Campus de Caraguatatuba Aula 16: Sistemas de Equações Lineares (4)

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1 Campus de Caraguatatuba Aula 16: Sistemas de Equações Lineares (4)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 16: Sistemas de Equações Lineares (4)

2 Fatoração LU (1) Seja o sistema linear Ax = b.
Um processo de fatoração para a resolução do sistema linear acima consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) num produto de dois ou mais fatores, e resolver uma sequência de sistemas lineares que conduz à solução do sistema original. Ou seja, Caso possa se fazer a fatoração A = CD, o sistema linear Ax = b pode ser escrito como (CD)x = b. Se y = Dx, então resolver o sistema linear Ax= b é o mesmo que resolver o sistema linear Cy = b e em seguida solucionar o sistema Dx = y. Os processos de fatoração são vantajosos pois permitem resolver qualquer sistema linear que tenha a matriz A como matriz de coeficientes.

3 Fatoração LU (2) A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados para se resolver sistemas lineares. Nessa fatoração, a matriz L é uma matriz triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é uma matriz triangular superior.

4 Cálculo dos Fatores L e U (1)
A obtenção dos fatores L e U por fórmulas dificulta o uso de estratégias de pivoteamento, e por esta razão, para se obter esses fatores será usado o processo de Gauss. Para exemplificar, seja o seguinte sistema linear e a respectiva matriz A, apresentados a seguir,

5 Cálculo dos Fatores L e U (2)
Os multiplicadores da 1ª iteração do processo de Gauss são apresentados a seguir, Para se eliminar x1 da linha i (i = 2,3,...), multiplica-se a linha 1 por mi1 e subtrai-se o resultado da linha i.

6 Cálculo dos Fatores L e U (3)
Os coeficientes aij(0) são alterados para aij(1) , onde Isso equivale a pré-multiplicar a matriz A(0) pela matriz M(0) onde M(0) é

7 Cálculo dos Fatores L e U (4)
Ou seja,

8 Cálculo dos Fatores L e U (5)
Portanto, M(0)A(0) = A(1) (que é a mesma matriz obtida no final da 1ª iteração do processo de Gauss). Supondo que a22(1) não seja zero, o multiplicador m32 será Para se eliminar x2 da linha 3, multiplica-se a linha 2 por m32 e subtrai-se o resultado da linha 3. Os coeficientes aij(1) são alterados para

9 Cálculo dos Fatores L e U (6)
As operações efetuadas na matriz A(1) são equivalentes a pré-multiplicar A(1) por M(1), onde

10 Cálculo dos Fatores L e U (7)
Portanto, M(1)A(1) = A(2) (que é a mesma matriz obtida no final da 2ª iteração do processo de Gauss). Tem-se então que

11 Cálculo dos Fatores L e U (8)
É fácil verificar que

12 Cálculo dos Fatores L e U (9)
Então, Ou seja,

13 Cálculo dos Fatores L e U (10)
Sintetizando, Fatorou-se a matriz A em duas matrizes triangulares L e U, sendo que o fator L é triangular superior com diagonal unitária e seus elementos lij para i > j são os multiplicadores mij obtidos no processo de Eliminação de Gauss; e O fator U é triangular superior e é a matriz triangular obtida no final da fase de triangularização do Processo de Eliminação de Gauss. L U

14 Teorema da Fatoração LU (1)

15 Teorema da Fatoração LU (2)

16 Cálculo dos Fatores L e U (11)
Exemplo 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU. Usando-se o Processo de Gauss, para se triangularizar a Matriz A, tem-se na Etapa 1

17 Cálculo dos Fatores L e U (12)
Então tem a seguinte manipulação de linhas A matriz A(1) é

18 Cálculo dos Fatores L e U (13)
Como a21(1) e a31(1) são nulos, pode-se guardar os multiplicadores nessas posições

19 Cálculo dos Fatores L e U (14)
Na 2ª Etapa tem-se Tem-se então Multiplicadores nas posições aij = 0

20 Cálculo dos Fatores L e U (15)
Os fatores L e U são Solucionando-se L(Ux) = b Lembrar do Teorema da Fatoração LU

21 Cálculo dos Fatores L e U (16)
Solucionando-se L(Ux) = b Lembrar do Teorema da Fatoração LU

22 Cálculo dos Fatores L e U (11)
Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.

23 Cálculo dos Fatores L e U (12)
Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU. Solução:

24 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (1)
A estratégia de pivoteamento parcial na fatoração LU requer a permutação de linhas na matriz A(k), quando necessário. Para isso, é necessário Definir o que é uma matriz de permutação; Como usar o pivoteamento parcial na fatoração LU; e Analisar quais os efeitos das permutações na solução dos sistemas lineares Ly = b e Ux = y.

25 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (2)
Uma matriz quadrada de ordem n é denominada de Matriz de Permutação quando ela pode ser obtida a partir da Matriz Identidade de ordem n permutando-se suas linhas (ou colunas). Fazendo-se a pré-multiplicação de uma matriz A por uma matriz de permutação P obtém-se a matriz PA com as linhas permutadas e esta permutação de linhas é a mesma efetuada na matriz identidade para se obter a matriz P.

26 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (3)
Exemplo 2:

27 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (4)

28 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (5)
Exemplo 3: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial. Usando-se o Processo de Gauss, tem-se na Etapa 1 Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1

29 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (6)
Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1 Fazendo-se a eliminação na matriz A´(0) tem-se

30 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (7)
Na 2ª Etapa, tem-se, Então deve-se fazer a permutação das linhas 2 e 3, obtendo-se

31 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (8)
Fazendo-se a eliminação tem-se, Os fatores L e U são

32 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (9)

33 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (10)
Solução dos sistemas lineares,

34 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (11)
Solução dos sistemas lineares,

35 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (12)
Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.

36 Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (13)
Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial. Solução: