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1 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 7 – Estruturas de dados do tipo árvore

2 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2 As estruturas de dados do tipo árvore são não lineares, ou seja, os elementos que as compõem não estão armazenados de forma sequencial e também não estão todos encadeados.

3 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3 Árvores

4 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4 Árvore binária Conjunto finito de elementos, em que cada um é denominado nó e o primeiro é conhecido como raiz. Pode estar vazio ou ser particionado em três subconjuntos: 1º subconjunto (nó raiz), 2º subconjunto (sub-árvore direita) e 3º subconjunto (sub-árvore esquerda).

5 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5

6 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6 As árvores binárias podem ser ilustradas de três formas:

7 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7 Propriedades da árvore binária: a) Todos os nós de uma sub-árvore direita são maiores que o nó raiz. b) Todos os nós de uma sub-árvore esquerda são menores que o nó raiz. c) Cada sub-árvore é também uma árvore binária. d) O grau de um nó representa o seu número de sub-árvores.

8 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8 e) Na árvore binária, o grau máximo de um nó é 2. f) O grau de uma árvore é igual ao máximo dos graus de todos os seus nós. g) Uma árvore binária tem grau máximo igual a 2. h) Nó pai: nó acima e com ligação direta a outro nó. i) Nó filho: nó abaixo e com ligação direta a outro nó. São os nós raízes das sub-árvores. j) Nós irmãos: são que possuem o mesmo nó pai. k) Nó folha ou terminal: nó que não possui filhos.

9 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9 Graus dos nós de uma árvore binária

10 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10 l) Nós ancestrais: estão acima de um nó e têm ligação direta ou indireta.

11 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11 m) Nós descendentes: estão abaixo de um nó e possuem ligação direta ou indireta.

12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12 n) Nós descendentes direito: estão abaixo de um nó, possuem ligação direta ou indireta e fazem parte da sub-árvore direita.

13 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13 o) Nós descendentes esquerdo: estão abaixo de um nó, possuem ligação direta ou indireta e fazem parte da sub-árvore esquerda.

14 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14 p) Nível de um nó: distância do nó raiz. q) Altura ou profundidade da árvore: nível mais distante da raiz.

15 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15 r) Expressão que representa o número máximo de nós em um nível da árvore binária = 2 n, onde n é o nível em questão.

16 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16 s) Árvore estritamente binária: árvore em que todos os nós têm 0 ou 2 filhos. t) Expressão que representa o número de nós de uma árvore estritamente binária = 2n−1, onde n é o número de nós folha.

17 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17 u) Árvore completa: todos os nós com menos de dois filhos ficam no último e no penúltimo nível.

18 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18 v) Árvore cheia: árvore estritamente binária e completa.

19 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19 Na inserção, as propriedades da árvore devem ser obedecidas e todo novo nó é sempre uma folha. Na remoção, o filho da direita, que é o mais velho, assume o lugar do nó pai. Na consulta (em ordem, pré-ordem e pós- ordem), todos os nós são listados, alterando- se apenas a ordem.

20 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 20 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 20 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 20 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 20© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 20 - Consulta em ordem: cada árvore é mostrada com o ramo da esquerda, a raiz e posteriormente o ramo da direita. - Consulta pré-ordem: cada árvore é mostrada com a raiz, o ramo da esquerda e posteriormente o ramo da direita. - Consulta pós-ordem: cada árvore é mostrada com o ramo da esquerda, o ramo da direita e posteriormente a raiz.

21 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 21 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 21 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 21 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 21© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 21 Consultas em um árvore binária

22 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 22 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 22 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 22 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 22© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 22 Análise da complexidade As árvores em que cada nó possui um único filho têm altura máxima (igual a n). Segundo Markenzon (1994), uma árvore binária completa com n > 0 nós possui altura mínima h = 1 + └ log n ┘.

23 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 23 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 23 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 23 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 23© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 23

24 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 24 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 24 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 24 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 24© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 24 Na inserção, o nó sempre é inserido em uma folha, e deve percorrer todos os nós desde a raiz, até chegar a uma folha e acrescentar um filho, gastando nisso a altura da árvore, ou seja, O(log n). Na remoção, o pior caso é quando o nó está em uma folha no nível mais baixo. Gasta-se a altura da árvore para encontrá-lo, em uma árvore de altura mínima, e algumas operações de atualização de ponteiros, gerando complexidade O(log n).

25 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 25 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 25 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 25 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 25© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 25 Árvore AVL Criada em 1962 por Adelson-Velsky e Landis, é uma árvore binária balanceada que obedece a todas as propriedades da árvore binária e em que cada nó apresenta diferença de altura entre as sub-árvores direita e esquerda de 1, 0 ou –1.

26 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 26 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 26 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 26 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 26© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 26 Árvore AVL

27 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 27 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 27 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 27 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 27© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 27 Se a diferença de altura entre as sub-árvores de um nó é maior que 1 ou menor que –1, a árvore está desbalanceada e haverá uma rotação.

28 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 28 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 28 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 28 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 28© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 28 Análise da complexidade O custo das operações é semelhante ao das árvores binárias. Ao se inserir um novo nó u, o pai desse nó (chamado v) terá a altura de uma de suas sub-árvores alterada. É necessário checar se a sub-árvore de raiz v está desbalanceada. Isso se faz subtraindo-se as alturas das duas sub-árvores de v, cujos valores estão armazenados no próprio nó v. Em caso de desbalanceamento, deve-se realizar uma rotação simples ou dupla.

29 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 29 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 29 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 29 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 29© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 29 Outros nós (além do v) no caminho de v até a raiz podem também ficar desbalanceados e a verificação deverá ser feita. O percurso do nó até a raiz é feito em O(log n) passos. A exclusão de algum nó também pode ser feita em O(log n) passos. Depois, deve-se verificar se a árvore ficou desbalanceada e examinar os nós no caminho da raiz até alguma folha. O número de rotações necessárias pode alcançar a ordem O(log n).