Como analisar um algoritmo

Apresentação em tema: "Como analisar um algoritmo"— Transcrição da apresentação:

1 Como analisar um algoritmo
AULA 2 Profa. Sandra de Amo Disciplina: Análise de Algoritmos Pós-graduação em CC- UFU

2 Análise de um Algoritmo
O que é analisar um algoritmo ? Determinar sua eficiência quanto ao tempo de execução quanto à quantidade de memória utilizada para executar o algoritmo Modelo para a Análise da complexidade: Modelo RAM (Random Access Machine) Operações executadas em sequência Não há execuções simultâneas 2

3 Análise de um Algoritmo
Input = x Tamanho de x = n T(n) = tempo que o algoritmo leva para parar ao ser executado no input de tamanho n. T(n) = número de operações atômicas realizadas pelo algoritmo até parar multiplicado pelo tempo de cada operação atômica. Operações atômicas = custo em tempo é constante Objetivo: Avaliar como cresce T(n) à medida que n cresce. Que operações atômicas considerar no cálculo de T(n) ? 3

4 Que operações atômicas ?
Operações aritméticas Soma, subtração, multiplicação, divisão, resto, piso, teto Movimentação de dados: Carregar, armazenar, copiar Controle Desvio condicional e incondicional Chamada e retorno de subrotinas

5 T(n) T(n) T(n) = an + b T(n) = an2 T(n) = a2n n T(n) n T(n) n

6 Exemplo: Algoritmo Insert-Sort para o problema de ordenação de sequências
Problema: (Ordenação de uma sequência) Input: sequência de n números A = <a1,...,an> Output: B = <b1,...,bn>, onde B é uma permutação de A e b1≤ b2 ≤ ... ≤ bn Projeto de um Algoritmo

7 Ideia Para j = 2,..., n Carta-chave = carta da posição j
Faça CHAVE = valor da posição j Enquanto CHAVE < valor da posição anterior (Compara CHAVE com os valores das posições anteriores a j até encontrar posição adequada onde inserir a carta-chave) Troca valor da posição anterior com o valor da chave (saida do loop) Quando CHAVE >= valor da posição anterior Insere carta-chave em frente da posição correta encontrada

8 Ideia traduzida em pseudo-código
Insertion-Sort (A) Entrada : A = array [a1,...,an] For j  2 to n do chave  A[j] i  j – 1 While i > 0 e A[i] > chave do A[i+1]  A[i] i  i - 1 A[i+1]  chave % Procura lugar na sequência ordenada A[1...j-1] onde inserir a chave Insere a carta-chave Na posição correta na sequência A[1...j-1] Algoritmo é executado in place : Espaço necessário = espaço da entrada + espaço das variáveis Chave, j, i Complexidade em Espaço = constante (=3) (não se conta o espaço ocupado pela entrada)

9 Análise do pseudo-código
Num. Passo Descrição tj = número de vezes que o teste do loop 4 é executado. Custo Vezes 1 Para j = 2,..., n c1 n 2 do chave  A[j] c2 n-1 3 i  j – 1 c3 4 While i > 0 e A[i] > chave c4 Σnj=2 tj 5 do A[i+1]  A[i] c5 Σnj=2 (tj – 1) 6 i  i - 1 c6 7 A[i+1]  chave c7

10 Algoritmo Insertion-Sort
T(n) = custo temporal do algoritmo em função do tamanho da entrada (=n) T(n) = c1.n + c2(n-1) + c3(n-1) + c4(Σnj=2 tj) + c5(Σnj=2 (tj-1)) + c6(Σnj=2 (tj-1)) + c7(n-1) T(n) depende de tj O valor de tj depende do “grau de desordenação” da entrada.

