264 0,3670,4790,302 0,4790,3830,199 0,3830,4640,210 0,4640,3950,149 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0  oscilando para maior  oscilando para menor

F(x) x x1x1 x2x2 x3x3 x x1x1 x2x2 x3x3 Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja, convergem.

Em resumo Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos: - redução de intervalos (ex.: bisseção) - aproximações sucessivas (ex.: substituição direta) Esses métodos serão evocados a seguir em Sistemas de Equações.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação

A equação f (x 1,..., x i-1, x i, x i+1,…, x M ) = 0 pode ser representada como um “processador de informação” 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação f j......... x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i

Um sistema de equações pode ser representado por um sistema de processadores Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Durante a resolução de um problema, os processadores transmitem informação de uns para os outros. f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 xx 1 x 2 x 30

f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estruturas Básicas Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.

123 xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica 123 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (x o, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida x o, o cálculo de x 1 depende de x 3 ainda não calculada). ? f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1, x 2 ) = 0 f 3 (x 2, x 3 ) = 0 f 1 (x o, x 1, x 3 ) = 0 f 2 (x 1, x 2 ) = 0 f 3 (x 2, x 3 ) = 0

Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.

Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo 1. f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7, x 8 ) = 0

Representações Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações. E, assim, conceber métodos eficientes de resolução.

Matrizes Esparsas ! 1. f 1 (x o *,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Representação Matricial Característica em Processos o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações.

1. f 1 (x o *,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Representação Gráfica (Grafo) Ciclo ! Proporciona uma visão mais clara da estrutura do sistema x6x6 12345678 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 xoxo

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações

Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos - método seqüencial.

Métodos Simultâneos Calcular F 1 x 1 (k+1) = F 1 Calcular F 2 x 2 (k+1) = F 2 TESTE x 1 = x 1 (k+1) x1kx1k x2kx2k x 1 (k+1) x 2 (k+1) x 2 = x 2 (k+1) Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein,... Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.

Método Sequencial É um método alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida. Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented").

Este método pode ser implementado através do ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES A.O.E.

É um algoritmo de atribuição de tarefas Algoritmo de Ordenação de Equações (AOE) 1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema. 2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma Sequencia de Cálculo que minimiza o esforço computacional.

Outros resultados 4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo. 3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos. 5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura (a definir). Partição ???

x x* 12345678 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas PARTIÇÃO "partitioning" 1. f 1 (x o,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Resolvem-se os sub-sistemas sequencialmente 1, 2[] Parte Acíclica Cálculo Direto xo*xo*x2x2 [ 3, 4, 5,6 ] Parte Cíclica Cálculo Iterativo x6x6 [7, 8] x8x8 Parte Acíclica Cálculo Direto

O Algoritmo simplesmente formaliza ações intuitivas e óbvias utilizando os seguintes termos básicos Equações de Incógnita Única Variáveis de Frequência Unitária Ciclos

x x* 12345678 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o 1. f 1 (x o,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Equações de Incógnita Única São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma! Exemplo: equação 1 Uma vez resolvida para x 1 a equação 2 fica com incógnita única podendo ser resolvida para x 2   Não há mais equações de incógnita única

Enquanto houver equações com incógnita única (a)atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação O Algoritmo pode começar assim: (c) remover a variável da lista das incógnitas (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo x x* 12345678 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o   2. x 2 1. x 1 Não há mais equações de incógnita única Sequência de Cálculo

Varáveis de Frequência Unitária São variáveis que pertencem a uma só equação Só pode ser calculada pela Eq. 8 depois de x 7 x x* 12345678 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o     Exemplo: x 8 Então x 7 só pode ser calculada pela Eq.7 ficando com frequência unitária Só pode ser calculada pela Eq. 7 depois de x 6 Não há mais variáveis de frequência unitária

Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a)atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação O Algoritmo pode prosseguir assim: (c) remover a variável da lista das incógnitas (b) colocar a equação na última posição disponível na Sequencia de Cálculo 1. x 1 2. x 2 - -- x x* 12345678 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o     8. x 8 7. x 7 Não há mais variáveis de frequência unitária Sequência de Cálculo

Ciclos x 3456 x 3 x 4 x 5 6 x2x2 x6x6 x 6 = f 6 (x 5 ) = f 6 (f 5 (x 4 )) = f 6 (f 5 (f 4 (x 3 ))) = f 6 (f 5 (f 4 (f 3 (x 2,x 6 )))) = F(x 6 ) São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma. Solução exclusivamente por métodos iterativos

Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas (d) Estabelecer o esquema de convergência (a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (não atribuída a qualquer equação) 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 X6X6 Variável de Abertura 1. x 1 2. x 2 8. x 8 7. x 7 5. x 5 4. x 4 3. x 3 6. final x6x6 Sequência de Cálculo

12 X o * X 1 X 2 78 X 6 X 7 X 8 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 6 final 8x 8 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 3x 3 4x 4 5x 5 6 final 8x 8 X6X6 Variável de Abertura x6x6 META DO ALGORITMO Sequencia de Cálculo Resultante

ALGORITMO PRONTO

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA Insere-se um Promotor de Convergência São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares: (a) Bisseção (b) Substituição Direta

Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.

x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s,  (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i   xf BISS f (x) Relembrando o Método da Bisseção

A cada iteração: - arbitra-se x 6a. - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5. - pela equação 6 calcula-se f 6 (x 5, x 6 ). - avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção. x xixi fifi xsxs fsfs x f f(x) (a) BISSSEÇÃO x 6a 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 BISS f 6 (x 5, x 6 ) f3 (x2,x3,x4) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0

(c) F'(x) < 0|F'(x)| < 1 convergência oscilatória F(x) x x1x1 x2x2 x3x3 (a) F'(x) > 0|F'(x) < 1 convergência monotonica x1x1 x2x2 F(x) x x3x3 ALGORITMO Estabelecer x inicial,  (tolerância) F = x inicial x solução = F Convergir = |(F - x)/x| <  REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA x = F ( x)f (x) = 0explicitando x A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x. 

