8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 2

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1 8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 2
8.1 – INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.2.1 – MÉTODO DE EULER 8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR 8.2.3 – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5 – EDO’s DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDO’s PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

2 8. EDO’s 8.2.2 – Métodos de Taylor
Dado o PVI construiremos , para simplificar igualmente espaça-dos, ou seja, e calculamos neste pontos através de resultados já obtidos.

3 8. EDO’s 8.2.2 – Métodos de Taylor
Os métodos que utilizam o desenvolvimento de Taylor são considerados de alto custo computacional, conforme aumenta-se a ordem da aproximação, pois em tais situações devemos calcular não somente o valor da função f, mas de suas derivadas também.

4 8. EDO’s 8.2.2 – Métodos de Taylor
A série de Taylor de y(x) em torno de x=xn é dada por:

5 8. EDO’s 8.2.2 – Métodos de Taylor
A série de Taylor de y(x) em x=xn+1 é O Método de Taylor é dito de ordem k

6 8. EDO’s 8.2.2 – Método de Taylor de 2ª Ordem
Calculemos a fórmula de Taylor de 2ª ordem. Note que

7 8. EDO’s 8.2.2 – Método de Taylor de 3ª Ordem
Analogamente, a fórmula de Taylor de 3ª ordem é dada por

8 8. EDO’s 8.2.2 – Método de Taylor de nª Ordem
Note o aumento do gasto computa-cional em calcular os valores de f e suas derivadas em vários pontos. O cálculo da fórmula de Taylor de ordem n é muito trabalhoso. O Método de Euler é o Método de Taylor de ordem 1

9 8. EDO’s 8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Exemplo 1: Considere o problema de valor inicial Utilizando a fórmula de Taylor de 2ª ordem calcule Solução: Temos que

10 8. EDO’s 8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Da fórmula de Taylor, em torno de Quanto ao erro cometido:

11 8. EDO’s 8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Exemplo 2: Considere o problema de valor inicial Utilizando a fórmula de Taylor de 1ª ordem (Método de Euler) calcule Solução: Escolhendo uma partição em 5 subintervalos, segue e

12 8. EDO’s 8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Exemplo 3: Considere o problema de valor inicial Utilizando a fórmula de Taylor de 2ª ordem calcule Solução: Escolhendo uma partição em 5 subintervalos, segue e

13 8. EDO’s 8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Substituindo

14 8. EDO’s 8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Exemplo 2: Para o problema de valor inicial xi Euler Taylor p=2 Exato 0.0 2.0 0.2 2.02 2.0187 0.4 2.04 2.0724 2.0703 0.6 2.1120 2.1514 0.8 2.2096 2.2521 2.2493 1.0 2.3277 2.3707 2.3679

15 8. EDO’s 8.2.2 Métodos de Taylor
Exercícios: Resolva o problema de valor inicial considerando Calcule por meio do Método de Euler Aprimorado Taylor de 2ª ordem Compare os resultados