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Obtenção e Tratamento de Dados
Laboratório de Engenharia
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Engenheiro determina e utiliza constantemente dados experimentais para:
Testar predições teóricas Analisar performances de processos Determinar modelos matemáticos (equações empíricas) para projeto de equipamentos Etc.
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O significado das conclusões obtidas a partir de nossos dados dependerá
Qualidade dos dados Metodologia de cálculo: modelos e métodos Qualidade dos resultados : Grau de exatidão requerida é estabelecido pelo uso que será dado a esses dados Pesquisa completas : no tempo e custo disponível
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Medidas: como processar resultados?
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Número de medidas: replicatas
Medida : resultado de uma medição, acompanhado da unidade conveniente. Usualmente: 3 Porém isto depende da incerteza da medição e da dificuldade de obtenção do dado (custo e tempo)
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Exemplo de resultados em triplicata
Textura de géis lácteos e de goiaba
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Tipos de erros GROSSEIROS
Falhas do operador: engano na leitura da medida ou troca de unidades Mais cuidado na realização das medidas SISTEMÁTICOS ACIDENTAIS ou ALEATÓRIOS Pessoais: imperícia, cansaço ou distração. Enganos (fortuitos) na leitura das escalas. Diferenças grandes entre as amostras (produtos naturais) Conduzem a resultados díspares dos restantes (necessidade de realizar várias medidas experimentais) Instrumentais: calibração Método usado Pessoais Ambientais Podem ser corrigidos ou parcialmente compensados
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Avaliação da dispersão dos dados
EXATIDÃO PRECISÃO ………..afetada……….. Erros Sistemáticos Erros Acidentais ou Aleatórios Exemplos (medida exata mas não precisa) (medida precisa mas não exata, ou seja, a medida pode não estar próxima ao valor real, mas o desvio entre as medidas é baixo )
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Erros e desvios: diferença
Incerteza nas medidas Erro: diferença entre valor medido e o real Desvio: diferença entre o valor medido e o que mais se aproxima do real - dispersão dos valores
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Interpretação das medidas: valor médio e desvio
Valor médio ou média aritmética: x1, x2, …, xn – medidas experimentais n – número de medidas Desvio de cada medida:
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Interpretação das medidas: desvio padrão, médio e absoluto
Dispersão n pequeno (menor que 10) n elevado (distribuição normal) Desvio médio (dm) Desvio absoluto (da) Desvio padrão (s)
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Interpretação das medidas: distribuição normal
Média 1 DP 1 DP 34% 34% 2 DP 2 DP 3 DP 3 DP 68,3% 95,5% 99,7%
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Método Student Quando o número de pontos experimentais que se conta para calcular a media é baixo, a estimativa do descio padrão por não da uma boa estimativa do Pode demostrar-se que o intervalo de confiança para uma dada probabilidade P:
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Distribuição do t de student
grau de liberdade/ P 0,5 0,7 0,9 0,95 1 1,963 6,3 12,7 2 0,816 1,386 2,92 4,303 3 0,765 1,250 2,353 3,182 4 0,741 1,190 2,132 2,776 5 0,727 1,156 2,015 2,571 Grau de liberdade= n-1 P= probalidade de achar a media num intervalo de confiança eo
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Interpretação das medidas: Incerteza
Incerteza absoluta (mesma amostra): Incerteza relativa (diferentes amostras): Apresentação do resultado de uma medida:
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Interpretação das medidas: avaliação dos resultados
- Dx + Dx Xv Xv Resultado não aceitável Resultado aceitável
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Medidas indiretas: propagação de erros
Grandeza G é função das variáveis gi (ex: propriedades físicas): G = f ( g1, g2, ..., gn ) g1, g2, ..., gn – grandezas obtidas por medição direta Dgi - incerteza absoluta da grandeza gi Valor médio da grandeza G: G = f ( 1, 2, ..., n )
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Medidas indiretas: propagação de erros
Equação de Propagação de Erros
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Seja a função uma somatória:
Supor os erros sempre com o mesmo sinal: estimativa conservadora
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Função: Dividindo por G
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Quando na função aparecem potencias :
Para esta função ( G=A.y.z/w): o erro de relativo de G : somatória do erros relativos das variáveis Quando na função aparecem potencias :
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Dividindo por G
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Logo em geral: As variáveis com maiores erros relativos terão maior influencia na função G determinada Maior é a potencia a qual a variável está afetada maior será a influencia do erro da medida desta variável
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Medidas indiretas: algarismos significativos
O Cálculo da Incerteza Absoluta permite determinar o número de Algarismos Significativos da grandeza medida
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Algarismos significativos: definição
Natureza do instrumento (sensibilidade ou precisão do instrumento) (valor da menor divisão da escala do instrumento) algarismos exatos + 1º algarismo duvidoso (metade da menor divisão) Algarismos significativos
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Algarismos significativos: exemplo
l = 29,4 mm algarismo avaliado (duvidoso) lido por estimativa
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Medidas em equipamentos mais complexos: podem resultar que a precisão da medida seja inferior a escala do elemento de medida: Exemplos : flutuação num manômetro instalado numa tubulação causada pela variação da vazão de fluido que escoa na mesma Mudanças rápidas nas características de uma amostra( evaporação)
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Algarismos significativos: regras
I - O algarismo zero só é significativo se situado à direita de um outro algarismo significativo (diferente de zero) Exemplos… 0, algarismos significativos algarismos significativos
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Com quantas cifras significativas posso dar meu resultado????