(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA Arbitra-se x 6c inicial. A cada iteração: - toma-se x 6a = x 6c. - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x 6c. - avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x 6c – x 6a ) / x 6a x 1 x 2 x 3 x 6c x 6a x 6c 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 SD x 6a

COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA (b) Substituição Direta Arbitra-se x 6a. A cada iteração, a eq.6 calcula x 6c = f 6 (x 5 ) : x 6a = x 6c (até convergir). f 6 (x 5, x 6 ) (a) Bisseção x 6a 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 BISS f3 (x2,x3,x6) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0 Arbitra-se x 6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f 6 (x 5, x 6 ) (até convergir) x 6c 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 SD x 6a f3 (x2,x3,x4) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0

APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

1. f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7, x 8 ) = 0 Do ponto de vista prático, o Algoritmo é aplicado sobre a Matriz Incidência

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Seqüência Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Seqüência 1 - x 1 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no primeiro lugar  x na vertical

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Seqüência Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no primeiro lugar  x na vertical Não há mais Equações de Incógnita Única (EIU)

Estado atual da Sequência de Cálculo

EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 12 X O * X 1 X 2

Seqüência 1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Não há mais Variáveis de Frequência Unitária (VFU)

Estado atual da Sequência de Cálculo

EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 8x 8 12 X O * X 1 X 2 78 X 7 X 8 X 6

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Ciclo! Equação Final ? x 3456 x 3 x 4 x 5 6 x2x2 x6x6

x 3456 x 3 x 4 x 5 6 x2x2 x6x6 Em princípio, qualquer uma do ciclo A figura motiva a 6 !

Equação Final: 6 1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Volta-se a buscar...

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Aqui há 2 VFU: X 5 e X 6. A ordem em que são escolhidas não importa. Uma não afeta a outra. Ela poderiam ser até resolvidas em paralelo. Na verdade, elas poderiam ser calculadas em paralelo porque

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - x 5 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - x 4 5 - x 5 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - x 3 4 - x 4 5 - x 5 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Variável de Abertura: x 6 1 - x 1 2 - x 2 3 - x 3 4 - x 4 5 - x 5 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 x6x6 Seqüência

SEQUÊNCIA DE CÁLCULO FINAL EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 3x 3 4x 4 5x 5 6 final 7x 7 8x 8 12345678 X O * X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 X 6 variável de abertura equação final x6x6

Mostrar o Programa AOE.xls

Estratégia de Cálculo para 4 situações típicas em Engenharia de Processos. Antecipando...

PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 55 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 321 x 4 x 32 xx 2 x 3 x x4x4 55 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO * LE E x 1 4321 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única sem ciclo Otimização com ciclo Sol.única com ciclo Otimização sem ciclo PROCESSO * LEEx 1 4 32 1 x 4 x 3 x 2 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x4x4 x1x1 x1x1

1f 1 (x 1, x 2 ) 2f 2 (x 2, x 3, x 4 ) = 0 3f 3 (x 3, x 4 ) = 0 4f 4 (x 4 ) = 0 Sistema 1 G = 0 : solução única, sem variável de projeto Ciclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura 1** 2*** 3** 4* x 1 x 2 x 3 x 4 Matriz Incidência 1 234 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 Grafo

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (c) remover a variável. 4 x 4 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * X X XX (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto Processo : sequência direta (sem ciclos) PROCESSO LEE* 4321 x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 4 x 3 x 2 x 1 1 234 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 Grafo Como a eq. 4 é de incógnita única, x 4 é a primeira e o seu valor é transmitido para a eq.2 desfazendo o ciclo em potencial

Sistema 2 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4,x 5 ) = 0 G = 1 : problema de otimização, haverá uma variável de projeto. Ciclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura. 1** x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 2*** 3** 4** Matriz Incidência 123 4 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x5x5 Grafo

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. 4 x 5 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * * X X XX X Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (c) remover a equação. x 4 variável de projeto (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. x4x4

123 4 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x5x5 Grafo PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE E* 321 x3x3 4 x2x2 x1x1 x5x5 x4x4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 1 x 2 x 3 x 5 Como x 4 resultou como Variável de Projeto o ciclo desapareceu G = 1 : Otimização, uma variável de projeto Processo : sequência direta (sem ciclos)

Sistema 3 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4 ) = 0 G = 0: solução única, sem variável de projeto Ciclos potenciais: a confirmar haverá variáveis de abertura x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 1** 2**** 3** 4* Matriz Incidência 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x1x1 Grafo

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. 4 x 4 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * X XXXX X x 1 : Variável de Abertura x1x1

x 1 : variável de abertura PROCESSO LEE* 43 2 1 x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 1 x 2 x 3 x 4 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x1x1 Grafo Aqui, o ciclo persistiu e teve que ser aberto G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto Processo : sequência com ciclo e uma variável de abertura

