Cálculo tensorial e elementos de geometria

Apresentação em tema: "Cálculo tensorial e elementos de geometria"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo tensorial e elementos de geometria
René Decartes Cálculo tensorial e elementos de geometria diferencial para relatividade. Túlio Levi-Civita

2 Imagine um sistema de coordenadas cartesiano.
Vamos representar um vetor V neste sistema.

3 Agora, imagine um sistema de coordenadas não ortogonal.
Neste novo sistema de coordenadas vamos descrever o mesmo vetor V.

4 Num sistema de coordenadas não ortogonal é possivel descrever um
vetor V por dois modos. Por produto escalar com a base. Ou por projeção do vetor V na base.

5 Descrever o vetor V por produto escalar com a base não ortogonal
é simbólicamente representado pela expressão:

6 Vamos descrever o vetor V por projeção paralela!
Obs: índices repetidos serão somados.

7 A forma por não depende nunca da escolha do sistema de
referência escolhido pois V e o versor ei são formas simbólicas. é a forma covariante.

8 Na forma por projeção paralela
os valores de ai na expressão dependem do versor ei . é a forma contravariante.

9 Descrever as leis da física na forma covariante significa em
fazê-la independer do referencial escolhido que é a essência do primeiro postulado da relatividade restrita. A forma contravariante se presta para algebrizar as quantidades físicas em estudo entretanto covariante ou contravariante são formas equivalentes de se representar um vetor num sistema de coordenadas não ortogonal genérico, p. ex.:

10 Vamos realizar o produto escalar do vetor , i.é. na forma
contravariante por ele mesmo. e aproveitamos fazendo Reescrevemos o produto escalar: Se o vetor V for uma quantidade infinitésima na forma ds: Esta é a forma mais geral de se representar a distância entre dois pontos. Obs: índices repetidos serão somados.

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16 Contravariante

17 Covariante e contravariante
Coordenadas covariantes.

18 Ortogonal covariante e
contravariante

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