8. Uma Função de duas Variáveis Aleatórias

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1 8. Uma Função de duas Variáveis Aleatórias
Dadas duas variáveis aleatórias X e Y e uma função g(x,y), define-se uma nova variável aleatória Z como Dada a f.d.p. conjunta como obter a f.d.p. conjunta de Z ? Problemas deste tipo são de interesse do ponto de vista prático. Por exemplo, um sinal de saída de um receptor geralmente consiste de um sinal desejado somado a um ruído, a a formulação acima reduz-se a: Z = X + Y.

2 É importante conhecer como a estatística do sinal de entrada, para melhor se projetar o receptor. Neste contexto serão analisados problemas dos seguintes tipos: Referindo-se em primeiro lugar ao caso em que Z = g(X,Y), tem-se portanto

3 onde Dz no plano XY, representa a região tal que é satisfeita
onde Dz no plano XY, representa a região tal que é satisfeita. Note que Dz não precisa ser uma região conectada, para determinar Este método será ilustrado através de vários exemplos.

4 Exemplo 8.1: Z = X + Y. Encontre Solução: Seja Dz a região do plano xy onde representada na figura pela área inferior à esquerda. Calcula-se em primeiro lugar Integrando-se esta área na direção do eixo x, de até a reta x=z - y. E na direção do eixo y, de a , tem-se:

5 Pode-se determinar diferenciando diretamente
Pode-se determinar diferenciando diretamente. É importante relembrar a regra da diferenciação de uma Integral devido a Leibnitz. Supondo que: Então substituindo h(x,y) por fXY(x,y) Alternativamente, a integração pode ser resolvida integrando-se primeiro em relação ao eixo y seguido do x.

6 convolução de fX(x) com fY(y)
Neste caso diferenciando-se em relação a z Se X e Y são independentes, então Substituindo na equação de fZ(x), acima tem-se convolução de fX(x) com fY(y)

7 Como caso particular, suponha que para e que para então fZ(z) é dado por:
ou Se X e Y são variáveis independentes, então

8 Exemplo 8.2: Suponha que X e Y são variáveis aleatórias independentes, ambas com distribuição exponencial com parâmetro . Se Z = X + Y, determine Solução: Tem-se: Exemplo 8.3: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes, uniformemente distribuídas no intervalo (0,1). Determine onde Z = X + Y. Solução: Neste caso, O cálculo de FZ(z) deve ser feito usando dois intervalos, 0<z<1 e 1<z<2, como é mostrado na figura.

9 Para é fácil verificar pela figura que:

10 Diferenciando FZ(z) em relação a z, tem-se
Calculando fZ(z) diretamente pela pela convolução de com obtém-se o mesmo resultado acima. Para , As figuras a seguir mostram os procedimentos para determinar usando a convolução de duas funções retangulares.

11 Fig. 8.6 (c)

12 Exemplo 8.3: Seja Determine a p.d.f
Solução: observando a figura abaixo pode-se escrever: Diferenciando FZ(z) em relação a z, tem-se: Se X e Y são v.a.`s independentes, a equação reduz-se a: que representa a convolução de com Fig. 8.7

13 No caso especial da v.a. Z = X - Y, em que
Neste caso, z pode ser tanto negativo quanto positivo, o que resulta em duas situações distintas, que serão analisadas separadamente, uma vez que as regiões de integração são diferentes. Para para parar Diferenciando em relação a z, obtém-se: Fig. 8.8 (b) (a)

14 Como os eventos são mutuamente exclusivos
Exemplo 8.4: Dado que Z = X / Y, obtenha f.d.p. de Z Solução: Tem-se que A desigualdade pode ser rescrita como se e se Então o evento precisa ser condicionado ao evento e seu complemento Visto que pelo teorema da probabilidade total: Como os eventos são mutuamente exclusivos A figura mostra as áreas correspondentes ao primeiro e ao segundo termo da integração. Fig. 8.9 (a) (b)

15 Integrando ambos os lados dessas regiões tem-se
Diferenciando com relação a z tem-se Note que se X e Y são variáveis aleatórias não negativas, então: Fig. 8.10

16 Exemplo 8.5: X e Y são variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas com média zero, tal que
Mostre que a relação Z = X / Y tem uma função densidade de probabilidade de Cauchy centrada em Soluçao: Usando a fato de que onde Cauchy centrada em

17 Integrando-se fZ(z), obtém-se
Exemplo 8.6: Obtenha Solução: Mas representa a área de um círculo de raio Diferenciando com relação a z, tem-se

18 Exemplo 8.7 : X e Y são variáveis aleatórias independentes
com distribuição normal, ambas com média zero e variância Determine se Solução: Tomando a f.d.p. de duas v.a.`s conjuntamente gaussianas com e substituindo em fZ(z) onde Portanto Z é uma v.a. exponencial com parâmetro Exemplo 8.8 : Seja Encontre Solução:

19 Diferenciando com relação a z, tem-se
Supondo que X e Y são v.a.`s independentes gaussianas Que representa uma distribuição de Rayleigh. Portanto representa a magnitude de um v.a. complexa do tipo Z = X + jY. Então o que dizer da fase Fazendo e

20 Fazendo e supondo que X e Y são v. a
Fazendo e supondo que X e Y são v.a.’s gaussianas com e considerando ainda que a fase principal de  está no intervalo pode-se mostrar que U tem distribuição de Cauchy, f.d.p. Que resulta em: Em resumo: A magnitude e fase de uma v.a. gaussiana complexa com média zero tem distribuição de Rayleigh e distribuição uniforme respectivamente.

21 Considere agora no exemplo 8
Considere agora no exemplo 8.8 que X e Y tem médias e , respectivamente (diferentes de zero). Então tem distribuição de Rician. Tal esquema é usado para modelar situações de desvanecimento em múltiplos caminhos, onde há uma componente dominante constante adicionado a um ruído gaussiano com média zero. A parte constante é devido à componente do sinal em visada direta, enquanto que a v.a. gaussiana com média zero corresponde às componentes devido aos múltiplos caminhos aleatórios adicionadas incoerentemente. (veja o diagrama abaixo). A envoltória de tais sinais tem uma f.d.p. de Rician. Line of sight signal (constant) Multipath/Gaussian noise Rician Output

22 Exemplo 8. 9: Considerando ainda exemplo 8
Exemplo 8.9: Considerando ainda exemplo 8.8, onde X e Y tem médias diferentes de zero Solução: onde

23 Exemplo 8.10: Determine Solução: As funções max e min são não lineares
Assim: (eventos disjuntos) Se X e Y forem independentes Fig. 8.12

24 W = min(X , Y). Isto significa que
Se X e Y forem independentes: (c) (a)

25 Exemplo 8.11: Seja X e Y v.a.`s independentes com distribuição exponencial com parâmetro . Determine Se Mas, Substituindo Assim W = min ( X, Y ) é ainda exponencial com parâmetro 2.

26 Solução: como X e Y assumem somente valores inteiros o o mesmo é verdadeiro para Z. Logo dá um número finito de opções para X e Y. Assim, se X= 0, então Y deve ser n; se X = 1, então Y deve ser n-1, etc. De modo que o evento é a união de (n + 1) eventos mutuamente exclusivos dado por: que resulta Exemplo 8.13 (caso discreto): Seja X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson com parâmetros e respectivamente. Determine a f.d.p. de Z=X+Y.

27 Se X e Y são independentes, então
O que representa a f.d.p. de uma variável aleatória de Poisson com parâmetro Isso significa que a soma de duas variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Poisson, é ainda uma variável aleatória de Poisson.