Sistema 4 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4, x 5 ) = 0 G = 1: problema de otimização com uma variável de projeto Ciclos potenciais: poderá haver variáveis de abertura x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 1** 2**** 3** 4** Matriz Incidência 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x1x1 Grafo x5x5

Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * * X XXX X 4 x 5 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável X X Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Sobram x 1 e x 4 Uma de projeto Outra de abertura Eqs 1 e 3 independentes: qualquer uma

x 4 : variável de abertura x 1 : variável de projeto 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x1x1 Grafo x5x5 E* PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE 2 3 1 x 4 x 3 x4x4 2 x x1x1 5 x 2 x 3 x 4 x 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura Opção 1:

x 4 : variável de projeto x 1 : variável de projeto 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x1x1 Grafo x5x5 E* PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE 2 3 1 x 4 x 3 x1x1 2 x x4x4 5 x 2 x 3 x 4 x 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Opção 2: G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura

RESUMO DOS 4 TIPOS DE PROBLEMAS

PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 55 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 321 x 4 x 32 xx 2 x 3 x x4x4 55 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO * LE E x 1 4321 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única sem ciclo Otimização com ciclo Sol.única com ciclo Otimização sem ciclo PROCESSO * LEEx 1 4 32 1 x 4 x 3 x 2 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x4x4 x1x1 x1x1

REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.

Variáveis Discretas Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores. - diâmetros comerciais de tubos. - número de estágios. Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto. Assim: - assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador. - não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

Para x = 1 : y = 3  a = 3 (não existe !) Para: a = 0,5 : x = 1  y = 0,5 Para: a = 1 : y = 1  x = 1 x y a = 1 a = 0,5 V = 3 : N = 1 : G = 2 (duas variáveis de projeto) Exemplo: y = a x O parâmetro só pode assumir 2 valores: 1 ou 0,5 Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo Exemplo Nesta equação: -  é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas) - qualquer T é de cálculo iterativo (dado  e as demais T’s) As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas. Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.

Varáveis Limitadas Os seus valores variam entre limites bem definidos. Exemplos: - frações mássicas ou molares - temperaturas em trocadores de calor Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de projeto. Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo para que essa preferência seja concretizada.

Ciclos Múltiplos f 1 (x o,x 1,x 3 )0 f 2 (x 1,x 2 )0 f 3 (x 2,x 3 )0 f 4 (x 3,x 4 )0 f 5 (x 4,x 5,x 7 )0 f 6 (x 5,x 6 )0 f 7 (x 6,x 7 )0 = = = = = = = 1 2 4 5 6 1. x 2. x 3. final 4. x 5. x 6. x 7. final x3x3 x7x7 Ciclos em Sequência Primeira entrada de x 7 : eq. 5 Primeira entrada de x 3 : eq. 1 Fechar o ciclo com a final mais próxima Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.

Ciclos Aninhados (“nested”) 0 0 0 0 fxxx fxxx fxxx fxx fxxx fxxx fxx 1o17 2126 3235 434 5345 6567 767 0 0 0 (,,) (,,) (,,) (,) (,,) (,, ) (,) = = = = = = = X4X4 X7X7 1. x 1 4. x 3 6. x 5 3. x 2 5. final 7. x 6 2. final Ciclos Múltiplos Primeira entrada de x 7 : eq. 7 Primeira entrada de x 4 : eq. 4 Fechar o ciclo com a final mais próxima

Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas (a) 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 x 5 5. final 7. x 8 Escolha Conveniente Ciclo com 3 equações 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 x 5 5. final (b) 7. x 8 Escolha Inconveniente Ciclo com 4 equações Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações.

Eliminação de Ciclos 31. x 31 = 1 – x 11 * 32. x 32 = 1 – x 12 04. x 13 = k x 12 / [1 + (k – 1) x 12 ] 07. W 3 = W 1 * x 11 * r / x 13 01. W 2 = W 1 * x 31 / x 32 02. W 1 * x 11 * – W 2 x 12 – W 3 x 13 = 0 x 12 Equação Final 02. W 1 * x 11 * – W 2 x 12 – W 3 x 13 = 0 W 2 da eq.01: 02’. W 1 * x 11 * - [W 1 * x 31 / x 32 ] x 12 – W 3 x 13 = 0 W 3 da eq. 07: 02’. W 1 * x 11 * - [W 1 * x 31 / x 32 ] x 12 – [W 1 * x 11 * r / x 13 ] x 13 = 0 x 13 da eq. 04 e x 32 da eq.32: 02’. x 12 = x 11 * (1 – r) / [x 31 + x 11 * (1 – r)] x 31 calculado antes do ciclo 31. x 31 = 1 – x 11 * 02’. x 12 = x 11 * (1 – r) / [x 31 + x 11 * (1 – r)] 32. x 32 = 1 – x 12 04. x 13 = k x 12 / [1 + (k – 1) x 12 ] 07. W 3 = W 1 * x 11 * r / x 13 01. W 2 = W 1 * x 31 / x 32 Sequência com Ciclo Sequência sem Ciclo Substituição Algébrica

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações). Motivação para estudar os equipamentos isolados Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação que integram o programa de análise do processo. Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas. Analogia: estudar os instrumentos isoladamente antes de compor a melodia para a orquestra

ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS Projeto e Análise dos Equipamentos de Processo Reatores Trocadores de calor Separadores Torres de destilação Torres de absorção Extratores Cristalizadores Filtros Outros... Instrumentos de Controle Automático Tratamento compartimentado!

