1 3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1 A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbrio termodinâmico local (ETL) no interior estelar grandes simplificações:

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1 1 3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1 A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbrio termodinâmico local (ETL) no interior estelar grandes simplificações: »» pode-se escrever: (3.15) e (3.16) No caso do Sol, em

2 2 »» O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é: (3.17) onde seção eficaz de interação. Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons, 1016 10 18 cm 2. Para interações de fótons com elétrons ou íons, 10 24 cm 2. »» Define-se o peso molecular médio como o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional) u.m.a. 1,661 x 10 -24 g

3 3 Exemplos de valores de : H ionizado: = ½ ( / part.) = ½ m H Copo dágua: 18 Atmosfera da Terra: 29 »» Define-se a Densidade Numérica média n de partículas como: onde m H é a massa do átomo de H, A densidade numérica de partículas no interior estelar é, (3.18)

4 4 »» Com esses valores de n, ~ 10-7 cm para interações entre partículas e ~ 1 cm para interações envolvendo fótons. Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de P e T (eqs. (3.15) e (3.16) ) e variação muito pequena desses parâmetros em alguns : no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm), ou, e CONCLUSÃO ??

5 5 CONCLUSÃO: P e T podem ser consideradas CONSTANTES nas regiões onde acontecem as interações EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO 3.6: A Variação da Energia com r »» Seja a taxa de produção de energia nuclear (erg g 1 s 1 ) na região central da ; sua luminosidade L pode ser escrita: Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura » Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura dr (figura 2.1)

6 6 e (3.19) (euler), variação radial de L ; ou, (3.20) (lagrange) Sendo L(r ) e L(r + dr) as energias/seg emitidas em r, e r + dr, e os valores locais, pode-se escrever:

7 7 »» Ordens de grandeza: De (3.19), com, deduz-se que: (3.21). Para o Sol,, o que permite escrever-se: para Estrelas em geral. Ex: SP

8 8 »» Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, 8 (3.20), pode-se escrever: dL = є dM FÍSICA ?? »» Implementações na eq. (3.20) : inclusão dos neutrinos e caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq. de variação radial de L completa será: (3.21)

9 9 III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR 9 (continuação) 3.8: O Gás de Elétrons Três simplificações importantes: ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito* 3.8.1: Gases Perfeitos (GP): Um entre partículas << energia térmica delas Quando isso ocorre? escrita : ---------------------------- * num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas. (isto é, não existem forças de atração/repulsão intermoleculares).

10 10 Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito. »» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é: (3.22), sendo k a cte. de Boltzmann. » Em termos do número total de partículas N no volume V,, sendo o nº de moles, o nº. de Avogadro e R= 8,31 x 10 7 erg K -1 mol -1 é a constante dos gases. Como, segue que

11 11 »» INFORMAÇÃO PRÁTICA: um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas. »» Comparação entre as E térmica e E c de interação coulombiana num GP: para partículas com separação média de r, (3.22), sendo. o volume ocupado por uma partícula é e seja e T ~10 7 no interior estelar; com isso, e ;

12 12 » Por outro lado, ~ (3/2) kT ~ 10 -9 erg ~ 10 3 eV, isto é, E c << E t Se a condição acima não for satisfeita, desvio clássico do GP Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta, criação de pares 3.8.2: Funções de Distribuição »» A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia depende da estatística aplicada. a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a estatística de Maxwell-Boltzmann:

13 13 (3.23), sendo o peso estatístico do nível E, nº de configurações com energia E /cm 3. é o fator de degenerescência, que é f(n). » Para baixas densidades, e para altas, ; Para fótons,. b) Para partículas idênticas e indistinguíveis de spin semi-inteiros ( férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:

14 14 (3.24) c) Para partículas idênticas e indistinguíveis, de spin inteiro (bósons), como fótons, partículas alfa e mésons, há que aplicar-se a estatística de Bose-Einstein: (3.25) »» Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de ocupação, ou índice de ocupação f(E) = n(E)/g(E), que é ~

15 15 ~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E. Para a distribuição de MB, e se (baixas densidades), f(E) << 1. »» O que mais nos ocupará no interior estelar? a P g é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a Estatística de FD; nesse caso, (3.26) E nas altas densidades em questão, e obtemos, O que não é novidade. PORQUE??