Media da medida 15,04467???? A estimativa do erro me da quais são as cifras significativas 15, ,15 Estimativa do erro (geralmente com dois cifras significativas 0,15
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Regras de arredondamento
Como descartar as cifras não significativas Quando a cifra significativa ( posição n) é maior que 5 se acrescenta 1 na cifra n-1 Quando é menor que 5 ( posição n) , a cifra em n-1 não é alterada Quando é igual a cinco se arredonda para dar um número impar Exemplo: 15,04444±0, ,04 15,0583±0, ,06 15,0453±0, ,05 15,0753±0, ,07
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Algarismos significativos: regras simplificadas
II- Operações: 1) Adição e subtração - número de casas decimais igual ao da parcela com menor número de casas decimais Exemplo 1 6,4 + 3, ,15 = 31,7 ≈ 31,8 Exemplo 2 7, ,3 = 6,6 ≈ 6,6
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Algarismos significativos: regras simplificadas
2) Multiplicação e divisão - mesmo número de algarismos significativos do fator com menor número de algarismos significativos Exemplo 1 3,6 x 0,03 = 0, 108 ≈ 0, 1 Exemplo 2 700 : 15 = 46,6(6) ≈ 47
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Equação também é valida para erros padrão e variância
Para calcular em forma mais exata o número de cifras significativas de G: deveria utilizar a anterior equação
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Diferenças significativas entre resultados
Uso do teste-F para avaliar diferenças significativas. Havendo diferenças significativas realizam-se testes de comparação múltipla: Newman-Keuls (Newman, 1939, Keuls, 1952) Tukey (Tukey, 1953) Scheffé (Scheffé, 1953; 1959) Dunnett (Dunnett, 1955) O teste de Tukey é o mais usado.
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Tratamento de dados: análise gráfica
Representações gráficas são empregadas para: Ajudar a visualizar o processo Representação dos dados quantitativos , equação teórica ou empírica Comparar os dados experimentais com modelos teóricos ou empíricos
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Tratamento de dados: análise gráfica
A forma do gráfico traduz o tipo de relação matemática entre as variáveis Um gráfico com a forma de uma reta fornece-nos a constante de linearidade entre duas variáveis em análise
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Análise gráfica: vantagens
Análise da dispersão das leituras Pouco disperso Muito disperso Análise de erros no método gráfico: mínimos quadrados e coeficiente de correlação (R2)
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Análise gráfica: regressão linear
Inclinação da reta Intercepto Variável Independente Variável Dependente Yi=0+1Xi Yi i X Y b0 1 Coeficiente angular Ŷi=b0+b1Xi i =Yi-Ŷi Modelo estimado Resíduo
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O método minimiza a somatória dos quadrados em função de a e b
Análise gráfica: regressão linear( quadrados mínimos) Foram realizadas medidas de y (variável dependente) vs. x( variável independente ) Propõe -se uma equação linear Y= variável estimada ; y=variável medida O método minimiza a somatória dos quadrados em função de a e b
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Encontrando os mínimos em relação as constantes
Resultam os valores de a e b
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Análise gráfica: regressão não-linear
Modelos não-lineares: Linearizável Equação pode ser convertida em modelo linear. Não linearizável A transformada em modelo linear não é possível.
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Modelos não lineares “linearizáveis”
Diversos modelos: Polinomial Lei da potência Exponencial Logaritímico
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Modelos não lineares: polinomial
Parabólico: Cúbico e de ordens mais elevadas: Regressão linear múltipla.
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Modelos não lineares: Lei da Potência
Equação do tipo lei da Potência: Aplicando logaritmos:
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Modelos não lineares: Exponencial
Modelo de crescimento exponencial: Linearizado:
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Modelos não linearizáveis
Alguns modelos não podem ser linearizados. - Curva de inativação microbiana: Ou modelos de difícil linearização como resolução de equações diferenciais
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Modelos não linearizáveis
Parâmetros do modelo (não linear) são estimados por otimização usando critério dos mínimos quadrados Programas de quadrados mínimos não lineares: Statistica, Origin, etc.
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Modelos não linearizáveis: resolvendo o problema
Usando o Excel...
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