Dimensões dos principais Equipamentos. Consumo de utilidades matérias primas e insumos Especificações de projeto Modelo Matemático  previsão Dimensões dos principais equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Econômico  avaliação Lucro No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação

1.6.4 Análise Genericamente: análise significa - decompor um todo em suas partes, - depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes. PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE

W6T6W6T6 W 10 T 10 W 13 T 13 W 11 T 11 W8T8W8T8 W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 W7T7W7T7 W5T5W5T5 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 W 12 T 12 W 14 T 14 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 VdVd AeAe AcAc ArAr Alimentação Vapor Água Benzeno Produto Condensado W 15 T 15 Para analisar o Processo

W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 RESFRIADOR 10 11 12 13 ArAr Água W 13 T 13 W8T8W8T8 W5T5W5T5 W 12 T 12 CONDENSADOR 5 8 9 AcAc Água W 10 T 10 10 Benzeno W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 EVAPORADOR 4 67 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 Fragmentando o Processo W 14 T 14 MISTURADOR 14 15 Benzeno W 15 T 15 13

W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 RESFRIADOR 10 11 12 13 ArAr Água W 13 T 13 W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 W8T8W8T8 W5T5W5T5 W 12 T 12 CONDENSADOR 5 8 9 AcAc Água W 10 T 10 10 Benzeno W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 EVAPORADOR 4 67 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato O Processo fragmentado... W 14 T 14 MISTURADOR 14 15 Benzeno W 15 T 15 13

Segue a análise de cada equipamento através de problemas de dimensionamento e de simulação

01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. Balanço Material do Benzeno: W 15 - f 23 = 0 03. Balanço Material da Água: f 31 - f 32 = 0 04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x 13 - k x 12 = 0 05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 T d ) = 0 06. Balanço de Energia: (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. Equação de Dimensionamento: V d -  (f 11 /  1 + W 15 /  2 + f 31 /  3 ) = 0 08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f 13 / f 11 = 0 09. Fases em Equilíbrio T 2 – T d = 0 10. Fases em Equilíbrio T 3 – T d = 0 EXTRATOR W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 34. Vazão Total na Corrente 1: f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. Fração Mássica na Corrente 1: x 11 - f 11 / W 1 = 0 36. Vazão Total na Corrente 2: f 12 + f 32 – W 2 = 0 37. Fração Mássica na Corrente 2: x 12 - f 12 / W 2 = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 / W 3 = 0

Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 o C, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 o C. DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR O Extrator, antes apenas uma figura, agora passa a existir, com o seu volume W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 

Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 o C, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 o C. W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W * 1 = 100.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T * 15 = 25 o C  * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 15 VdVd DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR Por enquanto, o extrator é apenas uma figura (não existe)

Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 o C, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 o C. W * 1 = 100.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T * 15 = 25 o C  * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = 99.880 kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = 99.800 kg/h W 3 = 37.490 kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.370 kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = 99.800 kg/h W 15 = 37.370 kg/hW 15 V d = 11.855l Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 ! Metas de Projeto Máximo = 2 V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0 DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR O Extrator, antes apenas uma figura, agora passa a existir, com o seu volume

Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE Quando ocorre um ciclo, o programa busca uma equação final de cima para baixo e toma a primeira que encontra (no caso, a eq 02)

Montagem da rotina Dimensionar Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado) f11 = x11 * W1 '35 f13 = r * f11 '08 f12 = f11 - f13 '01 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W = Cp1 * f11 + f31 a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l) b = W * (T15 + 75) - f13 * Cp2l * (T15 + 75 + 25 / x12) c = f13 * Cp2l * (T15 + 75) discr = Sqr(b ^ 2 + 4 * a * c) x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura) W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo) k = x13 / x12 '04 f23 = W3 - f13 '38 Td = 25 * (k - 3) '05 W15 = f23 '02 (Final do Ciclo) Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 T2 = Td '09 T3 = Td '10 Aqui aparece a sequência com a eq. 06 como final e x13 var. de abertura

Uma vez dimensionado, o Extrator pode ser submetido a um “test-drive” para ver como se comporta (grau de violação das metas) com diferentes condições de entrada. Por simulação

Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de V d = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). SIMULAÇÃO DO EXTRATOR W * 1 = 100.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C  * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = 99.880 kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = 99.800 kg/h W 3 = 37.490 kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.370 kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = 99.800 kg/h W 15 = 37.370 kg/hW 15 V d = 11.855l Extrator dimensionado

Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de V d = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W * 1 = 100.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C 1 15 Alimentação Extrat o 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 V * d = 11.855 l W * 15 = 50.000 kg/h T * 15 =25 o C r =  = SIMULAÇÃO DO EXTRATOR G = 0 ! W * 1 = 100.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C  * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = 99.880 kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = 99.800 kg/h W 3 = 37.490 kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.370 kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = 99.800 kg/h W 15 = 37.370 kg/hW 15 V d = 11.855l Extrator dimensionado Extrator preparado para simulação

Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE Quando ocorre um ciclo, o programa examina as equações de cima para baixo e toma a primeira candidata como eq. Final (no caso, a eq 04)

f23 = W15 '02 f11 = W1 * x11 '35 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3 b = W15 * Cp2l Td = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06 Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 k = 3 + 0.04 * Td '05 T2 = Td '09 T3 = Td '10 a = k - 1: 'Cells(24, 7) = a b = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = b c = f11 * f32: Cells(26, 7) = c discr = Sqr(b ^ 2 - 4 * a * c): 'Cells(27, 7) = discr f12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Abertura f13 = f11 - f12 '01 Início do Ciclo W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W3 = f13 + f23 '38 x13 = f13 / W3 '39 Final de Ciclo r = f13 / f11 '08 Montagem da rotina Simular Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado) Aqui aparece a sequência com a eq. 04 como final e f12 var. de abertura