11 Algoritmo Insertion-Sort
Melhor caso: a entrada está corretamente em ordem crescente. tj = 1, para j = 2,...,n T(n) = c1.n + c2(n-1) + c3(n-1) + c4(n-1) + c7(n-1) = (c1+c2+c3+c4+c7)n – (c2+c3+c4+c7) Pior caso : a entrada está ordenada de forma reversa (descrescente) tj = j, para j = 2,...,n Σnj=2 j = [n(n+1)/2] – 1 T(n) = c1.n + c2(n-1) + c3(n-1) + c4([n(n+1)/2] – 1) + c5([n(n-1)/2]) + + c6([n(n-1)/2]) + c7(n-1) = = (c4/2 + c5/2 + c6/2)n2 + (c1+c2+c3 - c4/2 - c5/2 - c6/2 + c7)n - (c2 + c3 + c4 + c7)

12 Algoritmo Insertion-Sort
Caso médio: tj = j/2, para j = 2,...,n Exercício: Determinar o valor de T(n) para o caso médio.

13 Notação O Notação O é utilizada para ter uma estimativa superior do tempo T(n) de execução, em termos de funções do tipo nk, logn, 2n, cujas tendências de crescimento seguem padrões distintos. No melhor caso: T(n) = O(n) No pior caso: T(n) = O(n2)

14 Notação O T(n) = O(f(n)) se
existe c > 0, existe inteiro n0 > 0 tal que para todo n ≥ n0 T(n) ≤ c f(n) f(n) T(n) n0 O que importa é o comportamento de T(n) e f(n) para VALORES GRANDES DE n Se T(n) = O(f(n)) : T(n) e f(n) se comportam de forma semelhante no infinito, a menos de uma constante. Isto é, T(n) e f(n) crescem de forma semelhante.

15 Exemplos 1) Seja f(n) = 5n3 + 2n2 + 22n + 6 Mostrar que f(n) = O(n3)
2) Em geral se f(n) é um polinômio de grau k então f(n) = O(nk) 3) Mostrar que 2n = O(n!)

16 Aritmética Assintótica
O(f(n) + g(n)) = O(f(n) + O(g(n)) O(nk1) + O(nk2) = O(nk1) se k1 ≥ k2 aO(f(n)) = bO(f(n)) = 2O(f(n)) para quaisquer a,b

17 Algoritmo Bubble-sort
Ideia: 4 4 4 4 4 2 2 2 3 3 3 3 2 4 4 3 8 8 8 2 3 3 3 4 7 7 2 8 8 8 7 7 2 2 7 7 7 7 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9

18 Pseudo-código custo vezes 1 c1 n 2 c2 Σ i=1 (n-1) ti 3 c3
4 c4 x < ti -1 ti = n - i

19 Análise da complexidade do pseudo-código
custo vezes 1 c1 n 2 c2 Σ i=1 (n-1) ti 3 c3 Σ i=1 (n-1) (ti-1) 4 c4 x < ti -1 T(n) = c1n + c2 Σ i=1(n-1) ti + c3 (Σ i=1(n-1) (ti-1)) + c4x Mostrar que T(n) = O(n2) para todos os casos (pior, melhor e médio) ti = n - i

20 Fibonacci F(n) = F(n-1) + F(n-2) se n > 1 F(1) = 1 F(0) = 0
Cresce tão rapidamente como as potências de 2 F(n) ~ n É possivel computar F(n) de forma eficiente ?

21 Algoritmo fib1(n) T(n) = número de passos para computar fib1(n)
If n = 0 return 0 If n = 1 return 1 Return fib1(n-1) + fib1(n-2) T(n) = número de passos para computar fib1(n) T(0) = 1, T(1) = 2 Se n ≥ 2 : T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 3 Para todo n ≥ 0 T(n) > F(n) Prova por indução sobre n n = 0 T(0) = 1 > F(0) = 0 n = 1 T(1) = 2 > F(1) = 1 T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 3 > F(n-1) + F(n-2) + 3 = F(n) + 3 > F(n) Logo T(n) > F(n) ~ (20.694n ) ~ (1.6)n fib1 é exponencial

22 Algoritmo fib2(n) If n = 0 return 0 Create array f[0,...,n]
f[0] = 0, f[1] = 1 For i = 2,...,n f[i] = f[i-1] + f[i-2] Return f[n] fib2(n) = O(n) ; fib2 é linear