16 16 » Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n ), FD MB 3.8.3: Pressão de um Gás Perfeito PRESSÃO TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO P = F / unidade de área taxa de transferência de QM; » Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás; Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será: (ver Fig. 3.1)

17 17 Fig. 3.1 Seja o número de partículas com QM entre que incidem na superfície unitária/unid. de tempo, vindas de direções que fazem com a normal ângulos no intervalo ; Nessas condições, a Pressão no cone d pode ser escrita: e a pressão total no interior do gás será, (3.27) ;

18 18 » chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever (3.28), onde é a velocidade das ptclas. de QM a componente de v ao longo da normal n. »» Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA ângulo sólido subtendido pela figura 3.1 ; daí, = dS/r 2 e como teremos que =2 sin d e (3.29) sendo a densidade de ptclas. com QM entre

19 19 » de 3.27, 3.28 e 3.29, (3.30), para cuja integração temos de conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada. da eq. 3.30 EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas. »» Estamos interessados no momento num gás de elétrons ; Não muito próximo ao centro da, pode-se considerar que, isto é, FD MB, e a estatística dos e - pode ser escrita: (3.31), sendo n = densidade total de ptclas./cm 3 e

20 20 »» Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico, não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será: (3.32), sendo (é possível mostrar que o termo = 1, o que nos faz recuperar (3.22). 3.8.4: O Peso Molecular Médio A equação de estado de um gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode ainda ser escrita na forma que, com, sendo µ o peso molecular médio e.

21 21 » Nessas condições. Podemos definir µ como (3.33) ou seja, µ é a massa média das partículas do gás, em unidades de m H. »» Chamando X, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados, podemos obter uma relação µ(X, Y,Z) : EX.: um gás de H puro, completamente ionizado; a massa de H por cm 3 é, o número de núcleos de H /cm 3 é e o número de partículas livres /cm3 é ; de 3.33, ; CASO GERAL : Tabela 3.1

22 22 »» Pode-se então escrever para a densidade total, sendo Z um valor médio.

23 23 » Com, resulta (3.34) e sendo, (3.35) EXs.: H puro: µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; metais puros: µ = 2; Gás totalmente ionizado: »»» Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à m e : µ

24 24 (3.35), que é o Peso Molecular /elétron livre. Análogamente ao H, pode-se escrever: (3.36) e com, (3.37) e (3.38). EXs.: H puro: µ e = 1; He puro: µ e = 2 ; Gás ionizado em geral: Tab. 3.2

25 25 3.8.5: Degenerescência »» A densidade de partículas de energia E e o índice de ocupação correspondente se relacionam por ;

26 26 » Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a densidade de estados = o número de estados por unidade de volume com energia entre E e E + dE. » No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente como o nº de estados /unidade de volume, tal que a componente do vetor esteja no intervalo, etc... » o Princípio de Heisenberg nos diz que: e a incerteza na posição associada a partículas de quantidade de movimento é: que dá um volume associado de incerteza de:

27 27 » Para que os estados possam ser resolvidos e identificados, cada volume deve ser associado a um estado. portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do (volume de incerteza) -1, Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemos examinar a densidade de estados com entre, segue que: (3.39). dois graus de polarização

28 28 »» Como a pode ser escrita, de 3.39 (3.40) e sendo, pode finalmente ser escrita como: (3.41). ISTO É, À medida em que n, os e - são forçados a ocupar estados de maior, pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite estabelecido em (3.41).

29 29 MORAL DA HISTÓRIA?? Nesse caso, os e - de maior contribuição importante pressão do gás; é a chamada PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA. ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJA P Deg : Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3.2):

30 30 1) baixas n : é a de MB (curva a) [ n = f ( T )] 2) dobrando o nº de e - para a mesma T, também dobra n(p x ) (curva b) 3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3.41). As células de menor p são ocupadas primeiro e os e - adicionais terão de ocupar estados de > energia curva deformada, MB, f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes) 4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de p f ocupadas (f) Fig. 3.2

31 31 log T eff