26. Balanço Material da Água: W 11 - W 12 = 0 27. Balanço Material do Benzeno: W 10 - W 13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Q r - U r A r  r = 0 31. Definição do  T Médio Logarítmico (  r ):  r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 ) ] / ln[(T 10 - T 12 ) / (T 13 - T 11 )] = 0 RESFRIADOR W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 10 11 12 13 ArAr Água W 13 T 13

DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 o C. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C. W 13 = T * 13 = 25 o C W * 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = T * 12 = 30 o C 10 11 12 13 ArAr Água W 11 = T * 11 = 15 o C W * 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = 59.969 kg/h T * 12 = 30 o C 10 11 12 13 A r = 362 m 2 Água W 11 = 59.969 kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = 36.345 kg/h T * 13 =25 o C V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

26. Balanço Material da Água: W 11 - W 12 = 0 27. Balanço Material do Benzeno: W 10 - W 13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Q r - U r A r  r = 0 31. Definição do  T Médio Logarítmico (  r ):  r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 RESFRIADOR W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 10 11 12 13 ArAr Água W 11 T 11

Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE

27. W 13 = W 10 29. Q r = W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) 28. W 11 = Q r / (Cp 3 (T 12 - T 11 )) 26. W 12 = W 11 d 1 = T 10 - T 12 : d 2 = T 13 - T 11 31. dr = (d 1 - d 2 ) / ln (d 1 / d 2 ) 30. A r = Q r / (U r dr ) Resultando a rotina DimensionarResfriador

SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m 2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W * 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = 59.969 kg/h T * 12 = 30 o C 10 11 12 13 A r = 362 m 2 Água W 11 = 59.969 kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = 36.345 kg/h T * 13 = 25 o C W * 10 = 20.000 kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = 59.969 kg/h T 12 = 24,5 o C 10 11 12 13 A * r = 362 m 2 Água W* 11 = 59.969 kg/h T* 11 = 15 o C W 13 = 20.000 kg/h T 13 = 16,8 o C Resultado do dimensionamento V = 11 N = 6 E = 5 G = 0 ! Resultado da simulação

Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE Logo de saída são ordenadas as duas EIU As 4 demais equações formam um ciclo. Qualquer uma pode ser escolhida como final. Por experiência, a única que permite e explicitação da variável de abertura é a 30.

Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE Este é o resultado apresentado pelo AOE com a equação 28 como final e  r como variável abertura.

Esta é a sequência com a equação 30 como final e Qr como variável de abertura.

Resultou a rotina SimularResfriador W12 = W11 '26 W13 = W10 '27 a =T10 – T11: b = 1/(W11*cp3) : c = 1/(W10*cp2l) : d = 1/(Ur * Ar) : e = exp ((c-d)/b) Qr = a*(e-1)/(c*e-b) ‘(30’) Var. Abert. T12 = T11 + Qr * a2 '28 T13 = T10 - Qr * a1 ‘29 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 If Abs(d1 - d2) < 0.00001 Then dr = d1 Else dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31

20. Balanço Material da Água: W 8 - W 9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W 5 - W 10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Equação de Dimensionamento: Q c - U c A c  c = 0 25. Definição do  T Médio Logarítmico (  c ):  c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 CONDENSADOR W5T5W5T5 W 10 T 10 W9T9W9T9 5 8 9 10 ArAr Água W8T8W8T8

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C. W * 5 = 36.345 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 T * 10 = 80 o C W 9 T * 9 = 30 o C 5 8 9 10 Água W 8 T * 8 = 15 o C AcAc W 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 228.101 kg/h T * 9 = 30 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = 36.345 kg/h T * 5 = 80 o C V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

20. Balanço Material da Água: W 8 - W 9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W 5 - W 10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Equação de Dimensionamento: Q c - U c A c  c = 0 25. Definição do  T Médio Logarítmico (  c ):  c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 CONDENSADOR W5T5W5T5 W 10 T 10 W9T9W9T9 5 8 9 10 ArAr Água W8T8W8T8

21. W 10 = W 5 23. Qc = W 5 2 d 1 = T 5 - T 9 : d 2 = T 10 - T 8 22. W 8 = Qc / (Cp 3 * (T 9 - T 8 )) 20. W 9 = W 8 25. dc = (d 1 - d 2 ) / ln (d 1 / d 2 ) 24. Ac = Qc / (Uc * dc) Resultando a rotina DimensionarCondensador

SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m 2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 o C. W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 W 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 228.101 kg/h T * 9 = 30 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = 36.345 kg/h T * 5 = 80 o C resultado do dimensionamento V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!! Pretendido na simulação

V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 o C. Daí: G = -1. W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2

V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo. Uma solução consiste em transformar W 8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set- point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = 20.000 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 35.718 kg/h T 9 = 67,7 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 35.718 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0

W 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 228.101 kg/h T * 9 = 30 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = 36.345 kg/h T * 5 = 80 o C resultado do dimensionamento W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = 20.000 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 35.727 kg/h T 9 = 67,7 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 35.727 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 resultado da simulação

