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TÉCNICAS DE CODIFICAÇÃO DE SINAIS
CÓDIGOS DE BLOCO Evelio M. G. Fernández
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Código de Bloco Linear
3
Código Dual de C(n, k)
4
Matriz Geradora, G
5
Matriz de Verificação de Paridade, H
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Códigos Duais
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Códigos Equivalentes
8
Códigos Sistemáticos
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Peso de Hamming
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Singleton Bound A distância mínima de qualquer código de bloco (n, k) satisfaz, Códigos cuja distância mínima cumpre com, são chamados de códigos de distância máxima (MDS: maximum-distance separable codes)
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Arranjo Padrão (Standard Array)
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Arranjo Padrão para Códigos Binários
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Sistema Codificado (simplificado)
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Síndrome
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Síndrome
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Tabela de Síndromes como Tabela de Decodificação
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Exemplo: Decodificador de um Código (6, 3)
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Tipos de Decodificadores
Três possíveis resultados da decodificação: Decodificação correta, ĉ = c Erro não corrigível detectado, c = indefinido Erro de decodificação, ĉ ≠ c Decodificação completa: Toda palavra recebida é decodificada em alguma palavra-código Decodificação incompleta (bounded-distance decoding): Correção de todos os padrões de erro de peso ≥ t.
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Códigos Perfeitos e Códigos Ótimos
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Exemplos de Códigos de Bloco
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Exemplos de Códigos de Bloco
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Exemplos de Códigos de Bloco
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Exemplos de Códigos de Bloco
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Espectro de Pesos para Códigos de Bloco
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Identidades de MacWilliams
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Códigos de Bloco Lineares Modificados
Comprimento de bloco de projeto de um código: determinado por propriedades algébricas e combinacionais de matrizes ou polinômios. Comprimento de bloco desejado: frequentemente diferente do comprimento de bloco de projeto. Exemplo: Comprimento de bloco de projeto de um código de Hamming: n = 2m 1 (7, 15, 31, ...) Número de bits de informação pode não ser k = 2m 1 m (4, 11, 26, ...) Existem seis formas de modificar parâmetros de um código de bloco linear (n, k, n k)
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Códigos Encurtados (Shortened Codes)
Encurtar: n k fixo, diminuir k e, portanto, n. Símbolos de informação são apagados para se obter um comprimento de bloco menor do que o comprimento de projeto. Os símbolos que serão apagados são supostos como sendo zeros das palavras-códigos Exemplo: Pacotes Ethernet têm no máximo 1500 bytes de dados ou bits. O checksum Ethernet de 32 bits provem de um código de Hamming com n = 232 1 = bits ou bytes.
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Códigos Encurtados: Exemplo
Um código de Hamming binário (15, 11) tem a seguinte matriz de verificação de paridade, Um código encurtado (12, 8) pode ser obtido apagando as colunas de peso máximo 12, 13, e 14 da matriz H.
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Códigos Alongados (Lengthened Codes)
Alongar: n k fixo, aumentar k e, portanto, n. Novos símbolos de informação são introduzidos e incluídos nas equações de paridade. Exemplo: Códigos de Reed-Solomon estendidos obtidos alongando códigos RS(Q 1, k) para códigos RS(Q +1, k +2) adicionando duas coluna à matriz H,
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Códigos Expurgados (Expurgated Codes)
Expurgar: n fixo, diminuir k e incrementar n k. Palavras-código são apagadas adicionando equações de paridade, reduzindo a dimensão do código. Objetivo: aumentar a capacidade de correção de erros. Exemplo: O código BCH (15, 7) pode ser obtido a partir do código de Hamming (15, 11) adicionando quatro linhas à matriz H. A matriz de verificação de paridade é,
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Códigos Aumentados (Augmented Codes)
Aumentar: n fixo, aumentar k e diminuir n k. Incluir novos vetores na base (novas linhas na matriz geradora). Isto aumenta a taxa do código e (possivelmente) diminui a distância mínima. Exemplo: Matrizes geradoras de códigos de Reed-Muller, R(r, m) são definidas por Submatrix Gi tem linhas e n = 2m colunas. O número de bits de informação é, A distância mínima é 2m r
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Códigos Expandidos (Espanded Codes)
Expandir: k fixo, aumentar n k e n. Incluir novos símbolos de paridade com as correspondentes equações de paridade. Exemplo: Códigos de Hamming estendidos (códigos de Hamming com paridade nos bits). Isto aumenta a distância mínima para 4. Quando a distância mínima de um código de bloco binário linear é ímpar, adicionar paridade sobre todos os bits incrementa a distância mínima em 1. Exemplo: Código de Golay (23, 12), dmin = 7 (código perfeito). Uma equação de paridade sobre todos os bits incrementa dmin para 8. O código de Golay estendido com parâmetros (24, 12, 8) foi usado para correção de erros nas missões espaciais Voyager I e II.
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Códigos Puncionados (Punctured Codes)
Puncionar: k fixo, diminuir n k e, portanto, n. Apagar símbolos de paridade pode reduzir a distância mínima. Porém, códigos puncionados podem corrigir a grande maioria dos erros corrigíveis pelo código original. Puncionar pode reduzir a distância mínima mas não reduz significativamente o desempenho do código. Códigos puncionados podem ser obtidos a partir de códigos simples que tenham muita redundância.
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Modificação de Códigos de Bloco Lineares: Resumo
Encurtar: Apagar símbolos de informação n k fixo, k n Alongar: Adicionar símbolos de informação n k fixo, k n Expurgar: Apagar palavras-código, adicionar símbolos de paridade n fixo, k n k Aumentar: Adicionar palavras-código, apagar equações de paridade n fixo, k n k Expandir (estender): Adicionar símbolos de paridade k fixo, n k n Puncionar: Apagar símbolos de paridade k fixo, n k n
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