21. W 10 = W 5 23. Qc = W 5 2 24. dc = Qc / (Uc Ac) 25.  c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 (Resolução por Bisseção) 22. W 8 = Qc / (Cp 3 (T 9 - T 8 )) 20. W 9 = W 8 Resulta a rotina SimularCondensador

11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 13 - f 14 = 0 12. Balanço Material do Benzeno: f 23 - f 24 - W 5 = 0 13. Balanço Material do Vapor: W 6 - W 7 = 0 14. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = 0 15. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = 0 16. Equação de Dimensionamento: Q e - U e A e  e = 0 17. Definição da Diferença de Temperatura (  e ):  e - (T 6 - T e ) = 0 18. Fases em Equilíbrio T 4 – T e = 0 19. Fases em Equilíbrio T 5 – T e = 0 EVAPORADOR W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 4 67 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato 38. Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 /W 3 = 0 40. Vazão Total na Corrente 4: f 14 + f 24 - W 4 = 0 41. Fração Mássica na Corrente 4: x 14 - f 14 /W 4 = 0

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 o C e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 o C. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 o C. O evaporador opera a 1 atm. W 6 T * 6 = 150 o C W 7 T * 7 = 150 o C W * 3 = 37.345 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 f 23 W 4 x * 14 = 0,10 T 4 f 14 f 24 4 6 7 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = 8.569 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.569 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 37.545 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.225 kg/h W 4 = 1.195 kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.076kg/h 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor W 5 = 36.150 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C V = 20 N = 13 C = 4 M = 3 G = 0 !

15. De = T 6 - T 35. f 13 = W 3 x 13 09. f 14 = f 13 34. f 23 = W 3 - f 13 37. W 4 = f 14 / x 14 36. f 24 = W 4 - f 14 10. W 5 = f 23 - f 24 13. Q e = (f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l ) (T - T 3 ) + W 5 L 2 12. W 6 = Q e / (L 3 + Cp3 (T 6 - T 7 )) 11. W 7 = W 6 14. A e = Q e / (U e De) Resulta a rotina DimensionarEvaporador

SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m 2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 o C). V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! pretendido na simulaçãoresultado do dimensionamento W 6 = 8.615 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.615 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 37.545 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.425 kg/h W 4 = 1.201 kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.081kg/h 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor W 5 = 36.344 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = 8.615 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = T * 7 = 150 o C W * 3 = 50.000 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.425 kg/h W 4 = x 14 = T 4 = f 14 = f 24 = 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor W 5 = T 5 = 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C

V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! W 5 = T 5 = W 6 = 8.615 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = T * 7 = 150 o C W * 3 = 50.000 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.425 kg/h W 4 = x 14 = T 4 = f 14 = f 24 = 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C Uma solução consiste em transformar W 6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. Situação semelhante à da simulação do condensador V = 20 N = 13 C = 6 M = 1 G = 0 W 6 = 8.569 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.569 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 50.000 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 160 kg/h f 23 = 49.840 kg/h W 4 = 17.177 kg/h x 14 = 0,0093 T 4 = 80 o C f 14 = 160 kg/h f 24 = 17.017 kg/h 4 6 7 Vapor W 5 = 32.823 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C A e = 124 m 2

resultado do dimensionamento W 6 = 8.569 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.569 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 37.545 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.425 kg/h W 4 = 1.201 kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.081kg/h 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor W 5 = 36.344 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = 8.569 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.569 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 50.000 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 160 kg/h f 23 = 49.840 kg/h W 4 = 17.177 kg/h x 14 = 0,0093 T 4 = 80 o C f 14 = 160 kg/h f 24 = 17.017 kg/h 4 6 7 Vapor W 5 = 32.823 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C A e = 124 m 2 resultado da simulação

15. De = T 6 - T 14. Q e = U e A e De 12. W 6 = Q e / (l 3 + Cp v * (T 6 - T 7 )) 11.W 7 = W 6 35. f 13 = W 3 * x 13 09. f 14 = f 13 34. f 23 = W 3 - f 13 13. W 5 = (Q e - (f 13 * Cp 1 + f 23 * Cp 2l ) * (T - T 3 )) / l 2 10. f 24 = f 23 - W5 36. W 4 = f 14 + f 24 37. x 14 = f 14 / W 4 Resulta a rotina SimularEvaporador

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem. É a estratégia mais indicada para dimensionamento. O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado. 3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global - Estratégia Modular

Dimensionamento do Processo – Estratégia Global 01. f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. W 15 - f 23 = 0 03. f 31 - f 32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k - x 13 / x 12 = 0 06. (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. V d -  (f 11 /  1 + W 15/  2 + f 31 /  3 ) = 0 08. r - f 13 /f 11 = 0 09. T 2 – T d = 0 10. T 3 – T d = 0 11. f 13 - f 14 = 0 12. f 23 - f 24 - W 5 = 0 13. W 6 - W 7 = 0 14. W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = 0 15. Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = 0 16. Q e - U e A e  e = 0 17.  e - (T 6 - T e ) = 0 18. T 4 – T e = 0 19. T 5 – T e = 0 20. W 8 - W 9 = 0 21. W 5 - W 10 = 0 22. Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Q c - U c A c  c = 0 25.  c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 26. W 11 - W 12 = 0 27. W 10 - W 13 = 0 28. Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Q r - U r A r  r = 0 31.  r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 32. W 13 + W 14 - W 15 = 0 33. W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = 0 34. f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. x 11 - f 11 /W 1 = 0 36. f 12 + f 22 – W 2 = 0 37. x 12 - f 12 /W 2 = 0 38. f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. x 13 - f 13 /W 3 = 0 40. f 14 + f 24 - W 4 = 0 41. x 14 - f 14 /W 4 = 0

Dimensionar Processo (03) T 3 = T 2 (13) T 4 = T 5 (16)  e = T 6 - T 5 (22) D 1 = T 5 - T 9 : D 2 = T 10 - T 8 :  c = (D 1 - D 2 ) / ln (D 1 / D 2 ) (32) f 11 = W 1 x 11 (08) f 13 = f 11 r (31) f 31 = W 1 - f 11 (01) f 12 = f 11 - f 13 (09) f 14 = f 13 (03) f 32 = f 31 (04) f 23 = f 13 f 32 / (k f 12 ) (34) W 4 = f 14 / x 14 (02) W 15 = f 23 (33) f 24 = W 4 - f 14 (05) T 15 = T 2 - (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T 2 ) / (W 15 Cp 2l ) (07) V d =  (f 11 /  1 + W 15 /  2 + f 31 /  3 ) (10) W 5 = f 23 - f 24 (14) Q e = (f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l ) (T 5 - T 3 ) + W 5  2

( 18) W 10 = W 5 (20) Q c = W 5 ( 2 + Cp 2l (T 5 - T 10 )) (12) W 6 = Q e / ( 3 + Cp 3 (T 6 - T 7 )) (15) A e = Q e / (U e  e ) (24) W 13 = W 10 (19) W 8 = Q c / (Cp 3 (T 9 - T 8 )) (21) A c = Q c / (U c  c ) (11) W 7 = W 6 (29) W 14 = W 15 - W 13 (17) W 9 = W 8 (30) T 13 = T 15 + W 14 (T 15 - T 14 ) / W 13 (26) Q r = W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) (28) D 1 = T 10 - T 12 : D 2 = T 13 - T 11 :  r = (D 1 - D 2 ) / ln (D 1 / D 2 ) (25) W 11 = Q r / (Cp 3 (T 12 - T 11 )) (27) A r = Q r / (U r  r ) (23) W 12 = W 11

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.4.2 Estratégia Modular

Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma. É a estratégia mais indicada para simulação. Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).

Simulação do Processo Ilustrativo Estratégia Modular

W 6 =8.594 kg/h T * 6 = 150 o C W 10 =36.284 kg/h T * 10 = 80 o C W 13 = 36.284 kg/h T 13 = 25 o C W 11 = 59.969 kg/h T * 11 = 15 o C W 8 = 232.603 kg/h T * 8 = 15 o C W * 1 = 150.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 = 300 kg/h f 31 = 149.700 kg/h W 7 = 8.594 kg/h T * 7 = 150 o C W 5 = 36.284 kg/h T * 5 = 80 o C W 3 = 37.477 kg/h x 13 = 0,004 T 3 = 25 o C f 13 = 149 kg/h f 23 = 37.328 kg/h W 4 = 1.130 kg/h x 14 = 0,12 T 4 = 80 o C f 14 = 150 kg/h f 24 = 1.080 kg/h W 12 = 59.969 kg/h T 12 = 29 o C W 12 = 232.603 kg/h T 12 = 29 o C W * 14 = 1.080 kg/h T * 14 = 25 o C W 2 = 149.850 kg/h x 12 = 0,001 T 2 = 25 o C f 12 = 150 kg/h f 32 = 149.700 kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 V * d = 11.859 l  = 0,0617 h r = 0,50 A * e = 124 m 2 A * c = 119 m 2 A * r = 361 m 2 W 15 = 37.328 kg/h T 13 = 25 o C O fluxograma exibe um reciclo. A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W 5 O valor inicial arbitrado para W 5 pode ser aquele obtido no Dimensionamento. Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o de Substituição Direta. Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possível de variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W 5 ).

Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular EXTRATOR RESFRIADOR MISTURADOR CONDENSADOR EVAPORADOR SS 18. W 10 20. Q c 19.  c 22'. T 9 21. W 8 17. W 9 24. W 13 23. W 12 25'. Q r 28. T 13 27. T 12 26.  r 29. W 15 30. T 15 02. f 23 32. f 11 31. f 31 03. f 32 05. T 2 07.  06. T 3 01' f 12 04. f 13 08. r W 1 T 1 x 11 f 11 f 31 W 15 T 15 W 45 T 14 W 13 T 13 W 10 T 10 f 13 f 23 T 3 W 4 T 4 x 14 f 14 f 24 09. f 14 13. T 4 16.  e 15. Q e 12. W 6 14. W 5 10. f 24 11. W 7 33. W 4 34. x 14 T5T5 T 2 f 12 f 32 W 5a W 5c Repetição até convergir |W 5c – W 5a | / W 5a   erro relativo

SUB SimularOProcesso '------------------------------------------------------------ ---------------- INPUT "W5= "; W5c W5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c)) NoDeIteracoes = 0 DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizer LOOP UNTIL Convergir END SUB

Simulação de Processos com Estrutura Complexa 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 Problema: Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador. Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação. A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.

Simulação de Processos com Estrutura Complexa 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c ) construção do algoritmo de simulação Dificuldade: os diversos reciclos

(a) Identificação dos Ciclos Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto) 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE). Corrente: 1 2 3 4 Destino : 1 2 3 1 Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado. Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4

(a) Identificação dos Ciclos 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 ALGORITMO RESUMIDO Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

MATRIZ CICLO - CORRENTE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 Os Ciclos encontrados são registrados na 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14

APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO

C: D: 345671 1*1* 2 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 8 14 123 54154123 541541 C: 1 2 3 5 D: 1 2 3 4 765765 8686 11 10 4 765765 8686 7 C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8 13 2 7 C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8 13 2 C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7 12 9 5 8686 11 10 4 C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7 12 9 5 8686 11 10 4 12 C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8 13 2 12 C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8 13 2 C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8 13 2 C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8 13 2 Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

(b) Seleção das Correntes de Abertura Matriz Ciclo - Corrente ALGORITMO Calcular os elementos de C Repetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3 C 000000000000 A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3 C 000000000000 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0 C 300000300000 A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 380000380000 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0 C 300000300000 A

(c) Construção do Algoritmo de Simulação 12345678 1*1* 2 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 3 Abrir C 3 REPETIR Simular E 3 (C 4,C 5 ) Simular E 1 (C 2 ) REPETIR Simular E 6 (C 10,C 11 ) Simular E 4 (C 6,C 7 ) Simular E 7 (C 9, C 12 ) Simular E 5 (C 8 ) ATÉ Convergir C 8 Simular E8 (C 13, C 14 ) Simular E2 (C 3 ) ATÉ Convergir C 3 Abrir C 8 Corrente 1: única conhecida

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos. 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4

3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE (a)modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza. A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis). Fontes de incerteza: Análise de Sensibilidade

(b) questionamento do desempenho futuro: (a) questionamento do próprio dimensionamento: A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento, Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o dimensionamento?

Fazem parte da Análise: - as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W 3, A.  : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp 1, Cp 3, U, W 1, T 1, T 3. Fundamento da Análise de Sensibilidade Exemplo: Trocador de Calor T 1 * = 80 o C W 1 * = 30.000 kg/h A = 265,6 m 2 T 2 * = 25 o C W 3 = 44.000 kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W 3, A. S (F;  i ): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro  i.  : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp 1, Cp 3, U, W 1, T 1, T 3. Fundamento da Análise de Sensibilidade  i * F ii Exemplo: A Sensibilidade é função do parâmetro 

Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e  i /  i * Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Nova definição de Sensibilidade: Exemplo

Sensibilidade de F/F * à incerteza em  i /  i * 1 F/F*  i /  i * F ii  i * F* 

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada Em processos complexos é impossível obter a derivada  aproximação linear

S(F/F * ;  i /  i * ) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em  i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

S (T 2 ;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686 S (T 4 ;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156 S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99 S(W 3 ;U) = 0 QUESTIONAMENTO DO PROJETO Re-dimensionamento com U = 101 QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHO Simulação com U = 101 DIMENSIONAMENTO ORIGINAL (BASE) T 1 * = 80 o C W 1 * = 30.000 kg/h A = 265,6 m 2 [U = 100] T 2 * = 25 o C W 3 = 44.000 kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C [U = 101] A = 262,93 m 2 T 1 * = 80 o C W 1 * = 30.000 kg/h T 3 * = 15 o C W 3 = 44.000 kg/h T 4 * = 30 o C T 2 * = 25 o C [U = 101] T 2 = 24,828 o C T 1 * = 80 o C W 1 * = 30.000 kg/h T 3 * = 15 o C W 3 * = 44.000 kg/h T 4 = 30,047 o C A * = 265,6 m 2

Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada): Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro: A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:

Questionamento do Projeto Sensibilidades de W 3, A e C T à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto: ii S(W 3 ;  i )S(A;  i )S(C T ;  i ) W1W1 110,93 T1T1 1,450,451,21 T3T3 1,010,560,88 Cp 1 110,93 Cp 3 - 10- 0,78 U0- 1- 0,13 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas. S(F;  ) 3,462,013,04

Questionamento do Projeto Sensibilidades de W 3, A e C T à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros: ii S(W 3 ;  i )S(A;  i )S(C T ;  i ) S(F;  ) 3,462,013,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W 3, A e C T estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T 2 e T 4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: ii S(T 2 ;  i )S(T 4 ;  i ) W1W1 0,800,32 T1T1 0,480,63 T3T3 0,480,37 W3W3 - 0,12- 0,47 A- 0,680,17 Cp 1 0,800,32 Cp 3 - 0,12- 0,47 U- 0,680,17 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas. S(F;  ) 0,961,04

Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T 2 e T 4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: ii S(T 2 ;  i )S(T 4 ;  i ) S(F;  ) 0,961,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T 2 e T 4, durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO

EXTRATOR: SIMULAÇÃO

EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO

EVAPORADOR: SIMULAÇÃO

EXEMPLO: convergência pela Bisseção 31. x31 = 1 – x11 32. x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x13 01. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 x12a 3204070201 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

f (x) x xi xs fs x1 f1 x2 f2 fi Esquema de convergência pela Bisseção 3204070201 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Até convergir

EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta 31. x31 = 1 – x11 32. x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x13 01. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 x12a 3204070201 x31 x32 x13 W3 W2 SD x12a = x12c x12c Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2

Um instrumento fundamental para a resolução de problemas ALGORITMO

ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema. O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da extração da raiz quadrada de um número. Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações). Algoritmos podem ser programas em computadores Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

Origem dos Algoritmos An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well. www.nist.gov/dads/html/algorithm.html

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 03 de julho de 2014.

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